8.2.1 一元线性回归模型（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.2.1 一元线性回归模型 导学案 1、 学习目标 1. 结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义 2. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 2、 学习重难点 重点：了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法； 难点：针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 3、 学习过程 1．复习回顾，引入新知 1. 样本相关系数： ____________________________________________ 2.相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据 ；当r<0时，称成对样本数据 . ② |r|≤ ； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越 ； 当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越 ； 特别地，当|r|＝0时，成对数据的 线性相关关系； 当|r|＝1时，成对数据都落在一条 上. 2．探究新知 引言：恩格尔系数(Engel’s Coefficient)指的是居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额． 一个家庭收入越少，家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 思考：恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 问题：一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 表8.2-1 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 要求：利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图. 要求：观察散点图的的特点， 总结父亲身高和儿子身高有什么关系？ 要求：借助计算器，求出样本相关系数r的值，根据r的值得出怎样的结论. 思考：根据上表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 定义：由于儿子的身高和父亲的身高身高有较强的线性相关，因此我们可以用 来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高，生活环境等作为 ，得到刻画两个变量之间关系的 . （随机误差是一个 变量） 用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为 ________________________ 我们称(1)式为Y关于x的 其中e是Y与bx+a之间的随机误差. Y称为因变量或 ；x称为自变量或 ，a称为 ，b称为 ； 模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是 的. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 思考：为什么要假设E(e）=0，而不假设其为某个不为0的常数？ 思考：结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型(1)的意义？ 思考：对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？ 思考：结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗? 3．能力提升 类型一：一元线性回归模型辨析 例题1 （多选）在线性回归模型中，下列说法不正确的是（    ）． A．是一次函数 B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 总结：这类概念辨析题，只需要根据 的相关定义即可逐一判断. 题型二：一元线性回归模型中随机误差的计算 例题2 党的二十大报告指出，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位．为此某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x（单位：百万元）与回报资金（单位：百万元）满足一元线性回归模型，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2023年该市计划科技创新投入350万，则预估回报资金为 万元． 归纳总结：通过已知条件建议关于和方程组解方程组到回归方程即可. 题型三：一元线性回归模型与散点图 例题3 （1）下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（    ） A． B． C． D． （2）鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 题型四：一元线性回归模型的实际应用 例题4 若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过 亿元． 4．课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 5．随堂限时小练 1．一元线性回归模型，我们称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 ，b称为 ． 2．关于一元线性回归模型给出下列说法： ①表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系； ②bx＋a反映了由于x的变化而引起的Y的线性变化； ③误差项e是一个期望值为0的随机变量，即E(e)＝0； ④对于所有的x值，e的方差σ2都相同． 以上说法正确的是________． 3．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 4．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（    ） A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 6．课后作业布置 作业1：完成教材：第107页 练习第1,2,3题.. 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型》.  7．课后作业答案 练习（第107页） 1．说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子． 2．在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？ 3．将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2.1 一元线性回归模型 导学案 1、 学习目标 1. 结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义 2. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 2、 学习重难点 重点：了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法； 难点：针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 3、 学习过程 1．复习回顾，引入新知 1. 样本相关系数： 2.相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱； 特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系； 当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 2．探究新知 引言：恩格尔系数(Engel’s Coefficient)指的是居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额． 一个家庭收入越少，家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 思考：恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 问题：一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 表8.2-1 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 要求：利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图. 预设： 要求：观察散点图的的特点， 总结父亲身高和儿子身高有什么关系？ 由图可知散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关. 要求：借助计算器，求出样本相关系数r的值，根据r的值得出怎样的结论. r≈0.886， 结论：|r|的值接近于1，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 思考：根据上表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 预设：表中的数据，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测父亲的身高均为172cm，而对应的儿子的身高为176cm和174cm；同样在第3，4个观测中，儿子的身高都是170cm，而父亲的身高分别为173cm，169cm. 结论：可见儿子的身高不是父亲身高的函数同样父亲的身高也不是儿子身高的函数，所以不能用函数模型来刻画. 定义：由于儿子的身高和父亲的身高身高有较强的线性相关，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高，生活环境等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型. （随机误差是一个随机变量） 用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为 (1) ________________________ 我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中e是Y与bx+a之间的随机误差. Y称为因变量或响应变量；x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数； 模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 思考：为什么要假设E(e）=0，而不假设其为某个不为0的常数？ 预设： ①因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0. ②如果随机误差时一个不为0的常数α，则可以将α合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解. ③另外，如果α不为0，则表示存在系统误差，在实际建模中也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差. 思考：结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型(1)的意义？ 预设：可以解释为父亲身高为xi的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系. E(Y)=E(bx+a+e)=E(bx+a)+E(e)=(bx+a)+0=bx+a 思考：对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？ 预设：对于父亲身高为的某一名男大学生，他的身高并不一定为 bxi+a ，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项ei=yi -(+a) 思考：结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗? 预设：在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差e的原因有: (1) 除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等； (2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差； (3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因. 3．能力提升 类型一：一元线性回归模型辨析 例题1 （多选）在线性回归模型中，下列说法不正确的是（    ）． A．是一次函数 B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 预设：对于A中，线性回归模型中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A说法错误； 对于B中，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误； 对于C中，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确； 对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误． 故选：ABD． 总结：这类概念辨析题，只需要根据一元线性回归模型的相关定义即可逐一判断. 题型二：一元线性回归模型中随机误差的计算 例题2 党的二十大报告指出，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位．为此某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x（单位：百万元）与回报资金（单位：百万元）满足一元线性回归模型，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2023年该市计划科技创新投入350万，则预估回报资金为 万元． 预设：由题可知投入资金与回报资金满足一元线性回归模型，而当时，，故．又每多投入100万元，回报资金多130万元，故，．所以．当时，．故回报资金为645万元． 归纳总结：通过已知条件建议关于和方程组解方程组到回归方程即可. 题型三：一元线性回归模型与散点图 例题3 （1）下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（    ） A． B． C． D． 预设：根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，又，所以散点从左上至右下． 故选：A. （2）鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 预设：（1）以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，可作散点图如下： （2）直线如图所示，由（1）中散点图及一元线性回归模型定义可得，其中水温x为自变量，孵化时间y为因变量． 题型四：一元线性回归模型的实际应用 例题4 若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过 亿元． 预设：由题意得财政收入x与支出y满足线性回归方程为，其中， 当时，， 因为 ，所以， 所以今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过10亿元， 故答案为：10 4．课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 5．随堂限时小练 1．一元线性回归模型，我们称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 ，b称为 ． 【详解】因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距参数 斜率参数 2．关于一元线性回归模型给出下列说法： ①表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系； ②bx＋a反映了由于x的变化而引起的Y的线性变化； ③误差项e是一个期望值为0的随机变量，即E(e)＝0； ④对于所有的x值，e的方差σ2都相同． 以上说法正确的是________． 【详解】根据一元线性回归模型的含义可知，①②③④中的说法均正确． 3．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 【详解】由数据作散点图如下： 在蚯蚓产卵模型中，蚯蚓产卵总数y与湿度x相关，变量y不完全由变量x决定，在观测数据中存在误差， 故此模型应为回归模型，刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的线性相关关系． 故答案为：回归模型；线性相关. 4．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】 由散点图可知，y与x负相关,故排除A,B,对于D：，点偏离较大，而点近似在曲线附近，所以 y关于x的回归方程是C的可能性大． 故选：C． 5．如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（    ） A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 【详解】因为，所以当时， ． 故选：D． 6．课后作业布置 作业1：完成教材：第107页 练习第1,2,3题.. 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型》.  7．课后作业答案 练习（第107页） 1．说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子． 1．函数模型刻画的是变量之间具有的函数关系，是一种确定性的关系．回归模型刻画的是变量之间具有的相关关系，不是一种确定性的关系，即回归模型刻画的是两个变量之间的随机关系．举例：路程与速度的关系、正方体体积与边长的关系可以应用函数模型刻画，体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以应用回归模型刻画． 2．在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？ 2．参数b的含义可以解释为解释变量x对响应变量Y的均值的影响，变量x每增加1个单位，响应变量Y的均值将增加b个单位．例如，教科书中父亲身高为175 cm的儿子身高的均值比父亲身高为174 cm的儿子身高的均值高出0.839 cm． 注意：因为响应变量Y最终取值，除了受变量x的影响，还要受随机误差e的影响，所以不能解释成解释变量x每增加一个单位，响应变量Y增加b个单位． 3．将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？ 3．不能．一是父亲的身高与儿子的身高之间是随机关系，不是函数关系；二是这组数据仅是总体的一个样本，不一定能很好地描述两个变量之间的关系． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$