6.4.3三角形中的范围与最值问题课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题突破练二 三角形中的范围与最值问题 专题突破练二 三角形中的范围与最值问题 执教者：张达滨 班级：高一1班 时间：2025.3.5 1、正弦定理 一、预习回顾 2、余弦定理： 角化边或边的平方转化成角的余弦 3、三角形面积公式 4、三角形内角和定理 在△ABC中，有 5、三角形解的个数判断 已知两边及其一边的对角判断三角形解的个数 A b 二、新课探究 类型一 角的范围问题 【典例1】 在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=1,(　　) 法二 (2024·邢台高一检测)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为已知 (1)求; (2)求的取值范围. 【总结升华】 关于角的范围问题 (1)利用正弦定理或余弦定理表示出所求角的正弦或余弦; (2)利用基本不等式或三角函数的知识得到所求角的正弦或余弦的范围; (3)结合正、余弦函数的单调性求出对应角的范围. 类型二  边的范围问题 (2024·邵阳高一检测)在钝角△ABC中,C=，=4,则的取值范围是（ ） (2024·广州高一检测)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为 【解析】 锐角△ABC中，，由正弦定理得 【总结升华】 关于边的范围问题 (1)利用正弦定理将所求边用对应的角表示; (2)结合三角函数的性质求解. (2024·北京高一检测)在锐角△ABC中,sin 2B=cos B,b=1. ①求B; ②求△ABC周长的最大值. 类型三  周长的范围问题 【解析】①因为锐角△ABC,B∈(0,), 所以cos B>0,所以sin 2B=2sin Bcos B=cos B,所以sin B=,B=. ②由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B, 代入得a2+c2-ac=1,所以(a+c)2-1=3ac, 因为()2≥ac,所以(a+c)2-1≤(a+c)2,a+c≤2, 当且仅当a=c=1时等号成立, 所以(a+b+c)max=3. 【总结升华】 关于周长的最值(范围)问题 (1)基本不等式法:若已知一边及其对角,根据余弦定理列出关于另两边的关系式,利用基本不等式求另外两边和的最值,从而求出周长的最值. 变形举例:a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc-2bccos A=(b+c)2-2(1+cos A)bc ≥(b+c)2-2(1+cos A); (2)三角函数性质法:根据正弦定理用角表示边,将周长表示成关于三角形某个角的三角函数,利用三角函数的性质求最值. 类型四 面积的范围问题 【典例3】在△ABC中,∠A,∠ABC,∠C的对边分别为a,b,c,∠ABC=,BD平分∠ABC交AC于点D,BD=2,则△ABC的面积的最小值为多少? 【解析】因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠CBD=∠ABC=, 因为S△ABC=S△ABD+S△DBC, 所以acsin =×2asin +×2csin , 整理得ac=2(a+c)≥4, 解得ac≥16,当且仅当a=c=4时等号成立, 所以=×16×=4. 【总结升华】 关于面积的最值 (1)根据面积公式,利用余弦定理、基本不等式求两边乘积的最值; (2)根据面积公式,利用正弦定理把面积表示成关于某个角的三角函数求最值. 三、总结提升 四、作业 小本P268专题突破练二 $$