2.7正方形 同步训练2024-2025学年湘教版八年级数学下册

2.7正方形 一、选择题： 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(    ) A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2.下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是(    ) A. B. C. D. 以上都对 3.如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为若，则线段的长为  (    ) A. B. C. D. 4.已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    ) A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是正方形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是菱形 5.如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是(    ) A. B. C. D. 平分 6.课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为，则两条对角线所用的竹条至少需(    ) A. B. C. D. 7.有两个正方形，，现将放在的内部如图；再将，无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图若图和图中阴影部分的面积分别为和，则图所示的大正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 8.如图，矩形的对角线，相交于点，再添加一个条件，使得四边形是正方形，可添加______写出一个条件即可． 9.如图，在正方形的外侧，作等边，则______． 10.如图，在正方形中，与相交于点，若，，， ______． 11.如图，在中，，垂直平分，，当满足条件________时，四边形是正方形．要求：不再添加任何辅助线，只需填一个符合要求的条件 12.如图，正方形经平移后成为正方形平移距离为线段______的长，正方形也能看成四边形按顺时针旋转得到的，它的旋转中心为______，最小旋转角度为______． 三、解答题： 13.如图，一个长方形被分割成四部分其中图形、、都是正方形，且正方形、的面积分别为和求图中阴影部分的面积． 14.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 15.如图，在矩形中，，分别为，上一点，平分，平分求证：四边形为正方形． 16.如图，在矩形中，，的平分线的交点落在边上，，求证：四边形是正方形． 17.如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． 求证：四边形是正方形； 若，求的度数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意； B、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项不符合题意； C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项符合题意； D、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项不符合题意． 故选：． 根据正方形和矩形的对角线的性质对各选项分析判断即可得解． 本题考查了正方形的性质和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的对角线的性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】本题考查了正方形的概念，正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键． 根据正方形的判定定理得出答案． 解：正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形， 由此可知选只有选项符合题意 ． 3.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据比例可求解的长，设，根据勾股定理可列方程，解方程即可求解的值． 【解答】 解：设，则． ，， ． 在中，，即， 解得，即． 故选B． 4.【答案】  【解析】解：、正确．邻边相等的平行四边形是菱形． B、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形． C、正确．有一个角是的平行四边形是矩形． D、正确．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选B． 根据矩形、菱形、正方形的判定方法即可判断． 本题考查矩形、菱形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握这些知识解决问题，记住矩形、菱形、正方形的判定方法，属于中考常考题型． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】解：由题意可知，风筝形状为正方形，其面积为， 设对角线长为， 则， 负值舍去， 两条对角线所用的竹条至少需， 故选：． 由题意可知，风筝形状为正方形，其面积为，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 本题考查了正方形的判定与性质，熟记正方形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：设正方形的边长为，其中， 将放在的内部如图所示，阴影部分的面积为， 阴影部分为正方形，且边长为， 图中大正方形的边长为， 即正方形的边长为， 又将，无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图所示： 图中大正方形的边长为：， 图中阴影部分的面积为， ， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 图中大正方形的边长为：， 图中大正方形的面积为． 故选：． 设正方形的边长为，其中，依题意由图得阴影部分为正方形，且边长为，则正方形的边长为，依题意得图中大正方形的边长为，则，由此解出，进而再求出图中大正方形的面积即可． 此题主要考查了正方形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，并根据正方形的面积公式构造方程是解决问题的关键． 8.【答案】答案不唯一  【解析】解：这个条件可以是答案不唯一， 理由：四边形是矩形，， 四边形是正方形． 故答案为：答案不唯一． 根据正方形 的判定定理即可得到结论． 本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 由四边形是正方形，是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解． 【解答】 解：四边形为正方形，为等边三角形， ，，， ， 又， ． 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接， 四边形是正方形， ，，， 又， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 设则， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，通过证≌，证得，，，继而证得≌，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件．由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形是正方形推出． 【解答】 解：设，即为等腰直角三角形， ，垂直平分，， ， ， ， ， 四边形是正方形， 故答案为． 12.【答案】或  点    【解析】解：由一个点平移到另一个点的移动方向，就是图形的移动方向．正方形经平移后成为正方形，的对应点为，的对应点为，因此平移的方向就是点到点的方向，平移的距离为或的长； 在平面内，把一个图形绕点转一个角度的图形变换叫做旋转，它的旋转中心为，旋转角度最小为． 本题根据平移的性质和旋转的定义来判断，正确找出对应点和旋转中心即可求解． 本题主要考查了平移以及旋转变换，要准确把握平移的性质和旋转的定义，解题的关键是要理解平移方向和准确判断旋转的中心． 13.【答案】．  【解析】解：正方形、的面积分别为和， 正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 阴影部分的面积为： ． 根据题意，可以分表表示出正方形、、的边长，然后即可得到阴影部分的面积为，然后计算即可． 本题考查二次根式的应用、正方形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14.【答案】解：四边形是正方形， ， 又是等边三角形， ，， ， ，， ， 又， ．   【解析】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质，本题的关键是求出根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求． 15.【答案】证明：过点作于点． 四边形为矩形，， 平分，平分， ，，， 矩形是正方形． 17.【答案】证明：四边形是矩形，，， ， ， 四边形是矩形， 平分，， ， ， 四边形是正方形； 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ．  【解析】由矩形的性质得出，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形； 根据正方形的性质求出，，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，据此求解即可． 本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解决问题的关键． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$