2.7 正方形（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

第2章 四边形 八年级数学湘教版·下册 2.7 正方形 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 学习目标 1．掌握正方形的性质及判定方法．（重点） 2．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和 计算．(难点) 新课引入 活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 正方形的定义 一 活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形. 问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 正方形 新知探究 活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状. 问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形 新知探究 正方形的性质探究和证明 二 A B C D 角： 边： 对角线： 对称性： 四个角都是直角. 四条边相等. 对角线相等且互相垂直平分. a a a a 轴对称图形（4条对称轴）. 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 定理 填一填： 中心对称图形. 新知探究 新知探究 已知：如右图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形 , ∴∠A=90°, AB=BC . （正方形的定义） 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 定理证明 新知探究 已知：如右图 , 四边形ABCD是正方形 . 对角线AC , BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO , AC⊥BD. A B C D O 请同学们动手完成以上证明？ 提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题. 新知探究 想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？ 矩形 菱形 正方形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有. 归纳 新知探究 归纳结论 正方形 对角线 边 边 对角线 对角线 角 对边平行且相等 相互平分 相等 四个角相等都是90° 相互垂直且 平分对角 四边相等 对称性 轴对称图形（4条对称轴） 新知探究 例1：如图在正方形ABCD中, E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 正方形性质定理的应用 三 典例精析 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCE =90° . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°, A B D C F E 新知探究 A B D F E ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF, ∴△BCE ≌△DCF, ∴BE=DF. (2)延长BE交DF于点M, ∵△BCE ≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°,∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. C M 新知探究 正方形判定的定理 四 动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD. A M N B D C 问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？ 新知探究 想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？ （1） （2） （3） （4） 新知探究 菱形 问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 新知探究 1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 正方形判定的两条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 新知探究 例2：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 正方形判定定理的应用 五 典例精析 F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形； 45° 45° 新知探究 F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE , CF∥BE , ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°. ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 新知探究 做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 课堂小结 有一个角是90° （或对角线相等） 有一对邻边相等 （或对角线互相垂直） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等） 有一个角是90° （或对角线相等） 有一对邻边相等 （或对角线互相垂直） 课堂小结 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 D C 课堂小测 3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第3题 第4题 45° 课堂小测 5.如图 , 已知正方形ABCD , 以AB为边向正方形外作等边△ABE,连接DE , CE ,求∠DEC的度数. D A E B C 解：∵△ABE是等边三角形 , ∴ AB =AE=BE, ∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°. 又∵四边形ABCD是正方形. ∴AD=BC=AE=BE, ∠DAB=∠ABC=90° , ∴∠DAE=∠CBE=150° , ∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15° , ∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°. 课堂小测 6.已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC , DE⊥BC , ∴∠DFC=∠DEC=90°. 又∠C=90°, ∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. ∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB , ∴DF=DG. 同理可得DE=DG , ∴DE=DF. ∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. C E B A F D G 课堂小测 $$