7.5 正态分布（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

7.5 正态分布 导学案 1、 学习目标 1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量； 2. 通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点； 3. 了解正态分布的均值、方差及其含义； 4. 了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 2、 学习重难点 重点：了解正态分布的均值、方差及其含义； 难点：了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 3、 4、 学习过程 1． 创设背景，引入新知 印在人民币上的数学家：高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”． 那么,什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？ 2． 探究新知 引言：现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量 , 下面我们看一个具体问题。 问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 由函数知识可知，上图中的钟形曲线是一个函数. 思考1：这个函数是否存在解析式呢? 定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从 ，记为 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从 . 小知识：早在1734年，法国数学家棣莫弗(A．DeMoivre，1667-1754)在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式．直到徳国数学家高斯(C．F．Gauss，1777-1855）提出“正态误差”的理论后，正态密度函数才取得“概率分布”的身份．因此，人们也称正态分布为高斯分布． 思考： 思考：正态曲线下对称区域的面积相等，代表什么含义？ 总结：利用“ 法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率. 重要性：正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布，例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容），某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布． 思考2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点? 思考2：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 教师：动画演示 学生：观察动画演示，得出结论. 总结：正态曲线的性质： (1) 曲线在x轴的 方，与x轴不相交； (2) 曲线是单峰的，它关于直线 对称，且曲线在x=μ处取得最 值； (3) 曲线与x轴之间的面积为 ； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越集中. (5) 参数μ反映了正态分布的 ，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的 在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 3． 应用新知 例 李明上学有时坐公交车, 有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间, 经数据分析得到:坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑自行车平均用时34min, 样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X，Y 的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X与 Y的分布密度曲线； (3)如果某天有38min可用, 李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 4． 探究新知 3σ原则：假定X~N(μ，σ^2)，可以证明：对给定的k∈N^∗，P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个与k有关的定值.特别地， 上述结果可用图表示. 由此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ−3σ，μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ^2)的随机变量X只取[μ−3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为 . 5． 能力提升 类型一：正态密度函数（正态曲线）解决均值和方差问题 例题1 （1）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． （2）某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是（    ） A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．三科总体的平均数不相同 D．乙科总体的标准差及平均数都居中 总结： 利用正态曲线的特点求参数μ，σ 1.正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此性质结合图象求μ. 2.正态曲线在x=μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. 3.由σ的大小区分曲线的胖瘦. 题型二：利用对称性求概率 例题2 归纳总结：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且曲线与x轴的面积为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等． 例如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． 题型三：利用3σ原则求概率 例题3 某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 归纳总结：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3，结合对称性即可求解. 题型四：正态分布的实际应用 例题4 北京某校高二年级上学期期中考试历史试卷满分为100分，60分以上（含60分）为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的历史成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.5，标准差为10，则该次历史考试及格的人数约为（   ） 附：若，则，，． A．120人 B．122人 C．124人 D．127人 归纳总结：利用正态分布估算区间上的个体数的方法： 利用服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率可以解决一些实际问题，如估算总体在某一范围内的个体数或质量控制等．其具体方法：先确定随机变量在某一范围内取值的概率，再乘样本容量即可． 6． 课堂小结 7． 随堂限时小练 1．下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（    ） A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 2．已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3． 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝ ． 4. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A． B． C． D． 5．为了解某省高中男生的身体发育情况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他们的体重X(单位：kg)服从正态分布，正态密度曲线如图所示.若体重落在区间内属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是（  ） A．954 B．819 C．683 D．317 8． 课后作业布置 作业1：完成教材：第87页习题7.5 第1，2，3，4题. 作业2：配套辅导资料对应的《正态分布》.  9． 课后作业答案 习题7.5（第87页） 1．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩． 2．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： （1）；（2）；（3）． 3．若，则X位于区域内的概率是多少？ 4．袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.5 正态分布 导学案 1、 学习目标 1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量； 2. 通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点； 3. 了解正态分布的均值、方差及其含义； 4. 了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 2、 学习重难点 重点：了解正态分布的均值、方差及其含义； 难点：了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 3、 4、 学习过程 1． 创设背景，引入新知 印在人民币上的数学家：高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”． 那么,什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？ 2． 探究新知 引言：现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量 , 下面我们看一个具体问题。 问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 预设：可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示. 其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积为和为1 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 由函数知识可知，上图中的钟形曲线是一个函数. 思考1：这个函数是否存在解析式呢? 预设： 其中μ∈R，σ>0为参数. 对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线， 定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 小知识：早在1734年，法国数学家棣莫弗(A．DeMoivre，1667-1754)在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式．直到徳国数学家高斯(C．F．Gauss，1777-1855）提出“正态误差”的理论后，正态密度函数才取得“概率分布”的身份．因此，人们也称正态分布为高斯分布． 思考： 思考：正态曲线下对称区域的面积相等，代表什么含义？ 预设： 正态曲线下对称区域的面积相等，代表对应的概率也相等 总结：利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率. 重要性：正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布，例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容），某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布． 思考2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点? 预设：由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点: (1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (2) 曲线在x=μ处达到峰值 (3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近x轴. 思考2：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 教师：动画演示 学生：观察动画演示，得出结论. 预设： 观察两个图象可以发现，参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度. 实际上，我们有：若，则. 总结：正态曲线的性质： (1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处取得最大值； (3) 曲线与x轴之间的面积为1； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. (5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 3． 应用新知 例 李明上学有时坐公交车, 有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间, 经数据分析得到:坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑自行车平均用时34min, 样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X，Y 的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X与 Y的分布密度曲线； (3)如果某天有38min可用, 李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 分析：师生共同分析：对于第（1）问，正态分布由参数μ和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计，对于第（3）问，这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断． 预设：(1)随机变量X的样本均值为30 , 样本标准差为6; 随机变量Y的样本均值为34, 样本标准差为2. 用样本均值估计参数μ. 用样本标准差估计参数σ, 可以得到：X~N(30 , 62) , Y~N(34 , 22) (2)X和Y的分布密度曲线如图所示, （3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图可知, P(X≤38)<P(Y ≤ 38),P(X ≤ 34)>P(Y ≤ 34). 所以 , 如果有38min可用 , 那么骑自行车不迟到的概率大, 应选择骑自行车; 如果只有34min可用, 那么坐公交车不迟到的概率大, 应选择坐公交车. 4． 探究新知 3σ原则：假定X~N(μ，σ^2)，可以证明：对给定的k∈N^∗，P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个与k有关的定值.特别地， 上述结果可用图表示. 由此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ−3σ，μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ^2)的随机变量X只取[μ−3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 5． 能力提升 类型一：正态密度函数（正态曲线）解决均值和方差问题 例题1 （1）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 预设：由正态曲线对应的密度函数为，得，，则，，A正确；因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC （2）某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是（    ） A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．三科总体的平均数不相同 D．乙科总体的标准差及平均数都居中 预设：由题中图像可知三科总体的平均数（均值）相等. 由正态曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 故选：A. 总结： 利用正态曲线的特点求参数μ，σ 1.正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此性质结合图象求μ. 2.正态曲线在x=μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. 3.由σ的大小区分曲线的胖瘦. 题型二：利用对称性求概率 例题2 预设： 归纳总结：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且曲线与x轴的面积为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等． 例如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． 题型三：利用3σ原则求概率 例题3 某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 预设：因为服从正态分布，且， 所以，， 故. 故选 ：B. 归纳总结：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3，结合对称性即可求解. 题型四：正态分布的实际应用 例题4 北京某校高二年级上学期期中考试历史试卷满分为100分，60分以上（含60分）为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的历史成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.5，标准差为10，则该次历史考试及格的人数约为（   ） 附：若，则，，． A．120人 B．122人 C．124人 D．127人 预设：历史成绩的平均分为，故，则， 又，则， 故该次历史考试及格的人数约为. 故选：D 归纳总结：利用正态分布估算区间上的个体数的方法： 利用服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率可以解决一些实际问题，如估算总体在某一范围内的个体数或质量控制等．其具体方法：先确定随机变量在某一范围内取值的概率，再乘样本容量即可． 6． 课堂小结 7． 随堂限时小练 1．下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（    ） A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 【详解】由正态密度曲线的几何特点可知： （1）曲线在轴上方，且与轴不相交；故A正确. （2）曲线关于直线对称，当时，曲线处于最高点，当向左右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；故D正确. （3）当时，曲线上升，当时，曲线下降，并且当曲线向左向右无限延伸时，以轴为渐近线，向轴无限靠近；故B正确. （4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；故C错误. 故选：ABD. 2．已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且， 由，可知. 故选：A. 3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝ ． 【详解】因为X～N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. 4. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A． B． C． D． 【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 5．为了解某省高中男生的身体发育情况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他们的体重X(单位：kg)服从正态分布，正态密度曲线如图所示.若体重落在区间内属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是（  ） A．954 B．819 C．683 D．317 【详解】由题意可知，,,故，从而不属于正常情况的人数约是人. 故选：D 8． 课后作业布置 作业1：完成教材：第87页习题7.5 第1，2，3，4题. 作业2：配套辅导资料对应的《正态分布》.  9． 课后作业答案 习题7.5（第87页） 1．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩． 1．【解析】由题意知男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布， 因为，所以女生的平均成绩高于男生的平均成绩； 又由，所以男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中． 2．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： （1）；（2）；（3）． 2．【解析】由题可得：身高X作为变量符合均值为，的正态分布． （1）， （2）， （3）． 3．若，则X位于区域内的概率是多少？ 3．【解析】由题意，随机变量，可得， 根据正态分布曲线的对称性， 可得． 4．袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率． 4．【解析】由题意可知，可设误差为，则，， 故合格率约为95.45%． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$