5.4 二次函数与一元二次方程（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.4　二次函数与一元二次方程（四大题型提分练） 题型一 根据二次函数图像确定一元二次方程根的情况 1．根据下表列出的函数的几组与的对应值，判断方程一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图像与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．如图是二次函数的图像，图像上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 4．若二次函数的部分图像如图所示，则关于的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 6．已知二次函数（是常数，），当时，，若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则该二次函数的图像可能是（       ） A． B． C． D． 7．已知函数的图像如图，那么关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 8．已知函数的图像如图所示，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的范围是（    ） A． B． C． D． 9．利用函数图像求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数 的图像，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是，，所以方程的实数根约为 ， ． 10．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    11．二次函数的图像如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个值即可） 12．已知函数的大致图像如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 13．如图是二次函数的图像，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是 ． 14．已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是 ． 15．已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为 ． 16．已知的图像如图所示，根据图像回答下列问题． (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 17．阅读材料，完成任务： 图像法解一元二次方程    我们知道，一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，其实，解一元二次方程还有另外一种很有趣的方法——图像法，顾名思义，即通过观察图像得到方程的解的一种方法，下面举一个例子加以说明．     例：解方程．    方法一：如图1，我们在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数的图像．通过观察图像发现，该二次函数的图像与x轴有两个交点，分别是和，因此可得一元二次方程的解为，．     方法二：将变形为．所以原方程的解可以转化为二次函数的图像与直线交点的横坐标．     ……    任务： (1)用图像法解一元二次方程体现的数学思想是________； A．数形结合    C．公理化    B．分讨论 (2)如图2，是二次函数的图像，请你在同一平面坐标系中，画出一次函数的图像，并直接写出一元二次方程的解； (3)实际上，除用图像法解一元二次方程外，初中数学还有一些问题可以用图像法解决．例如：用图像法求一元一次方程的解．请你再举出一例． 18．某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 0 1 2 3 0 0 其中，=______． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分．      (3)观察函数图像，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图像发现：①方程：有______个实数根； ②关于的方程有2个实数根时，的取值范围是______． 题型二 利用二次函数的图像解一元二次方程不等式 1．如图，若二次函数图像的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 2．如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 3．一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 4．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 或 5．已知二次函数图像上的两点和，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图像经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 7．已知二次函数的图像的对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（a是常数，）的图像上有和两点．若点A，B都在直线的下方，且则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 10．如图，二次函数图像经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 11．已知二次函数的图像如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．    12．如图，二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1，观察图像，当时，的取值范围是 ． 13．已知二次函数的图像与x轴的一个交点是，则关于x的一元二次不等式的解集为 ． 14．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．    15．如图，二次函数与一次函数为的图像相交于，两点，则不等式的解集为 ． 16．二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图像上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 17．自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：＞0． 解：设=0，解得：=0，=5，则抛物线y=与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=的大致图像（如图所示），由图像可知：当x＜0，或x＞5时函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集为：x＜0或x＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号） ①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想 （2）一元二次不等式＜0的解集为 ． （3）用类似的方法解一元二次不等式：＞0． 18．在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． (1)完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________； (2)若，则的取值范围是________； (3)若，则的取值范围是________． 19．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴为直线，一次函数的图像与抛物线交于、两点． (1)请求出点的坐标； (2)请利用图像直接写出时x的取值范围． (3)请利用图像直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围． 20．阅读以下材料： 例：解不等式 解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图像： 两个图像的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1） ∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时， 根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：． 题型三 判断抛物线与x轴交点情况 1．抛物线 与x轴交点的情况是（    ） A．有交点 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点 2．下列抛物线中，与轴无公共点的是（  ） A． B． C． D． 3．二次函数（为常数）与轴的交点情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 4．已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数（a为常数，且）的图像与x轴没有交点，则y关于x的二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 6．抛物线（为常数）与轴交点的个数是 ． 7．抛物线与坐标轴的交点个数是 ． 8．已知：二次函数 ， (1)求证：无论为任何实数，该二次函数的图像与轴都有两个不同交点； (2)若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 9．已知：关于的函数表达式为．求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有交点． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点M（1，3）和N（3，5） (1)试判断该抛物线与x轴交点的情况； (2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由． 题型四 由抛物线与x轴交点情况求系数中字母的值（或取值范围） 1．若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 2．关于x的二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图像与轴有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．若二次函数的图像与坐标轴只有一个交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 5．如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图像在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．若关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 8．二次函数的图像与一次函数的图像有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 9．若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为 ． A．3 B． C． D． 10．若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是 ． 11．若函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 12．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ． 13．已知函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ． 14．当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是 ． 15．已知抛物线（） (1)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值； (2)若抛物线的顶点始终在x轴上方，求a的取值范围． 16．已知抛物线. （1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标； （2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围. 1．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（   ） 2．如图是二次函数的图像，图像上有两点分别为，，则关于x的方程的一个解只可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数与二次函数的图像在第二象限内有两个交点，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图像．由图像可知，方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（   ）    A． B．或 C． D．或 6．如图是二次函数的图像，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表 x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 点点在该函数图像上，当与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（a是常数，）的图像上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的部分图像如图所示，图像经过点，其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若点，均在二次函数图像上，则； ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根； ④满足的x的取值范围为． 其中正确结论的个数为（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图像，判断下列结论： ①当时，； ②是方程的一个解； ③若，是抛物线上的两点，则； ④对于抛物线，，当时，的取值范围是． 其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．设二次函数(，，是常数，)，如表列出了、的部分对应值． … … … … 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 12．学习了方程、不等式、函数后，老师提出如下问题：如何求不等式的解集？通过思考，小丽得到解题的方法：由方程的两根为，，可得函数的图像与轴的两个交点横坐标为、3，画出函数图像，观察该图像在轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集．请你模仿小丽的方法，求得不等式的解集为 ． 13．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为 ． 14．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 15．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 . 16．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为 ． 17．在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图像如图所示，当的取值范围是 时，． 18．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有2个交点时，的取值范围是 ． 19．规定：如果两个函数的图像关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图像与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图像与x轴的交点坐标为 ． 20．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 21．已知二次函数图像上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … (1)这个二次函数的顶点坐标为______； (2)当时，请直接写出的取值范围； (3)结合列表，请直接写出关于的不等式的解集． 22．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论 m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； (2)如果把该函数图像沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，求m的值? 23．如图，二次函数的图像与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点． （1）求二次函数和点的坐标； （2）根据图像，写出满足的的取值范围． 24．如图，二次函数的图像交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图像经过点B，结合图像，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 25．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图像（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为________. 26．已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标； (2)在图①中画出（1）中函数的大致图像，并根据图像写出函数值时自变量的取值范围； (3)若且，一元二次方程 两根之差等于，函数图像经过，两点，试比较的大小 ． 27．已知二次函数（m是常数） （1）证明：不论m取何值时，该二次函数图像总与x轴有两个交点； （2）若、是该二次函数图像上的两个不同点，求二次函数解析式和m的值； （3）若，在函数图像上，且，求的取值范围（结果可用含m的式子表示）. 28．如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少了一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数解析式， 已知二次函数的图像经过点，，． 求该二次函数的解析式． (1)请根据已有信息添加一个适当的条件：___________ (2)当函数值，自变量x的取值范围为：___________ (3)如图1，将函数的图像向右平移4个单位与的图像组成一个新的函数图像，记为L，若点，求m的值． (4)如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为，在L上是否存在点Q，使得，若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标，不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4　二次函数与一元二次方程（四大题型提分练） 题型一 根据二次函数图像确定一元二次方程根的情况 1．根据下表列出的函数的几组与的对应值，判断方程一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由表格数据可知：当时，；当， ∴一个根的范围是： 故选：C． 2．二次函数的图像与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】解：二次函数的图像与x轴交于、两点， 方程的根为，， 故选：D． 3．如图是二次函数的图像，图像上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 【答案】D 【解析】解：从函数图像看， 的点在和之间， 而在和之间被选项中的数为， 的方程的一个根可能. 故选：D． 4．若二次函数的部分图像如图所示，则关于的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与轴的一个交点坐标为， 即或时，函数值， 所以关于的方程的解为，． 故选：． 5．若抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【解析】解：由图像可知，抛物线与轴没有交点， ∴关于x的方程无实数根， 故选：C． 6．已知二次函数（是常数，），当时，，若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则该二次函数的图像可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当时，有两个不相等的实根， ∴，即二次函数图像与轴有两个交点， ∴根据图示可得， A、与轴无交点，不符合题意； B、与轴有一个交代，不符合题意； C、与轴有两个交点，符合题意； D、与轴有一个交代，不符合题意； 故选：C． 7．已知函数的图像如图，那么关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【答案】B 【解析】解：∵的图像与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是， ∴，即， ∴根的情况为求x的值情况， 由图像可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8．已知函数的图像如图所示，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵函数的对称轴直线为，此时最大值为，函数的最小值为0， ∴当时，函数与直线有4个不相等的实数根， 故选：A． 9．利用函数图像求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数 的图像，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是，，所以方程的实数根约为 ， ． 【解析】解：利用函数图像求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数的图像， ∵它与轴的交点的横坐标大约是，， ∴方程的实数根为，． 故答案为：；；． 10．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【解析】解：抛物线与直线的两个交点为，， 关于的方程的解为，， 故答案为：，． 11．二次函数的图像如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个值即可） 【解析】解：如图， 画直线，当直线与函数的图像有交点时，则方程有实数根， 由图像可得：当直线过的顶点时，m有最小值， 此时：， ，方程有实数根， 故答案为：（答案不唯一） 12．已知函数的大致图像如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 【解析】解：令得，， 所以函数的图像与y轴的交点坐标为． 方程的实数根可以看成函数的图像与直线交点的横坐标． 因为该方程恰有3个不相等的实数根， 所以函数的图像与直线有3个不同的交点． 如图所示， 当时，两个图像有3个不同的交点， 所以m的值为4． 故答案为：4． 13．如图是二次函数的图像，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是 ． 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 当时，；当时，， 当时，， 而关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数解可看作二次函数与直线有交点， ∴ 故答案为： 14．已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是 ． 【解析】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标， 而， 即函数向下平移3个单位得到函数y， 则两个函数的图像如图所示（省略了y轴）， 从图像看，， 故答案为：． 15．已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为 ． 【解析】解：根据题意，∵一元二次方程， ∴； ∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确； 当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确； 由，则，解得：或；故④正确； ∴正确的结论有①③④； 故答案为：①③④． 16．已知的图像如图所示，根据图像回答下列问题． (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 【解析】（1）解：观察函数图像可知，图像与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， 将方程变形为， 由图像可知方程的解为，， ∴方程的解为，； （2）解：若方程无实数根， 则由图像可得， ∴． 17．阅读材料，完成任务： 图像法解一元二次方程    我们知道，一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，其实，解一元二次方程还有另外一种很有趣的方法——图像法，顾名思义，即通过观察图像得到方程的解的一种方法，下面举一个例子加以说明．     例：解方程．    方法一：如图1，我们在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数的图像．通过观察图像发现，该二次函数的图像与x轴有两个交点，分别是和，因此可得一元二次方程的解为，．     方法二：将变形为．所以原方程的解可以转化为二次函数的图像与直线交点的横坐标．     ……    任务： (1)用图像法解一元二次方程体现的数学思想是________； A．数形结合    C．公理化    B．分讨论 (2)如图2，是二次函数的图像，请你在同一平面坐标系中，画出一次函数的图像，并直接写出一元二次方程的解； (3)实际上，除用图像法解一元二次方程外，初中数学还有一些问题可以用图像法解决．例如：用图像法求一元一次方程的解．请你再举出一例． 【解析】（1）解：二次函数图像体现了形，一元二次方程的根体现了数，将二者联系，体现了数形结合的思想， 故选：A； （2）解：对于，当时，；当时，； 描点、连线，画出一次函数的图像如图，    观察图像，与的交点坐标为和， ∴方程的解为和4， 即一元二次方程的解为和4； （3）解：直线经过和， 直线经过和， 画出图像如图，    观察图像，交点为， ∴方程的解为1． 18．某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 0 1 2 3 0 0 其中，=______． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分．      (3)观察函数图像，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图像发现： ①方程：有______个实数根； ②关于的方程有2个实数根时，的取值范围是______． 【解析】（1）解：当时， 故答案为：； （2）解：描点、连线画出如下函数图像，    （3）解：函数的最小值为； 时，随的增大而增大； 函数关于y轴对称； （4）解：①将向上平移3个单位，得， 从图像上看函数的图像与轴有3个交点，故对应方程有3个根， 故答案为：3； ②关于的方程有2个实数根，即函数的图像与有2个交点， 观察图像，当或时，函数的图像与有2个交点， 故关于的方程有2个实数根时，或． 故答案为：或． 题型二 利用二次函数的图像解一元二次方程不等式 1．如图，若二次函数图像的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】解：二次函数对称轴为直线，与轴交点为， ∴根据二次函数的对称性，可得到图像与轴的另一个交点坐标为， 又函数开口向下，x轴上方部分， ． 故选：B． 2．如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】解：由图可知二次函数的图像的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图像的对称性可知，点也在函数的图像上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 3．一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】解：由图像可知， 关于的不等式的解集为或． 故选：B． 4．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【解析】解：依题意， 因为 所以 因为抛物线与直线交于，两点， 结合图像性质： 所以的解集为 即不等式的解集为， 故选：C． 5．已知二次函数图像上的两点和，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：二次函数y=－2ax2＋4ax＋c(a>0)， ∴函数对称轴为：直线， ∴(6，y2)关于对称轴的对称点为(－4，y2)， ∵a>0， ∴－2a<0， ∴该函数开口向下， ∵两点分别为(x1，y1)，(6，y2)，y1> y2， ∴－4<x1<6． 故选：D． 6．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图像经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【解析】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 7．已知二次函数的图像的对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵对称轴为直线，解得， ∴二次函数解析式为， ∴在时，， 则的解相当于与直线的交点， ∴当时，在的范围内有解， 故选：． 8．已知二次函数（a是常数，）的图像上有和两点．若点A，B都在直线的下方，且则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵和两点都在直线的下方，且， ∴, ∴， 考虑函数，当时，， ∴的解集表示位于横轴下方的图像的自变量的取值， ∴①， ∵数（a是常数，）的图像上有和两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②， 由①②得，． 故选：B． 9．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【解析】解：由图像可知，当时，． 故答案为：或． 10．如图，二次函数图像经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 【解析】解：二次函数的图像经过点，， 由图像可知：当时，或， 故答案为：或． 11．已知二次函数的图像如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．    【解析】解：由图像可知， 当时，函数值的取值范围， 故答案为：． 12．如图，二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1，观察图像，当时，的取值范围是 ． 【解析】解：∵二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1， ∴由图像可得：当时，则x的取值范围是或． 故答案为：或． 13．已知二次函数的图像与x轴的一个交点是，则关于x的一元二次不等式的解集为 ． 【解析】解：根据题意可得图像的开口向上，对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次不等式的解集是， 故答案为：． 14．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．    【解析】解：抛物线与直线交于，， 不等式的解集是或， 故答案为：或． 15．如图，二次函数与一次函数为的图像相交于，两点，则不等式的解集为 ． 【解析】解：， ， 由图像可得，当时，则有， 不等式的解集为． 故答案为：． 16．二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图像上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【解析】解：（1）二次函数的对称轴为直线， ， ， 故答案为：1； （2）点，都在二次函数的图像上， ， ， 即 ， 或． 故答案为： 或． 17．自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：＞0． 解：设=0，解得：=0，=5，则抛物线y=与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=的大致图像（如图所示），由图像可知：当x＜0，或x＞5时函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集为：x＜0或x＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号） ①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想 （2）一元二次不等式＜0的解集为 ． （3）用类似的方法解一元二次不等式：＞0． 【解析】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③； 故答案为①③； （2）由图像可知：当0＜x＜5时函数图像位于x轴下方，此时y＜0，即＜0， ∴一元二次不等式＜0的解集为：0＜x＜5； 故答案为0＜x＜5． （3）设=0，解得：=3，=﹣1， ∴抛物线y=与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）． 画出二次函数y=的大致图像（如图所示），由图像可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，∴一元二次不等式＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3． 18．在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． (1)完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________； (2)若，则的取值范围是________； (3)若，则的取值范围是________． 【解析】（1）由表格可得，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则顶点坐标为， 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）如图，    ∵， ∴图像开口向上，对称轴为直线， ∵时，有最小值，则；时，， ∴当，的取值范围是， 故答案为：； （3）∵图像经过点，对称轴为直线， 由（）可知图像开口向上， ∴若，则的取值范围是或 故答案为：或． 19．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴为直线，一次函数的图像与抛物线交于、两点． (1)请求出点的坐标； (2)请利用图像直接写出时x的取值范围． (3)请利用图像直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围． 【解析】（1）解：∵二次函数的图像与两坐标轴分别交于点、点，且二次函数的对称轴直线， ∴； （2）解：由图像可知，当或时，； （3）解：由图像可知，两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围是． 20．阅读以下材料： 例：解不等式 解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图像： 两个图像的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1） ∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时， 根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：． 【解析】解：设y1=x2，，在同一直角坐标系中画出它们的图像， 两个图像的交点为（1，1）， ∴由图可知，当x＜0或x＞1时，x2＞．    题型三 判断抛物线与x轴交点情况 1．抛物线 与x轴交点的情况是（    ） A．有交点 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点 【答案】D 【解析】解：∵， ∴抛物线与x轴有两个交点． 故选：D． 2．下列抛物线中，与轴无公共点的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、Δ＝b2﹣4ac＝0+4＝4＞0，该抛物线与x轴有2个交点，不符合题意； B、△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，该抛物线与x轴有1个交点，不符合题意； C、△＝b2﹣4ac＝16+20＝36＞0，该抛物线与x轴有2个交点，不符合题意； D、△＝b2﹣4ac＝4﹣8＝﹣4＜0，该抛物线与x轴没有交点，符合题意； 故选：D． 3．二次函数（为常数）与轴的交点情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【解析】解：由题意得：， 故不论m取何值时，该二次函数图像总与x轴有两个交点， 故选：A． 4．已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和， 故A、B、D选项错误， 故选：C． 5．已知二次函数（a为常数，且）的图像与x轴没有交点，则y关于x的二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵二次函数（a为常数，且）的图像与x轴没有交点， ∴令，则有：， ∴； ∴二次函数的图像开口向上， 又， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点在第四象限， 综上，只有选项A的图像符合题意， 故选：A． 6．抛物线（为常数）与轴交点的个数是 ． 【解析】解：∵， 令，则 ∵ ∴ ∴抛物线与轴有2个交点． 故答案为：2． 7．抛物线与坐标轴的交点个数是 ． 【解析】解：∵抛物线解析式， 令，解得：，∴抛物线与轴的交点为（0，4）， 令，得到 ∴抛物线与轴的交点分别为（，0），（1，0）． 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3． 故答案为：3． 8．已知：二次函数 ， (1)求证：无论为任何实数，该二次函数的图像与轴都有两个不同交点； (2)若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【解析】（1）证明：令，则， ， ， ， ∴无论为任何实数，该二次函数的图像与轴都有两个不同交点； （2）解：设方程有两个实数根，，其中， ∴，即， 解得：，， ∴的值为，方程的另一个根为． 9．已知：关于的函数表达式为．求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有交点． 【解析】证明：当时，原函数为关于的二次函数，令，得． 因为，即不论取何值，关于的一元二次方程总有实根，则原二次函数的图像与轴总有交点． 当时，原函数关系式是，是关于的一次函数．令，得，即其函数图像与轴交于点． 综上可得，不论取何值，该函数图像与轴总有交点． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点M（1，3）和N（3，5） (1)试判断该抛物线与x轴交点的情况； (2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由． 【解析】（1）解：把点M（1，3）和N（3，5）代入抛物线解析式，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， 令y=0，得， ∵△=（-3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0， ∴抛物线与x轴没有交点； （2）解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上， ∴OA=OB， ∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为， ①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入，得： ，解得：， ∴平移后的抛物线为， ∴该抛物线的顶点坐标为（，）， ∵原抛物线顶点坐标为（，）， ∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线； ②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入，得： ，解得：， ∴平移后的抛物线为， ∴该抛物线的顶点坐标为（，）， ∵原抛物线顶点坐标为（，）， ∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线． 题型四 由抛物线与x轴交点情况求系数中字母的值（或取值范围） 1．若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【解析】解：∵抛物线与x轴没有交点， 无解， ， 解得， 故选：D． 2．关于x的二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵的图像与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 3．二次函数的图像与轴有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】解：二次函数的图像与轴有两个交点， ，即， 解得且． 故选：B． 4．若二次函数的图像与坐标轴只有一个交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题知，因为二次函数的图像与坐标轴只有一个交点， 所以此二次函数图像与轴没有交点， 则， 解得． 显然四个选项中、、都不符合要求，只有选项符合要求． 故选：． 5．如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由二次函数与轴只有一个交点， ∴二次函数对应的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 故选：D． 6．已知二次函数的图像在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：二次函教的图像在轴的下方， 抛物线开口向下，与轴无交点， 即，， 故选：C． 7．若关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【解析】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 8．二次函数的图像与一次函数的图像有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：∵二次函数的图像与一次函数的图像有且仅有一个交点， ∴方程 只有一个实数根， ∴只有一个实数根， 当时， ∴， ∴， 解得， 当时，，即，不符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时， 令，当时，，当时，， ∵方程只有一个实数根， ∴二次函数在时与x轴只有一个交点， ∴， ∴， 当时，或，满足题意； 当时，或，不满足题意； 综上所述，或； 故选：D． 9．若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为 ． A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意得：． 解得：， 故答案为：． 10．若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是 ． 【解析】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 11．若函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 【解析】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1． 12．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ． 【解析】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4， 此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4）， 函数的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3）， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， ∴m-3>0， 解得：m>3， 故答案为：m>3． 13．已知函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ． 【解析】当函数图像过原点时，函数的图像与坐标轴恰有两个公共点， 此时满足，解得； 当函数图像与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时， 此时满足，解得或， 当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意； 综上可得，或时，函数图像与坐标轴恰有两个公共点． 故答案为：1或． 14．当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是 ． 【解析】解:法一：与抛物线有交点 则有，整理得 解得 ，对称轴 法二：由题意可知， ∵抛物线的 顶点为，而 ∴抛物线y的取值为 ，则直线y与x轴平行， ∴要使直线与抛物线有交点， ∴抛物线y的取值为，即为a的取值范围， ∴ 故答案为． 15．已知抛物线（） (1)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值； (2)若抛物线的顶点始终在x轴上方，求a的取值范围． 【解析】（1）∵二次函数的图像与x轴只有一个交点， ∴． 解得：或3． ∴当或3时函数图像与x轴恰有一个交点； （2）由题意得 当时，，解得；    当时，，解得，     ∴当或时，抛物线顶点始终在x轴上方． 16．已知抛物线. （1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标； （2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围. 【解析】（1）当，时，抛物线为，方程的两个根为，.所以该抛物线与轴公共点的坐标是和. （2）当时，抛物线为，且与轴有公共点.对于方程，判别式，有. ①当时，由方程，解得，此时抛物线为与轴只有一个公共点； ②当时，时，，时，.由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有，即，解得. 综上，或. 1．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图是二次函数的图像，图像上有两点分别为，，则关于x的方程的一个解只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：二次函数的图像上有两点分别为，， 方程的一个解满足， 方程的一个解满足，即, 只有A选项符合题意， 故选：A． 3．已知一次函数与二次函数的图像在第二象限内有两个交点，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：联立得：， 整理，得， ∵两函数图像在第二象限内有两个交点， ∴方程有两个负数解， ∴函数的图像与x轴的负半轴有两个交点， 故选：B． 4．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图像．由图像可知，方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】观察函数的图像可知， 图像与直线有3个交点， ∴方程的实数根有3个 故选：C 5．李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】解：由题意得， ∴， ∴顶点坐标为， 当有两个实数根时， ∴或， 故选：． 6．如图是二次函数的图像，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 7．若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表 x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 点点在该函数图像上，当与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2， ∵a=-1＜0， ∴函数图像开口向下， ∵0＜x1＜1，2＜x2＜3， ∴y1＜y2． 故选：A． 8．已知二次函数（a是常数，）的图像上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 9．已知二次函数的部分图像如图所示，图像经过点，其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若点，均在二次函数图像上，则； ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根； ④满足的x的取值范围为． 其中正确结论的个数为（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图像可得时，， 即， 而， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵，， 即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 故，故②正确； ③由图像可知：二次函数与直线有两个不同的交点， 即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； ④∵函数图像经过，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图像，判断下列结论： ①当时，； ②是方程的一个解； ③若，是抛物线上的两点，则； ④对于抛物线，，当时，的取值范围是． 其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】解：根据函数图像，可得当时，，故①正确； ∵在上， ∴是方程的一个解；故②正确； ∵，在抛物线上， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得： ∴当时，， 当时，， ∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确； ∵ ，顶点坐标为， ∴对于抛物线，，当时，的取值范围是，故④错误． 故正确的有3个， 故选：B． 11．设二次函数(，，是常数，)，如表列出了、的部分对应值． … … … … 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 【解析】∵当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴为． ∵当时，， ∴当时，． ∴方程的解是或． ∵当时，， ∴当时，． ∵当时，随的增大而增大， ∴． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或；或 12．学习了方程、不等式、函数后，老师提出如下问题：如何求不等式的解集？通过思考，小丽得到解题的方法：由方程的两根为，，可得函数的图像与轴的两个交点横坐标为、3，画出函数图像，观察该图像在轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集．请你模仿小丽的方法，求得不等式的解集为 ． 【解析】∵ ∴ ∴ ∴或 解得， ∴方程的两根为， ∴函数的图像与轴的两个交点横坐标为、2， 画出函数的图像如下： 由图像可得，当或时， ∴不等式的解集为或 ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 13．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为 ． 【解析】设与交点为， 根据题意 则 的对称轴为 故设 则方程为： 故答案为： 14．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【解析】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 15．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 . 【解析】解：二次函数的对称轴为直线 因此方程为 所以可得 故答案为，. 16．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为 ． 【解析】解：由题意知，直线与抛物线交于，两点，图像交于点，点， 则关于x的方程，即解为或5 故答案为：或5． 17．在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图像如图所示，当的取值范围是 时，． 【解析】解：当时，和的值异号， 观察图像可得，当的取值范围是或时，． 故答案为：或． 18．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有2个交点时，的取值范围是 ． 【解析】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图像可知当时，直线与新图像有2个交点，当时，直线与新图像有2个交点； 故答案为：或． 19．规定：如果两个函数的图像关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图像与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图像与x轴的交点坐标为 ． 【解析】解：①当时，函数的解析式为， 此时函数的图像与x轴只有一个交点成立， 当时，可得，解得， 与x轴的交点坐标为， 根据题意可得，它的“Y函数”图像与x轴的交点坐标为； ①当时， 函数的图像与x轴只有一个交点， ，即， 解得， 函数的解析式为， 当时，可得， 解得， 根据题意可得，它的“Y函数”图像与x轴的交点坐标为， 综上所述，它的“Y函数”图像与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 20．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【解析】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 21．已知二次函数图像上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … (1)这个二次函数的顶点坐标为______； (2)当时，请直接写出的取值范围； (3)结合列表，请直接写出关于的不等式的解集． 【解析】（1）由抛物线的对称性得，对称轴为直线 ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）∵时，，时，， ∴当时，的取值范围是 ； （3）由表格可得，当时，函数有最小值， ∴抛物线开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图像过点，， ∴关于的不等式的解集为． 22．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论 m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； (2)如果把该函数图像沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，求m的值? 【解析】（1）（1）证明：△ ， 不论为何值，该函数的图像与轴没有公共点； （2）解：， 抛物线的顶点坐标为， 把该函数图像沿轴向下平移3个单位后，得到的函数图像与轴只有一个公共点， ，解得，， 即的值为． 23．如图，二次函数的图像与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点． （1）求二次函数和点的坐标； （2）根据图像，写出满足的的取值范围． 【解析】解：（1）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴点坐标， ∵对称轴，、关于对称轴对称， ∴点坐标， （2）由图像可知，满足的的取值范围为或． 24．如图，二次函数的图像交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图像经过点B，结合图像，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 【解析】（1）解：令，则， 解得，， ，， ； （2）解：把的坐标代入，得， 解得， ， 令， 解得，， 观察图像可知，当时，； （3）解：二次函数的图像的顶点坐标， 即当时，二次函数取得最大值9， 在对称轴左侧y1随x的增大而增大，在对称轴右侧y1随x的增大而减小， ， 当时，二次函数取得最小值0， 当时，二次函数的取值范围为． 故答案为：． 25．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图像（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为________. 【解析】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想， 故答案为：AC； （2）解：a>0时，抛物线开口向上． 当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒ ∵a>0， ∴顶点纵坐标﹒ ∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）： ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根． （3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等） 26．已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标； (2)在图①中画出（1）中函数的大致图像，并根据图像写出函数值时自变量的取值范围； (3)若且，一元二次方程 两根之差等于，函数图像经过，两点，试比较的大小 ． 【解析】（1）解：∵，且函数图像经过，两点， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵当时，则， 解得，， ∴抛物线与轴交点的坐标为，， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为． （2）解：函数的大致图像，如图①所示： 当时，则， 解得，， 由图像可知：当时，函数值． （3）解：∵且， ∴，，，且一元二次方程必有一根为， ∵一元二次方程 两根之差等于，且 ∴方程的另一个根为， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ， ∴， ∵b＞c, ∴-1-c＞c, ∴, ∴， ∴． 27．已知二次函数（m是常数） （1）证明：不论m取何值时，该二次函数图像总与x轴有两个交点； （2）若、是该二次函数图像上的两个不同点，求二次函数解析式和m的值； （3）若，在函数图像上，且，求的取值范围（结果可用含m的式子表示）. 【解析】解：（1）由二次函数可得：，， ， 则：， ∴不论m取何值时，该二次函数图像总与x轴有两个交点； （2）∵、是该二次函数图像上的两个不同点， ∵A，B两点y值相同，即A，B两点是对称点， ∴抛物线的对称轴是：， ∴对称轴，， ∴， ∴二次函数解析式为：； （3）当h=0时，， 解得：，， 并根据抛物线的对称性，作出抛物线图像如下图所示： 当时，由图像得：x0的取值范围是． 28．如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少了一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数解析式， 已知二次函数的图像经过点，，． 求该二次函数的解析式． (1)请根据已有信息添加一个适当的条件：___________ (2)当函数值，自变量x的取值范围为：___________ (3)如图1，将函数的图像向右平移4个单位与的图像组成一个新的函数图像，记为L，若点，求m的值． (4)如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为，在L上是否存在点Q，使得，若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标，不存在，说明理由． 【解析】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）， 当时，解得或， 当时，， 故答案为：； （3）， 抛物线向右平移4个单位后的解析式为， 当时，点在抛物线的部分上， ； （4）存在点，使得，理由如下： 当点在抛物线的部分上时，设， ， 解得或， ， ， ，； 当点在抛物线的部分上时，设， ， 解得或， ， ， ，； 综上所述：点坐标为，或，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$