5.3 用待定系数法确定二次函数表达式（二大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.3　用待定系数法确定二次函数表达式（二大题型提分练） 题型一 用待定系数法求二次函数的表达式 1．若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 2．已知抛物线与二次函数的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（    ）． A．6 B．1 C．-1 D．-6 5．已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 7．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 8．如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么a的值是 ． 9．已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 10．已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值：则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）． 0 1 2 0 1 11．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是 ． 12．顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是 ． 13．已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 14．二次函数的图像过点，两点，对称轴为直线，这个二次函数的解析式为 ． 15．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质： 甲说：对称轴是直线； 乙说：与轴的两个交点距离为6； 丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9． 请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式： ． 16．如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 17．已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 18．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 19．已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 20．设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … (1)若，求二次函数的表达式； (2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 题型二 求变换后的二次函数的表达式 1．若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 5．将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为 ． 6．将抛物线绕点O顺时针旋转后，得到的抛物线解析式为 7．在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 8．已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 9．已知抛物线C的顶点坐标为，且过点，将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线．求抛物线的表达式． 1．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，在同一个函数的图像上，则这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．如下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 7 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） A．图象开口向下 B．对称轴为直线 C．图象与x轴的一个交点坐标为 D．有最小值为 6．已知二次函数，当时，有最小值，其图象的形状与抛物线相同，开口方向相反，则这个二次函数的表达式是（  ） A． B． C． D． 7．如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 8．如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则以下结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，．正确的是（    ） A．① ② ③ B．① ③ C．① ② ④ D．① ② ③ ④ 9．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，，，点在轴上，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ． 11．如图，A，B为抛物线上的两点，且轴于点．若，则该抛物线对应的函数解析式为 ． 12．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ． 13．抛物线的图象经过、，且对称轴到轴的距离为2，则抛物线的函数表达式是 ． 14．将抛物线绕原点旋转后的图象的解析式为 （写成一般式） 15．抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 16．已知二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点，若，且的面积为3，则 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式） 18．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ． 19．二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 20．已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为 ． 21．根据下列条件求函数解析式． (1)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 22．如图，二次函数图像过原点，且，，求该二次函数的解析式．    23．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 24．已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． (1)求抛物线L1的函数表达式． (2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． (3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 25．已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 26．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 27．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．    (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 28．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3　用待定系数法确定二次函数表达式（二大题型提分练） 题型一 用待定系数法求二次函数的表达式 1．若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C 【解析】解：把代入函数，得 4a4， 解得a1． 故选：C． 2．已知抛物线与二次函数的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设此抛物线的解析式为， ∵抛物线与二次函数的图象形状相同，开口方向相同， ∴， ∵顶点坐标为， ∴，， ∴， 故选：D． 3．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：将和代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故选：C． 4．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（    ）． A．6 B．1 C．-1 D．-6 【答案】D 【解析】解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，则； 故选：D． 5．已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由表可知：关于对称轴的对称点是， 二次函数对称轴是直线， 二次函数顶点坐标是， 设二次函数解析式是， 把代入得： ， 解得：， 二次函数解析式是， 故选：B． 6．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象可得抛物线过、、三点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故选：A． 7．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵点P都在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么a的值是 ． 【解析】解：根据图示知，二次函数的图象经过原点， ∴， 解得； 又∵该函数图象的开口方向向下， ∴， ∴． 故答案为：． 9．已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 【解析】解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的开口方向向上， 故答案为：向上． 10．已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值：则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）． 0 1 2 0 1 【解析】解：设解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴解析式为， ∵， ∴抛物线有最大值， 故答案为：最大值． 11．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是 ． 【解析】解：设二次函数的解析式为． ∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线顶点在y轴上， ∴，为任何数， 则取，，时，二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 12．顶点为，且与函数 的图象开口方向相反、形状相同的抛物线是 ． 【解析】解：∵抛物线的形状与函数的图象相同且开口方向相反 ∴抛物线的解析式的二次项系数为，又其顶点为 ∴抛物线解析式为． 故答案为：． 13．已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【解析】解：∵抛物线经过和， ∴设抛物线的解析式为：， ∵一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可， ∴， ∴． 故答案为：． 14．二次函数的图像过点，两点，对称轴为直线，这个二次函数的解析式为 ． 【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 设抛物线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，即． 故答案为：． 15．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质： 甲说：对称轴是直线； 乙说：与轴的两个交点距离为6； 丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9． 请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式： ． 【解析】解：∵对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点距离为6，顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，设顶点的纵坐标为， 则：与轴的两个交点分别为：，， ∴， ∴顶点坐标为或， 当顶点坐标为时，设抛物线的解析式为：，把代入，得： ， ∴； ∴； 当顶点坐标为时，同法可得：； 故答案为：或． 16．如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【解析】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 17．已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【解析】解：由题意设抛物线为；           把代入，得： 解得：           ∴ ∴，，． 18．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【解析】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 19．已知一个二次函数的图像经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 【解析】解：∵二次函数的图像经过、、三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：． 20．设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … (1)若，求二次函数的表达式； (2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小． (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围． 【解析】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：∵，在图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，则时，随的增大而减小， （3）解：把代入，得 ， ∴ ∴ 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， ∴， ∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数， ∴，解得：． 题型二 求变换后的二次函数的表达式 1．若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线平移得到，且对称轴是直线： 设抛物线的解析式为：， 过点，得到 解得：， 所以抛物线的解析式为： 故选：D． 2．先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线关于轴作轴对称变换， 则所得抛物线为，即． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 4．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 【解析】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 5．将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为 ． 【解析】解：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线表达式为． 故答案为：. 6．将抛物线绕点O顺时针旋转后，得到的抛物线解析式为 【解析】解：∵抛物线的顶点是，绕点O顺时针旋转后， ∴顶点坐标为，开口大小不变，开口方向相反，即， ∴旋转后的解析式为． 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【解析】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 8．已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【解析】解：设沿轴向左平移个单位后，抛物线经过点， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 解得：或， ∴平移后的抛物线解析式为或， 故答案为：或． 9．已知抛物线C的顶点坐标为，且过点，将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线．求抛物线的表达式． 【解析】解：由抛物线C的顶点坐标为，设抛物线C的解析式为， 把点代入可得，，解得， ∴抛物线C的解析式为， 将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线，则抛物线的表达式为． 1．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】解：抛物线经过和两点， ， 解得， 故选：A． 2．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意，原抛物线顶点为，过点， ∴设原抛物线解析式为：， 将代入得：， ∴， ∴原抛物线解析式为， ∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到， 故选：B． 3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 4．已知点，，在同一个函数的图像上，则这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可得该函数只能是抛物线； 由点，可知该抛物线的对称轴为直线，则设抛物线解析式为， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， 从选项中可知只有C选项符合，所以这个函数可能是； 故选：C． 5．如下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 7 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） A．图象开口向下 B．对称轴为直线 C．图象与x轴的一个交点坐标为 D．有最小值为 【答案】C 【解析】解：设二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，最小值为， 当时，解得或， ∴图象与x轴的一个交点坐标为， ∴四个选项中只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 6．已知二次函数，当时，有最小值，其图象的形状与抛物线相同，开口方向相反，则这个二次函数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：二次函数，当时，最小值， ∴设， 二次函数的图象形状与抛物线相同，开口方向相反， ， ． 故选：B． 7．如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况： 当，如图，建立平面直角坐标系， ∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，， 当时，过，，三点的抛物线的开口最小， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 当时，如图，建立平面直角坐标系， 二次函数的图象经过、、三点， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 综上，的最大值为． 故选：A． 8．如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则以下结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，．正确的是（    ） A．① ② ③ B．① ③ C．① ② ④ D．① ② ③ ④ 【答案】B 【解析】解：①∵抛物线与交于点， 解得：故①符合题意； ②过点作于点， ∵是抛物线的顶点， ∴ ， 故②不符合题意； ③当时， 解得： ∴ ∴ 是等腰直角三角形，故③符合题意； ④时， 解得： ∴当 时， 故④不符合题意． 综上，符合题题意的有①③， 故选：． 9．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，，，点在轴上，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点A作轴，如图，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴的值为， 故选：A． 10．已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ． 【解析】∵二次函数有最大值， ∴二次函数的二次项系数小于0，可设二次函数的解析式为， 又∵它的图象经过点， ， ， 二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一） 11．如图，A，B为抛物线上的两点，且轴于点．若，则该抛物线对应的函数解析式为 ． 【解析】解：轴于点，， ， 将代入， 得， ， 故答案为：． 12．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ． 【解析】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴可设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数图象的形状与抛物线相同， ∴， ∴， ∴这个二次函数的解析式为或． 故答案为：或． 13．抛物线的图象经过、，且对称轴到轴的距离为2，则抛物线的函数表达式是 ． 【解析】解：∵抛物线对称轴到轴的距离为2， ∴抛物线的对称轴为直线或， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为或， 设抛物线解析式为或， 把代入得， 解得：， 此时抛物线的解析式为，即； 把代入得， 解得：， 此时抛物线的解析式为，即； 综上所述，抛物线的解析式为或， 故答案为：或． 14．将抛物线绕原点旋转后的图象的解析式为 （写成一般式） 【解析】解：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵绕原点旋转后的点与关于原点对称，即绕原点旋转后的点坐标为， ∴当将抛物线绕原点旋转后得到的图象开口必定向下，且图象形状不变，且顶点坐标， ∴解析式为 故答案为：． 15．抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与 的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为 ． 【解析】解：设这条抛物线解析式为， ∵抛物线与 的图象开口大小相同， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点，若，且的面积为3，则 ． 【解析】解：设则由面积为3，且，得， ， ， 解得 ， 将代入得， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式） 【解析】解：点，反比例函数经过点B，则点， 则，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， 解得：，故点， 将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故答案为． 18．在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则 ；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是 ． 【解析】解：直线经过点， ，解得， 直线为， 把代入得， 点在直线上； 直线经过点，直线与抛物线都经过点，∴点，，在直线上， ∵直线与抛物线不可能有三个交点， ，两点的横坐标相同， 抛物线只能经过、两点， 把，代入，得 ． 解得，． ． 抛物线的解析式为， 设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，， 顶点仍在直线上， ， ， 抛物线与轴的交点的纵坐标为， ， 当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 故答案为：1；． 19．二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【解析】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 20．已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为 ． 【解析】解：把代入，得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得， 分别画出当抛物线过四边形的四个顶点时的图象，如图， 如图，若抛物线与四边形的边有没有交点， 则a的取值范围为或， 故答案为或． 21．根据下列条件求函数解析式． (1)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 【解析】（1））解：设抛物线的函数解析， 把点和的坐标代入中得， 解得 ， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设抛物线的函数解析式为， 将点的坐标代入中得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 22．如图，二次函数图像过原点，且，，求该二次函数的解析式．    【解析】解：∵，， ∴顶点B的坐标为， ∴可设该二次函数的解析式为． ∵二次函数图象过原点， ∴， 解得：， ∴． 23．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【解析】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 24．已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． (1)求抛物线L1的函数表达式． (2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． (3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 【解析】（1）解：把代入得： ， 解得， ； 答：抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的顶点为， 将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为， 而关于原点的对称点为， 把代入得： ， 解得， 答：的值为4； （3）解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为， 点，都在抛物线上， ， ， y1＞y2， ， 整理变形得：， ， 解得， 的取值范围是． 25．已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【解析】（1）解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． （2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 26．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为． 27．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．    (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， 二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ， ； （2）如图，连接，      当时，， 或2，， 点P在抛物线上， 点P的纵坐标为， ； （3） 设， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 综上：或或． 28．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$