期中易错题压轴题专练2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册

七年级数学（下）期中易错题压轴题专练 （考试范围：第7~9章） 【易错篇】 1 【考点1 幂的运算】 1 【考点2 单项式乘单项式】 2 【考点3 单项式乘多项式】 2 【考点4 多项式乘多项式】 3 【考点5 完全平方公式】 4 【考点6 平方差公式】 4 【考点7 平移】 5 【考点8 轴对称与轴对称图形】 6 【考点9 旋转】 7 【考点10 中心对称与中心对称图形】 8 【压轴篇】 10 【考点11 幂的运算的逆用】 10 【考点12 多项式乘积不含某项求字母的值】 10 【考点13 多项式乘多项式与图形面积】 11 【考点14 整式乘法中的规律性问题】 14 【考点15 整式乘法中的恒成立问题】 15 【考点16 利用平移、轴对称、旋转设计图案】 16 【考点17 多结论类问题】 18 【考点18 新定义类问题】 19 【考点19 阅读理解类问题】 20 【易错篇】 【考点1 幂的运算】 【例1】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式1-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若，，为整数，则 ． 【考点2 单项式乘单项式】 【例2】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式2-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若，则的值为 . 【变式2-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【考点3 单项式乘多项式】 【例3】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为 ． 【变式3-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若恒成立，则 ． 【变式3-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【变式3-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 【考点4 多项式乘多项式】 【例4】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．2张 B．3张 C．4张 D．5张 【变式4-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为米（为正数），宽为米的长方形土地，若把这块地的长增加米，宽减少米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【变式4-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： ． 运用规律 (1)如果，那么的值是_______，的值是_________； (2)如果． ①求的值； ②求的值． 【考点5 完全平方公式】 【例5】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【变式5-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【变式5-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足，则 ． 【变式5-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【考点6 平方差公式】 【例6】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 【变式6-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　） A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定 【变式6-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．      【考点7 平移】 【例7】（24-25七年级·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【变式7-2】（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ． 【变式7-3】（24-25七年级·广东清远·期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【考点8 轴对称与轴对称图形】 【例8】（24-25七年级·广西河池·期末）如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为 ． 【变式8-1】（24-25七年级·甘肃陇南·期末）下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【变式8-2】（24-25七年级·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使最小． 【变式8-3】（24-25七年级·浙江杭州·期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为 ．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ． 【考点9 旋转】 【例9】（24-25七年级·安徽合肥·期中）如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A．B．C． D． 【变式9-1】（24-25七年级·广东广州·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（    ）可以使得接收光能最多． A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级·广东潮州·期中）如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在的延长线上的点E处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 【考点10 中心对称与中心对称图形】 【例10】（24-25七年级·山东临沂·期末）未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   【变式10-1】（24-25七年级·新疆阿克苏·期中）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称．下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有 ．（只填序号） 【变式10-2】（24-25七年级·江苏南通·假期作业）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是 cm2． 【变式10-3】（24-25七年级·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转得到，其中A，B，C分别和，，对应，画出， (2)画出关于点O成中心对称的． 【压轴篇】 【考点11 幂的运算的逆用】 【例11】（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则= ． 【变式11-1】（24-25七年级·四川巴中·期中）已知，则= ． 【变式11-2】（24-25七年级·安徽滁州·期中）已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【变式11-3】（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数满足且，则的值为 ． 【考点12 多项式乘积不含某项求字母的值】 【例12】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是 . 【变式12-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25七年级·四川巴中·期中）若的展开式中不含和项，则 ． 【变式12-3】（24-25七年级·安徽淮北·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【考点13 多项式乘多项式与图形面积】 【例13】（24-25七年级·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【变式13-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【变式13-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【变式13-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C）， (1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______ (2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(的正方形A，的正方形B，的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整； 框1 (3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立； (4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答． 【考点14 整式乘法中的规律性问题】 【例14】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 【变式14-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】 _____； _____； _____；…… (2)【猜想】由此可得：__________； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【变式14-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 【变式14-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________． 2025年1月 (1)完成上面的填空． (2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律． (3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【考点15 整式乘法中的恒成立问题】 【例15】（24-25七年级·上海·期中）、为正整数，如果成立，那么（   ） A．必为奇数 B．必为奇数 C．、必同为奇数 D．、必同为偶数 【变式15-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 【变式15-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作．即：若，则．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为，所以． （1）计算( )； （2）在正整数指数幂的范围内，若恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 ． 【变式15-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则 ；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【考点16 利用平移、轴对称、旋转设计图案】 【例16】（24-25七年级·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【变式16-1】（24-25七年级·贵州安顺·期中）如图，图2中的图案可以看作是由图1中的基本图案通过一定的图形变换形成的，这个图形变换不可能是（  ） A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【变式16-2】（2024·四川广安·中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【变式16-3】（24-25七年级·江苏南京·期末）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______． 【考点17 多结论类问题】 【例17】（24-25七年级·重庆·阶段练习）已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式17-1】（24-25七年级·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25七年级·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等． 有如下两个结论： ①； ②当，时，代数式的值是； 上述结论中，正确的有 （写出序号即可）． 【变式17-3】（24-25七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推． ①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5； ②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0； ③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243； ④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为； 四个结论错误的有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点18 新定义类问题】 【例18】（24-25七年级·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【变式18-1】（24-25七年级·浙江台州·期末）规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【变式18-2】（24-25七年级·湖南长沙·期中）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”. 解决如下问题： (1)请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【变式18-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则 ；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【考点19 阅读理解类问题】 【例19】（24-25七年级·上海闵行·期中）阅读理解题 阅读材料：     两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．     比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；     再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；     又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以     该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；     设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．     两数相乘可得： . （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．） 问题：     两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．     如、、等． （1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤； （2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________． 设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数） （3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________ 【变式19-1】（24-25七年级·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【变式19-2】（24-25七年级·福建龙岩·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的个数，恰好对应着展开式中的各项系数，第四行的个数，恰好对应着展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题： （1）写出的展开式； （2）利用整式的乘法验证你的结论． 【变式19-3】（24-25七年级·山东济南·期末）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有_____(填序号) ① ② ③ ④ (2)若关于，的代数式为对称式，则的值为_____； (3)在(2)的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 答案与解析 【易错篇】 【考点 1 幂的运算】 【例 1】（24-25 七年级 · 四川资阳 · 期末）计算( − 2024 × (1.25)2023 × 5的值等于( ) A ．4 B . −4 C ．5 D . −5 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用. 先逆用同底数幂相乘将( − 2024 化成 2023 × ，再逆用积的乘方法则计算，即可求解. 【详解】解： ( − 2024 × (1.25)2023 × 5 = 2023 × × 2023 × 5 = × 2023 × × 5 = 1 × × 5 = 1 × × 5 = 4 . 故选： A . 【变式 1- 1】（24-25 七年级 · 吉林白城 · 阶段练习）下列计算正确的是( ) A ．a 5 ⋅ a5 = a25 B ．(−5a5 b 5)2 = −25a10 b10 C ．x2 + x6 = x8 D . −m7 ÷ (−m)2 = −m5 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键. 根据运算法则逐一运算判断即可. 【详解】解： A：a 5 ⋅ a5 = a10 ，故 A 错误； B：(−5a5 b 5)2 = 25a10 b10 ，故 B 错误； C：x2 + x6 = x2 + x6 ，故 C 错误； D：−m7 ÷ (−m)2 = −m5 ，故 D 正确； 故选： D . 【变式 1-2】（24-25 七年级 · 四川成都 · 期末） 已知4a − 3b + 1 = 0，则32 × 34a ÷ 27b 的值为 . 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值， 同底数幂乘除法， 幂的乘方的逆运算， 掌握相关运算法则是解题关键．由 题意可得4a − 3b = −1，再将32 × 34a ÷ 27b 变形为32+4a−3b，即可计算求值. 【详解】解： ∵ 4a − 3b + 1 = 0， ∴ 4a − 3b = −1， ∴ 32 × 34a ÷ (33)b = 32 × 34a ÷ 33b = 32+4a−3b = 3， 故答案为： 3. 【变式 1-3】（24-25 七年级 · 重庆渝北 · 期末） 若4a = 6 ，8b = 16 ，a ，b为整数，则24a−3b = . 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算可得24a−3b = 24a ÷ 23b，进而利用积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】解： 24a−3b = 24a ÷ 23b = (4a )2 ÷ 8b = 62 ÷ 16 = 9 , 4 故答案为： . 【考点 2 单项式乘单项式】 【例 2】（24-25 七年级 · 四川遂宁 · 期末）设(xm−1yn+2) ⋅ (x5my 2) = x 5y 7 ，则( − m)n 的值为( ) A . − B . − C ．1 D ． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点， 熟练掌握同底数幂的乘法法则是 解题关键. 先根据单项式乘单项式法则列出关于 m 、n 的方程， 进而求得 m 、n 的值，最后代入计算即可. 【详解】解： ∵(xm−1yn+2) ⋅ (x5my 2) = xm−1+5m ⋅ yn+2+2 = x6m−1 ⋅ yn+4 = x 5 y 7， ∴ 6m − 1 = 5, n + 4 = 7，解得： m = 1, n = 3， ∴ ( − m)n = ( − × 1)3 = ( − 3 = − . 故选： A . 【变式 2- 1】（24-25 七年级 · 四川成都 · 期末）先化简， 再求值： (−2a2 b3) ⋅ (−ab2)2 + ( − a2 b3 )2 ⋅ 4b，其中 a = 2 ，b = 1 . 【答案】−a4 b7 ，- 16 . 【分析】先化简，再把 a=2 ，b=1 代入求解即可. 【详解】解： 原式= −2a2 b3 ⋅ a2 b4 + a4 b6 ⋅ 4b = −2a4 b7 + a4 b7 = −a4 b7 . 当a = 2 ，b = 1时，原式= −a4 b7 = −24 × 17 = −16 . 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简. 【变式 2-2】（24-25 七年级 · 山东聊城 · 期末） 若(am+1bn+2) ⋅ (−a2n−1b2m) = −a3 b 5，则m + n的值为 . 【答案】2 【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简， 再与右边比较， 求出 m 、n 的值，然后代入m + n计算即可. 【详解】∵(am+1bn+2) ⋅ (−a2n−1b2m) = −a3 b 5， ∴−am+2nb2m+n+2 = −a3 b 5， ∴ 解之得 {n (m) 1 (1) ， ∴m + n=1+1=2. 【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于 m 、n 的二元一次方程 组是解答本题的关键. 【变式 2-3】（24-25 七年级 ·浙江金华 · 期中） 如图， 在正方形内， 将 2 张①号长方形纸片和 3 张②号长方形 纸片按图 1 和图 2 两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分） ，正方形中未被覆盖的部分（阴影部分） 的周长相等. （1）若①号长方形纸片的宽为 2 厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为 40 平方厘米， 则②号长方形纸片的面积是 平方厘米. 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方 形纸片的宽的 2 倍， 进而计算即可； （2）观察图形， ②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的 2 倍， ②号长方形纸片的长的 3 倍是①号长 方形纸片的长，进而计算即可. 【详解】解： （1）由图知， ②号长方形纸片的宽为2 × 2 = 4（厘米）， 故答案为： 4； （2）设①长方形纸片的长为 a，宽为 b，则ab = 40， 由图知， ②长方形纸片的长为a，宽为2a， ∴②号长方形纸片的面积是a ⋅ 2a = ab = × 40 = （平方厘米）， 故答案为： . 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键. 【考点 3 单项式乘多项式】 【例 3】（24-25 七年级 · 四川成都 · 期末） 如图， 将 7 张图 1 所示的小长方形纸片按图 2 的方式不重叠地放在 矩形 ABCD 内， 未被覆盖的部分用阴影表示．如果当 BC 的长变化时， 左上角与右下角的阴影部分的面积的 差保持不变，那么 b：a 的值为 . 【答案】 1：3 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据题意和图形，设 BC 的长为x，则可以表示出左上角与右下角的阴影部分的面积的差， 然后再根 据左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变， 即可得到 b：a 的值. 【详解】设 BC 的长为x， 左上角与右下角的阴影部分的面积的差为： （x﹣a）•3b﹣（x﹣4b）•a =3bx﹣3ab﹣ax+4ab =（3b﹣a）x+ab， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变， ∴3b﹣a ＝0， 解得 a=3b， ∴b：a=1：3 故答案为： 1：3 . 【点睛】本题考查整式的加减， 关键是表示出两个阴影部分的面积，并能正确进行整式的加减运算. 【变式 3- 1】（24-25 七年级 · 广东深圳 · 期中） 若x(x + a) + 3x − 2b = x2 + 5x + 4恒成立，则a + b = . 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项， 整理后形式和等式右边一致，即可求出 a ，b 的 值，代入求值即可求出答案. 【详解】解： 根据题意可得： ∵等式左边= x2 + ax + 3x − 2b = x2 + (a + 3)x − 2b， ∴x2 + (a + 3)x − 2b = x2 + 5x + 4， ∴a + 3 = 5, −2b = 4， 解得： a = 2, b = −2， ∴a + b = 2 + (−2) = 0 . 故答案为： 0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算， 掌握单项式与多项式的乘法运算， 合并同类项即可求出结果， 也是 解题的关键. 【变式 3-2】（24-25 七年级 · 湖南邵阳 · 期末） 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项 式中的每一项，再把所得的积相加， 小丽在练习时，发现了这样一道题： ℼ−2x2（3x﹣■+1）=−6x3 + 4x2 y − 2x2 ”那么“■”中的一项是 . 【答案】2y 【分析】利用多项式除以单项式法则计算(−6x3 + 4x2y − 2x2) ÷ (−2x2)即可得出“■”中的项， 然后利用单项 式乘多项式的法则进行计算验证即可. 【详解】解： ∵(−6x3 + 4x2y − 2x2) ÷ (−2x2) = −6x3 ÷ (−2x2) + 4x2y ÷ (−2x2) − 2x2 ÷ (−2x2) = 3x − 2y＋1 即−2x2（3x − 2y + 1）= − 6x3 + 4x2 y − 2x2 ， ∴“■”中的一项是 2y . 故答案为： 2y . 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多 项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加. 【变式 3-3】（24-25 七年级 · 湖南常德 ·期末） 如图，某校园的学子餐厅Wi − Fi密码做成了数学题， 小亮在餐 厅就餐时， 思索了会， 输入密码， 顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是 2842■, 最后两被隐 藏了，那么被隐藏的两位数是 . 学科网（北京）股份有限公司 【答案】70 【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用， 正确发现一般规律是解题关键．先根据已知 等式找出规律，再设等式左边三个数分别为a, b, C ，则ab = 28 ，aC = 42，据此求出a(b + C)的值即可得. 【详解】解： 由第 1 个等式可知，15 = 5 × 3 ，10 = 5 × 2 ，25 = 5 × (3 + 2)， 由第 2 个等式可知， 18 = 9 × 2 ，36 = 9 × 4 ，54 = 9 × (2 + 4)， 由第 3 个等式可知， 48 = 8 × 6 ，24 = 8 × 3 ，72 = 8 × (6 + 3)， 由第 4 个等式可知， 14 = 7 × 2 ，35 = 7 × 5 ，49 = 7 × (2 + 5)， 设等式左边三个数分别为a, b, C， 则ab = 28 ，aC = 42， 所以被隐藏的两位数是a(b + C) = ab + aC = 28 + 42 = 70， 故答案为： 70 . 【考点 4 多项式乘多项式】 【例 4】（24-25 七年级 · 山西临汾 ·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张， 若要拼成一个长为2a + b、 宽为a + 2b的长方形，需要 B 类卡片( ) A ．2 张 B ．3 张 C ．4 张 D ．5 张 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用， 熟练掌握多项式乘多项式的运算法 则是解题关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积， 从而可得所用的B类卡片的总面积， 由 此即可得. 【详解】解： 由题意得：拼成的长方形的面积为： (2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 4ab + ab + 2b2 = 2a2 + 5ab + 2b2， ∵1 张B类卡片的面积为ab， ∴需要B类卡片的张数为5ab ÷ (ab) = 5（张）， 故选： D . 【变式 4- 1】（24-25 七年级 · 河南省直辖县级单位 · 期末）有一块长为(m + 6)米（m为正数） ，宽为(m + 3)米 的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米， 则与原来相比，这块土地的面积( ) A ．没有变化 B ．变大了 C ．变小了 D ．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法和加减的运用，由题意得，新长方形的长为(m + 7)米，宽为(m + 2)米，分别 求出新长方形和原长方形的面积，再用作差法比较即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键. 【详解】解： 由题意得，新长方形的长为(m + 7)米，宽为(m + 2)米， ∴新长方形的面积为(m + 7)(m + 2) = m2 + 2m + 7m + 14 = (m2 + 9m + 14)平方米， 原长方形的面积为(m + 6)(m + 3) = m2 + 3m + 6m + 18 = m2 + 9m + 18， ∵m2 + 9m + 18 − ((m2 + 9m + 14)) = 4 > 0， ∴与原来相比， 这块土地的面积变小了， 故选： C . ( 2 ) ( 1 )【变式 4-2】（24-25 七年级 · 四川成都 · 期末） 先化简，再求值： 且单项式xa+3y与−3xyb 是同类项. 【答案】−b2 − 2a2 − 2 ，−11 b(2a − 4b) − (2a + b)(a − b) − 2(ab + 1)， 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值， 同类项的定义； 先按照整式乘法法则展开， 再合并同类项， 得−b2 − 2a2 − 2，结合单项式xa+3y与−3xyb 是同类项，得出a + 3 = 1, b = 1，即a = −2，代入−b2 − 2a2 − 2 进行计算， 即可作答. 【详解】解： b(2a − 4b) − (2a + b)(a − b) − 2(ab + 1) = ab − 2b2 − (2a2 − 2ab + ab − b2) − 2ab − 2 = ab − 2b2 − (2a2 − ab − b2) − 2ab − 2 = ab − 2b2 − 2a2 + ab + b2 − 2ab − 2 = −b2 − 2a2 − 2； ∵xa+3y与−3xyb 是同类项， ∴a + 3 = 1 ，b = 1， 即a = −2， ∴−b2 − 2a2 − 2 = −12 − 2 × (−2)2 − 2 = −1 − 8 − 2 = −11 . 【变式 4-3】（24-25 七年级 · 福建福州 · 期末） 发现规律： 我们发现， (x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq ．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： (x + p) (x + q) = x2 + px + qx + pq = x2 + (p + q)x + pq . 运用规律 (1)如果(x + 3)(x − 5) = x2 + mx + n，那么m的值是 ，n的值是 ； (2)如果(x + a)(x + b) = x2 + 3x − 2 . ①求(a − 3)(b − 3)的值； ②求 + 的值. 【答案】(1)−2 ，−15 (2)①−2；② 【分析】（1）根据多项式的乘法法则计算即可求解； （2）①由多项式的乘法法则可得a + b = 3 ，ab = −2，再把值代入(a − 3)(b − 3)展开后的结果中计算即可 求解； ②先通分， 再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即 可求解； 本题考查了分式的求值，整式的运算， 掌握分式和整式的运算法则是解题的关键. 【详解】（1）解： ∵(x + 3)(x − 5) = x2 + mx + n， ∴m = 3 + (−5) = −2 ，n = 3 × (−5) = −15， 故答案为： −2 ，−15； （2）解： ①∵(x + a)(x + b) = x2 + 3x − 2， ∴a + b = 3 ，ab = −2， ∴(a − 3)(b − 3) = ab − 3a − 3b + 9 = ab − 3(a + b) + 9 = −2 − 3 × 3 + 9 = −2； ② + b2 + a2 = a2b2 (a + b)2 − 2ab = (ab)2 32 − 2 × (−2) = (−2)2 9 − (−4) = 4 13 = . 4 【考点 s 完全平方公式】 【例 5】（24-25 七年级 ·甘肃兰州 · 期中）已知a2 + b2 + c2 = 2a − 4b + 6c − 14 ， 则(ab)c 的值是( ) A ．4 B . −4 C ．8 D . −8 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用， 偶次方的非负性等， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将 a2 + b2 + c2 = 2a − 4b + 6c − 14变形化为(a − 1)2 + (b + 2)2 + (c − 3)2 = 0，即可得到a − 1 = 0, b + 2 = 0, c − 3 = 0，求出a, b, c即可求解(ab)c . 【详解】解： ∵a2 + b2 + c2 = 2a − 4b + 6c − 14， ∴a2 + b2 + c2 − 2a + 4b − 6c + 14 = 0 (a − 1)2 + (b + 2)2 + (c − 3)2 = 0， ∵(a − 1)2 ≥ 0, (b + 2)2 ≥ 0, (c − 3)2 ≥ 0， ∴a − 1 = 0, b + 2 = 0, c − 3 = 0， 解得： a = 1, b = −2, c = 3， ∴(ab)c = [1 × (−2)]3 = −8， 故选： D . 【变式 5- 1】（24-25 七年级 · 上海闵行 · 期中） 如果关于x的整式9x2 − (2m − 1)x +是某个整式的平方， 那么 m的值是 . 【答案】2或−1 【分析】本题考查完全平方式， 根据9x2 − (2m − 1)x +是某个整式的平方，得到9x2 − (2m − 1)x + = (3x ±2 ，进行求解即可. 【详解】解： ∵9x2 − (2m − 1)x +是某个整式的平方， ( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )∴9x2 − (2m − 1)x + ∴2m − 1 = ±2 × 3 × = (3x ± 2， = ±3， ∴m = 2或m = −1； 故答案为： 2或−1 . 【变式 5-2】（24-25 七年级 · 福建漳州 · 期中）若x，y 是自然数，且满足x2 + y2 = 4x + 2y − 4，则x + y = . 【答案】2 或 4 【分析】本题考查了完全平方公式， 代数式求值， 熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平 方公式变形，再结合 x ， y 是自然数讨论即可. 【详解】解： ∵x2 + y2 = 4x + 2y − 4， ∴x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0， ∴x2 − 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 1， ∴(x − 2)2 + (y − 1)2 = 1， ∵x ， y 是自然数， ∴(x − 2)2 = 0 (y − 1)2 = 1或(x − 2)2 = 1 (y − 1)2 = 0 . ∴x − 2 = 0 ，y − 1 = 1，或x − 2 = 0 ，y − 1 = −1， x − 2 = 1 ，y − 1 = 0，或x − 2 = −1 ，y − 1 = 0 ，. 当x − 2 = 0 ，y − 1 = 1，时， 解得： x = 2 ，y = 2， x + y = 2 + 2 = 4， 当x − 2 = 0 ，y − 1 = −1，时， 解得： x = 2 ，y = 0， x + y = 2 + 0 = 2， 当x − 2 = 1 ，y − 1 = 0，时， 解得： x = 3 ，y = 1， x + y = 3 + 1 = 4， 当x − 2 = −1 ，y − 1 = 0，时， 解得： x = 1 ，y = 1， x + y = 1 + 1 = 2， 故答案为： 2 或 4 . 【变式 5-3】（24-25 七年级 ·湖南娄底 · 期中）已知(x − 2023)2 + (x − 2025)2 = 24，则(x − 2024)2 的值是( ) A ．12 B ．11 C ．13 D ．10 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造 (x − 2024)2 ，再利用完全平方公式展开， 合并同类项后即可得到答案. 【详解】解： 已知(x − 2023)2 + (x − 2025)2 = 24， 则[(x − 2024) + 1]2 + [(x − 2024) − 1]2 = 24， 那么(x − 2024)2 + 2(x − 2024) + 1 + (x − 2024)2 − 2(x − 2024) + 1 = 24， 整理得： 2(x − 2024)2 = 22， 则(x − 2024)2 = 11， 故选： B . 【考点 ‘ 平方差公式】 【例 6】（24-25 七年级 ·河南新乡 · 期中）某同学在计算3(4 + 1)(42 + 1)时，把 3 写成4 − 1后，发现可以连 续运用两数和乘以这两数差公式计算： 3(4 + 1)(42 + 1) = (4 − 1)(4 + 1)(42 + 1) = (42 − 1)(42 + 1) = 162 − 1 = 255，请借鉴该同学的经验，计算：( 1 + 1 +1 +1 + + = . 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式， 将原式乘以2 ×( 1 − 之后，连续使用平方差公式进而得出答案. 【详解】解： ( 1 + 1 + 1 + 1 + + = 2 × ( 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + + = 2 × ( 1 − + = 2 − + = 2， 故答案为： 2. 【变式 6- 1】（24-25 七年级 · 甘肃兰州 · 期中） 下列各式中能用平方差公式计算的是( ) A ．(x + y)(x + y)2 B ．(x + y)(y − x) C ．(x + y)(−x − y) D ．(−x + y)(y − x) 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用， 根据整式乘法及平方差公式逐项判断即可求解， 掌握平方差公式的 结构特点是解题的关键. 【详解】解： A 、(x + y)(x + y)2 = (x + y)3 ，不能用平方差公式计算，该选项不合题意； B 、(x + y)(y − x) = −(x + y)(x − y) = −(x2 − y2)，能用平方差公式计算，该选项符合题意； C 、(x + y)(−x − y) = −(x + y)(x + y) = −(x + y)2 ，不能用平方差公式计算， 该选项不合题意； D 、(−x + y)(y − x) = (y − x)(y − x) = (y − x)2 ，不能用平方差公式计算， 该选项不合题意； 故选： B . 【变式 6-2】（24-25 七年级 · 福建泉州 · 期中） 为了美化校园，学校把一个边长为am(a > 4)的正方形跳远沙 池的一组对边各增加1m，另一组对边各减少1m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样， 你觉得沙池的面积 会( ) A ．变小 B ．变大 C ．没有变化 D ．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示变化前后的面积是正确解答的前提. 用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案. 【详解】解： 由题意得正方形跳远沙池的面积为a2 m2 ，长方形跳远沙池的面积为(a + 1)(a − 1) = (a2 − 1)(m2)， 因为a2 − 1 − a2 = −1 < 0， 所以沙池的面积会变小. 故选： A . 【变式 6-3】（24-25 七年级 · 山西临汾 · 期中） 霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583 年） 建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合， 采用了我国古建筑中的 一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔnmǎo）结构， 精密谨严天衣无缝， 行家里手惊佩它是工艺精湛超群 绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图， 整体是一个长为(2a + b)cm，宽为(2a − b)cm的 长方形，中间凿掉一个边长为acm的正方形，且该零件的高为acm ．求这个零部件体积. 【答案】(3a3 − ab2)cm3 【分析】本题考查了整式混合运算和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据零部件体积= （长方形的面积−和小正方形的面积） ×零件的高， 列式，然后运用整式混合运算法则和 平方差公式即可解答. 【详解】由题意得，这个零部件的体积是 a[(2a + b)(2a − b) − a2] = a(4a2 − b2 − a2) = a(3a2 − b2) = (3a3 − ab2)cm3 . 答：这个零件体积为(3a3 − ab2)cm3 . 【考点 7 平移】 【例 7】（24-25 七年级 ·广东广州 · 期中） 现有一个长方形草地， 需在其中修建一条路宽都相等的小路， 下列 四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则 这个方案是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质， 根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可. 【详解】解：由图可知： A ，C，D 中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长， 小路的 宽为宽的长方形的面积， B 中阴影部分的面积比其它三个小 1 个以小路的宽为边长的小正方形的面积； 故选 B . 【变式 7- 1】（24-25 七年级 · 安徽合肥 ·期末）日常生活情境： 移动储物柜， 小明沿墙挪动墙角的三角储物柜， 示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是( ) A ．线段BC的长 B ．线段BF的长 C ．线段CE的长 D ．线段AD的长 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象， 根据平移的概念即可求解，正确掌握平移的性质是解题的关键. 【详解】∵△ ABC沿射线BC平移得到△ DEF， ∴点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴线段BE 、CF 、AD可表示平移距离， 故选： D . 【变式 7-2】（24-25 七年级 · 陕西咸阳 · 期末） 如图， 在三角形ABC中， ∠BAC = 90° , AB = 4cm ，BC = 5cm， AC = 3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acm(a < 5)得到三角形DEF，且AC与DE相交于点 G，连接AD，则 阴影部分的周长为 cm . 【答案】 12 【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到AD = BE = acm ，DE = AB = 5cm，则CE = (5 − a)cm，然后计算阴影部分的周长. 【详解】解： △ ABC沿BC方向平移acm(a < 5)得到△ DEF， ∴ AD = BE = acm ，DE = AB = 5cm， ∵ CE = BC − BE = (5 − a)cm， ∴阴影部分的周长为AD + CE + AC + DE = a + 5 − a + 3 + 4 = 12(cm) . 故本题答案为： 12 . 【变式 7-3】（24-25 七年级 · 广东清远 · 期末） 如图，在网格上，平移△ ABC，并将△ ABC的一个顶点 A 平移 到点 D 处，其中点 E 和点 B 对应，点 F 与点 C 对应. (1)请你作出平移后的图形△ DEF； (2)线段BC与EF的关系是： 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等 【分析】本题考查了作图-平移变换： 确定平移后图形的基本要素有两个： 平移方向、平移距离. （1）利用点 A 与点D 的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出 B 、C 点的对应点 E、F 即可； （2）根据平移的性质进行判断. 【详解】（1）解：如图， △DEF 为所作； ; （2）解：线段BC与EF的关系是平行且相等. 故答案为： 平行且相等. 【考点 8 轴对称与轴对称图形】 【例 8】（24-25 七年级 ·广西河池 · 期末）如图， 在Rt △ ABC中， ∠BAC = 90° , ∠B = 50° , AD ⊥ BC，垂足 为D ，△ ADB与△ ADB′ 关于直线AD对称，点B的对称点是点B′ ，则∠CAB′ 的度数为 . 【答案】10° 【分析】本题考查轴对称的性质， 三角形内角和定理，角的和差运算等知识， 解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题， 属于中考常考题型．利用轴对称的性质先证明∠B = ∠B′ = 50°, ∠BAD = ∠B′AD = 90° − 50° = 40°,再求解∠BAB′ = 80°结合角的和差运算可得答案. 【详解】解： ∵AD ⊥ BC ，△ ADB与△ ADB′ 关于直线AD对称， ∴ ∠B = ∠AB′ D = 50°, ∠BAD = ∠B′AD = 90° − 50° = 40° , ∴ ∠BAB′ = 2∠BAD = 80° , ∵∠BAC = 90° , ∴∠CAB′ = ∠CAB − ∠BAB′ = 10° . 故答案为： 10° 【变式 8- 1】（24-25 七年级 · 甘肃陇南 · 期末） 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是( ) ( C . ) ( D . )A ． B. 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形， 如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫 做轴对称图形，这条直线叫做对称轴， 据此进行判断即可. 【详解】解：A 能找到一条直线， 使得直线两旁的部分能够互相重合， 是轴对称图形；B ，C，D 不能找到一 条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形， 故选： A . 【变式 8-2】（24-25 七年级 · 江苏泰州 · 期末）如图， 在所给网格图中每小格均为边长是 1 的正方形. △ ABC的 顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图） . (1)画出△ ABC关于直线DE对称的△ A1 B1 C1； (2)在直线DE上画出点P，使PB + PC最小. 【答案】(1)见详解； (2)见详解. 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质 是正确 解答此题的关键. （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接BC1 ，交直线DE于点P，，此时点 r 即为所求. 【详解】（1）解：如图，分别作出点A 、B 、C的对应点A1 、B1 、C1 ，顺次连接得△ A1 B1 C1 ，△ A1 B1 C1 即为 所求； （2）解：如图，连接BC1 ，交直线DE于点P，连接BP，此时PB + PC最小，则点P即为所求。 【变式 8-3】（24-25 七年级 · 浙江杭州 · 期末） 一张矩形纸片ABCD，若如图（1）翻折，点A的对应点A′ 恰好 落在PB′ 上， 折痕分别为PE，PG，则∠EPG的度数为 ．若如图（2）翻折， 点A的对应点A′ 落在∠B′ PG的 内部（不含角的两边），已知∠APE = 48° , ∠A′ PG = ∠EPB′ ，则∠A′ PB′ 的度数为 . 【答案】 90°/90 度 12°/12 度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差， 根据折叠的性质得∠APE = ∠A′ PE, ∠BPG = ∠B′ PG，再根据平角定义可得答案再根据折叠得∠APE = ∠A′ PE，即可得∠EPB′ = 48° − ∠A′ PB′ = ∠A′ PG，进而得出∠BPG = ∠B′ PG = 48°, 然后求出∠B′ PE，最后 根据∠A′ PB′ = ∠A′ PE − ∠B′ PE得出答案. 【详解】解： 根据折叠的性质得∠APE = ∠A′ PE, ∠BPG = ∠B′ PG， ∵∠APE + ∠A′ PE + ∠BPG + ∠B′ PG = 180° , ∴2∠A′ PE + 2∠B′ PG = 180° , 即∠A′ PE + ∠B′ PG = 90° , ∴∠EPG = 90°; 根据折叠得∠APE = ∠A′ PE = 48° , ∴∠EPB′ = 48° − ∠A′ PB′ = ∠A′ PG， ∴∠BPG = ∠B′ PG = 48° , ∴∠B′ PE = 180° − ∠APE − ∠BPG − ∠B′ PG = 36° , ∴∠A′ PB′ = ∠A′ PE − ∠B′ PE = 48° − 36° = 12° . 故答案为： 90°, 12° . 【考点 9 旋转】 【例 9】（24-25 七年级 · 安徽合肥 ·期中）如图， 将方格纸中的图形绕点。逆时针旋转90°后得到的图形是( ) ( C . ) ( D . )A ． B. 【答案】C 【分析】利用已知将图形绕点。逆时针旋转90°得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象， 正 确掌握相关性质内容是解题的关键. 【详解】解： 如图所示：将方格纸中的图形绕点。逆时针旋转90°后得到的图形是 故选： C . 【变式 9- 1】（24-25 七年级 · 广东广州 · 期末） “玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太 阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射， 那么太阳光板绕支点A逆时针最小 旋转（ ）可以使得接收光能最多. A ．46° B ．44° C ．36° D ．54° 【答案】B 【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得. 【详解】解： 由题意可得： 若要太阳光板于太阳光垂直， 则需要绕点A 逆时针旋转 90°-（180°- 134°) =44° , 故选： B . 【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义， 旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针. 【变式 9-2】（24-25 七年级 · 广东潮州 ·期中） 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点 B 顺时针旋 转，使得点A 落在CB的延长线上的点 E 处，则∠DBC的度数为( ) A ．120° B ．135° C ．150° D ．160° 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质， 由旋转前后对应角相等可得∠DBE = ∠ABC = 30°, 再根据平角的定义可得答 案. 【详解】解： 由旋转知，∠DBE = ∠ABC = 30° , ∵C，B ，E 共线， ∴ ∠DBC = 180° − ∠DBE = 180° − 30° = 150° , 故选 C . 【变式 9-3】（24-25 七年级 ·广西百色 · 期末） 如图， 五角星图案绕着它的中心 O 旋转n°后第一次与自身重合， 则 n 的值为 . 【答案】72 【分析】观察图形，得五角星图案可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是 72°,并且圆具有旋 转不变性， 因而旋转 72 度的整数倍， 就可以与自身重合．此题主要考查旋转的应用， 解题的关键是熟知旋 转的性质. 【详解】解： 观察图形，五角星图案可以被平分成五部分， ∴360° ÷ 5 = 72°,即旋转 72 度的整数倍，就可以与自身重合， ∵五角星图案绕着它的中心 O 旋转n°后第一次与自身重合， ∴n° = 72° , 故答案为： 72 . 【考点 10 中心对称与中心对称图形】 【例 10】（24-25 七年级 · 山东临沂 · 期末）未来的生活中， AI 将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工 智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是( ) A . B . C . D . 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念， 如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部 分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这 条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与 原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题 的关键. 【详解】解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形， 故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既是轴对称图形， 也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选： D . 【变式 10- 1】（24-25 七年级 ·新疆阿克苏 · 期中）如图，△ABC 与△A1B1 C1 关于点 O 成中心对称．下列说法： ①∠BAC= ∠B1A1 C1；②AC＝A1 C1；③OA ＝OA1；④△ABC 与△A1B1 C1 的面积相等， 其中正确的有 ．（只 填序号） 【答案】①②③④ . 【分析】根据中心对称的图形的性质即可判断. 【详解】中心对称的两个图形一样，所以∠BAC= ∠B1A1 C1，AC＝A1 C1 ，△ABC 与△A1B1 C1， 则①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等，故③正确； 故答案为①②③④ . 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质， 正确理解性质是解题的关键. 【变式 10-2】（24-25 七年级 · 江苏南通 · 假期作业）如图， AB⊥BC，AB ＝BC ＝2 cm，弧 OA 与弧 OC 关于点 O 成中心对称，则 AB 、BC、弧 CO、弧 OA 所围成的面积是 cm2 . 【答案】2 【详解】由弧 OA 与弧 OC 关于点 O 中心对称， 根据中心对称的定义， 如果连接 AC，则点 O 为 AC 的中点， 则题中所求面积等于△BAC 的面积. 解：连接 AC . ∵弧 OA 与弧 OC 关于点 O 中心对称， ∴点 O 为 AC 的中点， ∴AB 、BC、弧 CO、弧 OA 所围成的面积=△BAC 的面积=2×2÷2=2cm2 . 故答案为： 2 【变式 10-3】（24-25 七年级 · 北京 · 期中） 如图，在平面直角坐标系XOY中， △ ABC的顶点坐标分别为A(2,4)， B(1,0) ，C(5,1) . (1)将△ ABC绕原点 O 逆时针旋转90°得到△ A1 B1 C1，其中 A，B ，C 分别和A1，B1，C1 对应， 画出△ A1 B1 C1， (2)画出△ ABC关于点 O 成中心对称的△ A2 B2 C2 . 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图， 旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点 A，B ，C 的对应点A1 ，B1 ，C1 ，即可得到答案； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征找到对应点的位置，即可得到图形. 【详解】（1）解：如图所示： △ A1 B1 C1 为所求； （2）解：如图所示： △ A2 B2 C2 为所求. 【压轴篇】 【考点 11 幂的运算的逆用】 【例 11】（24-25 七年级 · 湖北武汉 · 阶段练习）若 am=20 ，bn=20 ，ab=20，则= . 【答案】 1 【分析】先根据ab = 20可得an bn = 20n ，再结合bn = 20可得an = 20n−1，由此结合am = 20可得am+n = amn = 20n ，由此可得m + n = mn，进而可求得答案. 【详解】解： ∵ab = 20， ∴(ab)n = 20n， 即an bn = 20n， ∵bn = 20， 学科网（北京）股份有限公司 ∴an × 20 = 20n， ∴an = 20n−1， 又∵am = 20， ∴am+n = am ⋅ an = 20 × 20n−1 = 20n ，amn = (am )n = 20n， ∴am+n = amn， ∴m + n = mn， ∴mn (m+n) = mn (mn) = 1， 故答案为： 1. 【点睛】本题考查了幂的运算， 熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键. 【变式 11- 1】（24-25 七年级 · 四川巴中 ·期中）已知2x+2 ⋅ 3x+2 = 36x−3，则x= . 【答案】8 . 【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可. 【详解】解： 2x+2 ⋅ 3x+2 = 36x−3， 根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为： (2 × 3)x+2 = (62)x−3， 即6x+2 = 62x−6， x + 2 = 2x − 6， 解得， x = 8 故答案为： 8. 【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算， 解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程. 【变式 11-2】（24-25 七年级 · 安徽滁州 ·期中）已知x = 28 + 211 . （1）若x = m2 ，则自然数m = ； （2）若x + 2n 是一个完全平方数，则自然数n = . 【答案】 48 12 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出28 (1 + 23) = m2，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出x + 2n = (24)2 + 2 ⋅ 24 ⋅ 26 + 2n ，进而得出2n = (26)2 ，即可求解. 【详解】（1）因为x = m2 ，所以28 + 211 = m2， 所以28 (1 + 23) = m2 ，所以162 × 32 = m2， 所以482 = m2， 所以自然数m = 48； 故答案为： 48 . （2）x + 2n = (24)2 + 2 ⋅ 24 ⋅ 26 + 2n， ∴只有2n = (26)2 时，原式为完全平方数， 即自然数n = 12. 故答案为： 12 . 【变式 11-3】（24-25 七年级 · 浙江温州 ·期中）已知整数a 、b 、c 、d满足a＜b＜c＜d且2a 3b 4c 5d = 10000， 则4a + 3b + 2c + d的值为 . 【答案】2 【分析】根据 3 不是 10000 的公约数， 可得 b=0，由10000 = 24 × 54 = 42 × 54 = 20 × 42 × 54 = 2−2 × 43 × 54 = 24 × 40 × 54 和a＜b＜c＜d即可得到 a，b ，c ，d 的值，故可求解. 【详解】∵10000 = 24 × 54 = 42 × 54 = 20 × 42 × 54 = 2−2 × 43 × 54 = 24 × 40 × 54 ，3 不是 10000 的公约 数， ∴3b = 1 则 b=0 学科网（北京）股份有限公司 ∴2a × 4c × 5d = 10000 ∵整数a 、b 、c 、d满足a＜b＜c＜d ∴10000 = 2−2 × 43 × 54 符合题意 ∴a=-2 ，b=0 ，c=3 ，d=4 ∴4a + 3b + 2c + d=-8+0+6+4=2 故答案为： 2. 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点. 【考点 12 多项式乘积不含某项求字母的值】 【例 12】（24-25 七年级 ·湖北武汉 · 期中）如图， 一个长方形被分成四块： 两个小长方形，面积分别为 S1 ， S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是 . 【答案】S4=4S3 【分析】把两个小正方形 S3 、S4 的边长分别设为 a、b，分别表示出 S1 ，S2 ，S3 ，S4 的面积，根据与 AB 长度 无关得出 a 、b 的关系，进而得出 S3 、S4 之间的关系. 【详解】设 S3 的边长为 a ，S4 的边长为 b，则S3 = a2, S4 = b2, S1 = a(b + AB), S2 = b(a + AB)， ∴2S1 − S2 = 2a(b + AB) − b(a + AB) = ab + (2a − b)AB， 又∵2S1－S2 的值与 AB 的长度无关， ∴2a－b=0，即 2a=b， ∴S4 = b2 = (2a)2 = 4a2， ∴S4=4S3. 【点睛】本题考查整式加减中的无关问题，正确掌握做题方法是解题的关键. 【变式 12- 1】（24-25 七年级 · 福建泉州 · 期末）对于多项式x − a，x − b，x − c，x − d（a，b，c，d 是常数）， 若x − a与x − b的积减去x − c与x − d的积，其差为常数，则 a ，b ，c ，d 应满足的关系是( ) A ．a + b = −c − d B ．a − b = c − d C ．a + b = c + d D ．ab = cd 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据(x − a)(x − b) − (x − c)(x − d)为常数，可得化 简后式子中x 项的系数为 0，由此可解. 【详解】解： (x − a)(x − b) − (x − c)(x − d) = (x2 − ax − bx + ab) − (x2 − cx − dx + cd) = x2 − ax − bx + ab − x2 + cx + dx − cd = (c + d − a − b)x + (ab − cd)， ∵ x − a与x − b的积减去x − c与x − d的积，其差为常数， ∴ c + d − a − b = 0， ∴ a + b = c + d， 故选 C . 【变式 12-2】（24-25 七年级 · 四川巴中 · 期中） 若(x2 + nx + 3)(x2 − 3x + m)的展开式中不含x2 和x3 项，则 学科网（北京）股份有限公司 m + n = . 【答案】9 . 【分析】根据展开式中不含x2 和x3 项，即x2 和x3 项的系数为 0 即可求解. 【详解】解： (x2 + nx + 3)(x2 − 3x + m)， =x4 − 3x3 + mx2 + nx3 − 3nx2 + mnx + 3x2 − 9x + 3m， =x4 + (n − 3)x3 + (m − 3n + 3)x2 + (mn − 9)x + 3m， 根据展开式中不含x2 和x3 项，列方程组得， 解得， {m (n)6 (3) ， m + n = 9， 故答案为： 9. 【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组， 解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为 0 列方程组. 【变式 12-3】（24-25 七年级 · 安徽淮北 · 期中） ［知识回顾] 有这样一类题： 代数式ax − y + 6 + 3x − 5y − 1的值与 x 的取值无关，求 a 的值； 通常的解题方法； 把 x，y 看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与 x 的取值无关，所以含x 项的系数为 0，即原 式= (a + 3)x − 6y + 5，所以a + 3 = 0，即a = −3 . ［理解应用] (1)若关于x 的多项式(2m − 3)x + 2m2 − 3m的值与 x 的取值无关，求 m 的值； (2)已知3[(2x + 1)(x − 1) − x(1 − 3y)] + 6(−x2 + xy − 1)的值与 x 无关，求y 的值； (3)（能力提升）如图 1，小长方形纸片的长为 a、宽为 b，有 7 张图 1 中的纸片按照图 2 方式不重叠地放在 大长方形 ABCD 内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖， 设右上角的面积为S1 ，左下角的 面积为S2 ，当 AB 的长变化时，S1 -S2 的值始终保持不变，求 a 与 b 的等量关系. 【答案】(1)m = ； (2)y = ； (3)a = 2b 【分析】（1）根据含x项的系数为 0 建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含x项的系数为 0 建立方程，解方程即可得； （3）设AB = x，先求出S1 , S2 ，从而可得S1 − S2 ，再根据“ 当AB的长变化时，S1 − S2 的值始终保持不变”可知 S1 − S2 的值与x的值无关，由此即可得. 【详解】（1）解： (2x − 3)m + 2m2 − 3x = 2mx − 3m + 2m2 − 3x = (2m − 3)x − 3m + 2m2， ∵关于x的多项式(2x − 3)m + 2m2 − 3x的值与x的取值无关， ∴ 2m − 3 = 0， 解得m = ； （2）3(2x2 + 3xy − 2x − 1) + 6(−x2 + xy − 1) = 6x2 + 9xy − 6x − 3 − 6x2 + 6xy − 6 = 15xy − 6x − 9 = (15y − 6)x − 9， ∵ 3A + 6B的值与x无关， ∴ 15y − 6 = 0， 解得y = ； （3）解：设AB = x， 由图可知， S1 = a(x − 3b) = ax − 3ab ，S2 = 2b(x − 2a) = 2bx − 4ab， 则S1 − S2 = ax − 3ab − (2bx − 4ab) = ax − 3ab − 2bx + 4ab = (a − 2b)x + ab， ∵当AB的长变化时， S1 − S2 的值始终保持不变， ∴ S1 − S2 的值与x的值无关， ∴ a − 2b = 0， ∴ a = 2b . 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题， 涉及整式的乘法、整式的加减知识， 熟练掌握整式加减 乘法的运算法则是解题关键. 【考点 13 多项式乘多项式与图形面积】 【例 13】（24-25 七年级 · 云南迪庆 · 期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一 个等式. (1)【知识探究】如图 1，是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图 2 拼成一个正方形，可以得到(a − b)2 、(a + b)2 、ab三者之间的等量关系式： ； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图 3，观察 大正方体分割，写出可以得到的等式 ；若a + b = 6 ，ab = 7，求a3 + b3 的值； (3)【拓展探究】如图 4，两个正方形ABCD 、CEFG的边长分别为x ，y(x > y)若这两个正方形的面积之和为 34，且BE = 8，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)(a + b)2 = (a − b)2 + 4ab (2)(a + b)3 = a 3 + b3 + 3a2 b + 3ab2 ，90 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是 解题的关键. （1）由题意利用面积相等推导公式： (a + b)2 = (a − b)2 + 4ab； （2）由题意利用体积相等推导(a + b)3 = a 3 + b3 + 3a2 b + 3ab2 ； 可得a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)， 再代入求值即可， （3）由图可知x2 + y2 = 34，x + y = 8．求得xy = 15，x − y = 2，根据图中阴影部分的面积= x2 + y(x − y) = [(x − y)(x + y) + xy] 由此即可解题. 【详解】（1）解：由图可知：边长为(a + b)的大正方形由四个边长为a 、b的长方形和一个边长为(a − b)正 方形组成， (a + b)2 = (a − b)2 + 4ab 知识生成： (a + b)2 = (a − b)2 + 4ab， 故答案为： (a + b)2 = (a − b)2 + 4ab； （2）正方体棱长为a + b， ∴体积为(a + b)3， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a³ + b³ + 3a2 b + 3ab2， ∴(a + b)3 = a 3 + b3 + 3a2 b + 3ab2； ∴a3 + b3 = (a + b)3 − (3a2 b + 3ab2) = (a + b)3 − 3ab(a + b)， ∵a + b = 6 ，ab = 7， ∴a3 + b3 = 63 − 3 × 7 × 6 = 216 − 126 = 90 （3）有图可知： x2 + y2 = 34 ，x + y = 8 . ∴2xy = (x + y)2 − (x2 + y2) = 82 − 34 = 30， ∴(x − y)2 = x2 + y2 − 2xy = 34 − 30 = 4 ，xy = 15， ∵x > y， ∴x − y = 2 ， 图中阴影部分的面积= x2 + y(x − y) = (x2 − y2 + xy) = [(x − y)(x + y) + xy] = (2 × 8 + 15) 31 = 2 【变式 13- 1】（24-25 七年级 · 北京 · 期中）长方形窗户ABCD（如图 1），是由上下两个长方形（长方形AEFD和 长方形EBCF）的小窗户组成， 在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘， 这两个遮阳 帘的高度分别是 a 和2b（即DF = a ，BE = 2b），其中a > b > 0 ．当遮阳帘没有拉伸时（如图 1）， 若窗 框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．如图 2，上面窗户的遮 阳帘水平向右拉伸2a至GH ．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点 G 、H、P 在同一直线上） . (1)求长方形窗户ABCD的总面积；（用含 a 、b 的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG = AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP = BC处时，窗户的透光面积恰 好为长方形窗户ABCD面积的一半， 求 . 【答案】(1)2a2 + 6ab + 4b2 (2) 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积， 再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半， 得出等式， 即可求 出的值. 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意， 根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整 式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键. 【详解】（1）解：由题知： AE = DF = a ，EB = FC = 2b ，AG = BP = 2a ，GD = PC = 2b， ∴ AB = AE + EB = a + 2b ，AD = AG + GD = 2a + 2b， ∴ S长方形ABCD = AB ⋅ AD = (a + 2b)(2a + 2b) = 2a2 + 2ab + 4ab + 4b2 = 2a2 + 6ab + 4b2 ， ∴长方形窗户ABCD的总面积为2a2 + 6ab + 4b2 . （2）解：根据题意可得AD = BC， ∵ AG = AD， ∴ GD = AD， ∵ CP = BC， ∴ BP = BC， ∴S透光 = S长方形GHFD + S长方形EBPQ = GD ⋅ DF + BP ⋅ EB = AD ⋅ DF +BC ⋅ EB = AD ⋅ DF +AD ⋅ EB = AD DF + EB) . ∵ S透光 = S长方形ABCD = AD ⋅ AB， ∴AD DF + EB) = AD ⋅ AB， ∴ ∴ ∴ ∴ ( 2 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 3 ) ( AB ， ) ( EB = )DF + ( 2 ) ( 1 ) ( (a + 2b) ， ) ( ⋅ 2b = )a + a + b = a + b， a = b， ∴ = . 【变式 13-2】（24-25 七年级 ·福建福州 · 期中） 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观， 形 少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见， 数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质 上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘. 情境一如下图，甲同学将 4 块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a 、b的式子分别表示 图 1 和图 2 中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一 情境二乙同学用 1 块A木片、4 块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用 含a 、b的式子表示）， 并求所用C木片的数量； 情境二 情境三丙同学声称自己用以上的A ，B ，C三种木片拼出了一个面积为2a2 + 7ab + 4b2 的长方形；丁同学认 为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形. 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽， 并画出相应的图形． （要求：所画图形的 长、宽与图样一致， 并标注每一小块的长与宽） . 【答案】情境一：(a + b)(a − b) = a2 − b2 ；情境二：所拼正方形的边长为a + 2b，所用C木片的数量为4； 情境三：赞同丁同学的说法， 该情况下所拼长方形的长为2a + 4b，宽为a + b，长方形如图 【分析】情境一：设等腰梯形的高为ℎ,可求ℎ = ，分别表示出图1和图2的面积， 即可求解； 情境二：可得a2 + 4ab + mb2 ，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解； 情境三：能构成长方形，则2a2 + 7ab + 4b2 要能进行分解，故去掉1个ab后即可进行因式分解，从而可求解. 【详解】解： 情境一 如图，设等腰梯形的高为ℎ , ∴ 2ℎ + b = a， ∴ ℎ = ， ∴图1的面积： S1 = 4 × (a + b) × = (a + b)(a − b)， 图2的面积： S2 = a2 − b2， ∵ S1 = S2， ∴ (a + b)(a − b) = a2 − b2， 故可得到的乘法公式为： (a + b)(a − b) = a2 − b2； 情境二 a2 + 4ab + mb2， ∵拼成了一个正方形， ∴当m = 4时， a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2， ∴所拼正方形的边长为a + 2b，所用C木片的数量为4； 情境三 赞同丁同学的说法； 去掉1个C以后， 2a2 + 6ab + 4b2 = (a + b)(2a + 4b)， ∴该情况下所拼长方形的长为2a + 4b，宽为a + b， 长方形如图： 【点睛】本题考查了因式分解， 平方差公式、完全平方公式的几何意义， 等积转换， 掌握等积转换的方法是 解题的关键. 【变式 13-3】（24-25 七年级 · 黑龙江哈尔滨 ·期中） 八年级数学老师在集体备课中， 发现利用“面积法”说明整 式的乘法有助于学生的理解， 为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a × a的正方形 A，b × b的正方形 B， a × b的长方形 C）， (1)在一节课的探究中， 小高老师利用 1 张A 和 1 张 C 拼出如图 1 所示的长方形，利用“面积法”可以得出的 整式乘法关系式为 (2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(a × a的正方形A，b × b的正方形B，a × b 的长方形 C），并要求同学们用 2 张 A，1 张 B 和 3 张 C 拼成一个长方形，请你在框 1 中画出对应的示意图， 并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整； 框 1 ( )( ) = 2a2 + 3ab + b2 (3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时， 给出如图 2 所示的示意图，请结合图例， 在横线上添加适当的式 子，使等式成立； + = 2a2 + 2b2 (4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知(a + b)2 + (a − b)2 = 40，求2a + b的最大值， 请认真思考， 并完成解答. 【答案】(1)a(a + b) = a2 + ab (2)(a + b)(2a + b) (3)(a + b)2 + (a − b)2 (4)10 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的关系， 完全平方公式的应用， 掌握多项式的乘法是解题的 关键. （1）根据图形用两种方法表示面积即可； （2）根据（1）种方法画图，并表示面积即可； （3）根据图形的拼接得到等式即可； （4）先化简得到a2 + b2 = 20，然后设2a + b = m，则有b = m − 2a，代入配方得到5(a − m)2 = 20 − m2， 根据完全平方式的非负性得到= 20 − m2 ≥ 0，解题即可. 【详解】（1）解： a(a + b) = a2 + ab； （2）如图， 式子为： (a + b)(2a + b) = 2a2 + 3ab + b2； 故答案为： a + b ，2a + b； （3）如图， 根据面积可得(a − b)2 + (a + b)2 = 2a2 + 2b2， 故答案为： (a − b)2 ，(a + b)2； （4）解： ∵(a + b)2 + (a − b)2 = 40， ∴a2 + 2ab + b2 + a2 − 2ab + b2 = 40 ∴2a2 + 2b2 = 40，即a2 + b2 = 20， 设2a + b = m， ∴b = m − 2a， ∴a2 + (m − 2a)2 = 20， 即5a2 − 4ma + m2 − 20 = 0， ∴5(a − m)2 = 20 − m2， ∴20 − m2 ≥ 0， 解得： −10 ≤ m ≤ 10， ∴2a + b的最大值为10 . 【考点 14 整式乘法中的规律性问题】 【例 14】（24-25 七年级 · 四川眉山 · 期中）观察下列各式： (x − 1)(x + 1) = x2 − 1； (x − 1)(x2 + x + 1) = x 3 − 1； (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) = x4 − 1； … 根据规律计算： A ．22023−2 3 【答案】A 22022 − 22021 + 22020 − 22019 + ⋯ … + 24 − 23 + 22 − 2的值是( ) B ．22023 − 1 C . −22023 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大 1，减数都 为 1，即可得到规律为(x − 1)(xn + xn−1 + xn−2 + ⋯ + x3 + x2 + x + 1) = xn+1 − 1，利用规律， 当x = −2， n = 2022时，代入其中即可求解. 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律， 并利用规律解决问题. 【详解】解： 由(x − 1)(x + 1) = x2 − 1； (x − 1)(x2 + x + 1) = x 3 − 1； (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) = x4 − 1； … 观察发现： (x − 1)(xn + xn−1 + xn−2 + ⋯ + x3 + x2 + x + 1) = xn+1 − 1， 当x = −2 ，n = 2022时，得 (−2 − 1)(22022 − 22021 + 22020 − 22019 ⋯ + 24 − 23 + 22 − 2 + 1) = (−2)2023 − 1， ∴22022 − 22021 + 22020 − 22019 ⋯ + 24 − 23 + 22 − 2 + 1 = = = ， ∴22022 − 22021 + 22020 − 22019 ⋯ + 24 − 23 + 22 − 2 = − 1 = . 故选： A . 【变式 14- 1】（24-25 七年级 ·广西南宁 · 期中）阅读： 在计算(x − 1)(xn + xn−1 + xn−2 + ⋯ + x + 1)的过程中， 我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一 类问题的一般方法， 数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】① (x − 1)(x + 1) = ； ② (x − 1)(x2 + x + 1) = ； ③ (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) = ； ⅆⅆ (2)【猜想】由此可得： (x − 1)(xn + xn−1 + xn−2 + ⋯ + x + 1) = ； (3)【应用】请运用上面的结论， 解决下列问题：计算：52024 + 52023 + 52022 + 52021 + ⋯ + 5 + 1的值. 【答案】(1)x2 − 1；x 3 − 1；x4 − 1 (2)xn+1 − 1 (3) 【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律， 正确得出式子之间的变化规律 是解题关键 （1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）设x = 5, n = 2024，则(5 − 1)(52024 + 52023 + 52022 + ⋯ + 5 + 1) = 52025 − 1，即可求解. 【详解】（1）解： (x − 1)(x + 1) = x2 − 1； (x − 1)(x2 + x + 1) = x(x2 + x + 1) − (x2 + x + 1) = x 3 + x2 + x − x2 − x − 1 = x 3 − 1； (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) = x(x3 + x2 + x + 1) − (x3 + x2 + x + 1) = x4 + x3 + x2 + x − x3 − x2 − x − 1 = x4 − 1， 故答案为： x2 − 1；x 3 − 1；x4 − 1； （2）解：（1）总结得到， (x − 1)(xn + xn−1 + xn−2 + ⋯ + x + 1) = xn+1 − 1， 故答案为： xn+1 − 1； （3）解： 设x = 5, n = 2024， 根据(x − 1)(xn + xn−1 + xn−2 + ⋯ + x + 1) = xn+1 − 1 则(5 − 1)(52024 + 52023 + 52022 + ⋯ + 5 + 1) = 52025 − 1， ∴52024 + 52023 + 52022 + 52021 + ⋯ + 5 + 1 = . 【变式 14-2】（24-25 七年级 ·广东湛江 · 期末） 观察并验证下列等式： 13 + 23 = (1 + 2)2 = 9， 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 = 36， 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 100， (1)续写等式： 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = ；（写出最后结果） (2)我们已经知道1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅ +n = n(n + 1)，根据上述等式中所体现的规律， 猜想结论：13 + 23 + 33 + ⋅ ⋅⋅ +(n − 1)3 + n3 = ； （结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： 33 + 63 + 93 +⋅⋅⋅ +573 + 603； 【答案】(1)225 (2)n2 (n + 1)2 (3)1190700 【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用， 掌握自然数列和公式， 自然数平方和公式， 自然数 立方和推导过程，数字的变化类是解题关键. （1）直接根据题意给出的规律即可求解； （2）直接根据题意给出的规律即可求解； （3）先按积的乘方分出 27，提公因式 27，再按给出的规律即可求解 【详解】（1）解：原式= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = 152 = 225， 故答案为： 225； （2）解：原式= [1 + 2 + 3+ ⋯ +(n − 1) + n]2 = n(n + 1)]2 = n2 (n + 1)2， 故答案为： n2 (n + 1)2； （3）解：原式= (3 × 1)3 + (3 × 2)3 + (3 × 3)3 +⋅⋅⋅ +(3 × 20)3 = 27 × 13 + 27 × 23 + 27 × 33 +⋅⋅⋅ +27 × 203 = 27(13 + 23 + 33 +⋅⋅⋅ +203) = 27(1+2+3+ ⋯ +20)2 = 27 × × 202 × 212 = 27 × 44100 = 1190700 . 【变式 14-3】（24-25 七年级 ·河南商丘 · 期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题. 如图，在 2025 年 1 月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7 × 20− 6 × 21 = ，11 × 16 − 9 × 18 = ，不难发现，结果都是 . 2025 年 1 月 (1)完成上面的填空. (2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律. (3)若设每个方框的左上角数字设为 n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明. 【答案】(1)14；14；14 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及规律型： 数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）根据所给算式进行计算即可； （2）选择两个类似的长方形框试一试即可； （3）表示出各个角上的数字， 再根据“右上角×左下角-左上角×右下角= 14”写出规律； 利用多项式乘多项式 法则，证明结论. 【详解】（1）解： 7 × 20 − 6 × 21 = 140 − 126 = 14， 11 × 16 − 9 × 18 = 176 − 162 = 14 不难发现， 结果都是 14， 故答案为： 14；14；14； （2）解：如图： 14 × 27 − 13 × 28 = 378 − 364 = 14， 18 × 23 − 16 × 25 = 414 − 400 = 14， 结果都是 14；符合规律； （3）解： ①设左上角的数字为 n，则右上角的数字为(n + 2)， 左下角的数字为(n + 7)，右下角的数字为(n + 9) . 发现的规律是(n + 2)(n + 7) − n(n + 9) = 14 . 证明： (n + 2)(n + 7) − n(n + 9) = n2 + 9n + 14 − n2 − 9n = 14； ②设左上角的数字为 n，则右上角的数字为(n + 1)， 左下角的数字为(n + 14)，右下角的数字为(n + 15) . 发现的规律是(n + 1)(n + 14) − n(n + 14) = 14 . 证明： (n + 1)(n + 14) − n(n + 15) = n2 + 15n + 14 − n2 − 15n = 14 . 【考点 15 整式乘法中的恒成立问题】 【例 15】（24-25 七年级 ·上海 ·期中） m 、n为正整数，如果(−am )n = −amn 成立，那么( ) A ．m必为奇数 B ．n必为奇数 C ．m 、n必同为奇数 D ．m 、n必同为偶数 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方计算， 根据积的乘方计算法则得到(−am)n = (−1)namn = −amn ，则 (−1)n = −1，据此可得答案. 【详解】解： ∵(−am )n = (−1)namn = −amn， ∴(−1)n = −1， ∴n必为奇数， 故选： B . 【变式 15- 1】（24-25 七年级 · 安徽安庆 · 阶段练习）若不论x为何值时， 等式x(2x + a) + 4x − 3b = 2x2 + 5x + 6 恒成立，则a = ，b = . 【答案】 1 −2 【分析】本题考查单项式乘以多项式， 整式加减运算中的恒等问题， 将等式左边的多项式去括号， 合并同类 项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可. 【详解】∵ x(2x + a) + 4x − 3b = 2x2 + (a + 4)x − 3b = 2x2 + 5x + 6恒成立， ∴ a + 4 = 5, −3b = 6, ∴ a = 1, b = −2 . 故答案为： 1，−2 . 【变式 15-2】（24-25 七年级 · 福建泉州 · 期中）若规定 a、b 两数之间满足一种运算： 记作(a, b)．即：若ac = b， 则(a, b) = c ．我们叫这样的数对称为“一青一对” ．例如:因为32 = 9，所以(3 ，9) = 2 . （1）计算(4,2) + (4,3) =( )； （2）在正整数指数幂的范围内，若(42x−4, 54k) ≥ (4,5)恒成立，且x 只有两个正整数解，则 k 的取值范围 是 . 【答案】 (4 ，6) 1 ≤ k < 且4k为正整数 【分析】（1）设(4,2) = x ，(4,3) = y，根据题意得出4x = 2 ，4y = 3，则4x+y = 4x · 4y = 2 × 3 = 6，即可 得出答案； （2）设(2n, 4m ) = c，则2cn = 4m，cn = 2m，c = ，得出(42x−4, 54k) = (4,5)，根据(42x−4, 54k) ≥ (4,5)， 得出 (4 ，5) ≥ (4 ，5)，设4t = 5 (t > 1)，则 t ≥ t，得出 ≥ 1，得出2x − 4 ≤ 4k，x ≤ 2k + 2； 得出x > 2 ，k > 0，即可得出答案. 【详解】解： （1）设(4,2) = x ，(4,3) = y， 则4x = 2 ，4y = 3， ∵4x+y = 4x · 4y = 2 × 3 = 6， ∴(4,6) = x + y， ∴(4,2) + (4,3) = (4,6)； 故答案为： (4,6)； （2）设(2n, 4m ) = c，则2cn = 4m ，cn = 2m ，c = ， ∴(2n, 4m ) = = (2,4)， ∴(42x−4, 54k) = (4,5)， ∵(42x−4, 54k) ≥ (4,5)， ∴ (4 ，5) ≥ (4 ，5)； 设4t = 5 (t > 1)，则 t ≥ t ( ≥ 1 ， )∴ ∴2x − 4 ≤ 4k ，x ≤ 2k + 2； ∵2x − 4 > 0 ，4k > 0 ∴x > 2 ，k > 0，且 x、k 均为正整数，且x 只有两个正整数解， ∴3 ≤ x ≤ 4 ，4 ≤ 2k + 2 < 5， ∴1 ≤ k < 且4k为正整数. 故答案为： 1 ≤ k <且4k为正整数. 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算， 新定义运算， 解题的关键是理解题意， 熟练同底数幂乘法运 算法则. 【变式 15-3】（24-25 七年级 · 浙江宁波 · 期末）对x，y定义一种新运算F，规定： F(x，y) = (mx + ny)(3x − y) （其中m ，n均为非零常数）．例如：F(1,1) = 2m + 2n ，F(−1,0) = 3m ．当F(1, −1) = −8 ，F(1,2) = 13， 则F(x, y) = ；当x2 ≠ y2 时， F(x，y) = F(y，x)对任意有理数x，y都成立， 则m，n满足的关系式 是 . 【答案】 9x2 + 12xy − 5y2 3m + n = 0 【分析】（1）根据新运算F的定义， 得m − n = −2，m + 2n = 13，故m = 3，n = 5．那么，F(x，y) = (mx + ny)(3x − y) = (3x + 5y)(3x − y) = 9x2 + 12xy − 5y2 . （2）由F(x ，y) = F(y ，x)，得3mx2 + (3n − m)xy − ny2 = 3my2 + (3n − m)xy − nx2 ，故(3m + n)x2 = (3m + n)y2．由当x2 ≠ y2 时，F(x，y) = F(y，x)对任意有理数x，y都成立， 故当x2 ≠ y2 时， (3m + n)x2 = (3m + n)y2对任意有理数x ，y都成立．那么，3m + n = 0 . 【详解】解： （1）∵ F(1, −1) = −8 ，F(1,2) = 13， ∴ (m − n) × [3 − (−1)] = −8 ，(m + 2n)(3 × 1 − 2) = 13 . ∴ m − n = −2 ，m + 2n = 13 . ∴ m = 3 ，n = 5 . ∴ F(x ，y) = (mx + ny)(3x − y) = (3x + 5y)(3x − y) = 9x2 − 3xy + 15xy − 5y2 = 9x2 + 12xy − 5y2 . （2）∵ F(x ，y) = (mx + ny)(3x − y) ，F(y ，x) = (my + nx)(3y − x)， ∴ F(x ，y) = 3mx2 − mxy + 3nxy − ny2 = 3mx2 + (3n − m)xy − ny2 . F(y ，x) = 3my2 − mxy + 3nxy − nx2 = 3my2 + (3n − m)xy − nx2 . 若当x2 ≠ y2 时， F(x ，y) = F(y ，x)对任意有理数x ，y都成立， ∴当x2 ≠ y2 时， 3mx2 + (3n − m)xy − ny2 = 3my2 + (3n − m)xy − nx2 对任意有理数x ，y都成立. ∴当x2 ≠ y2 时， (3m + n)x2 = (3m + n)y2对任意有理数x ，y都成立. ∴ 3m + n = 0 . 故答案为： 9x2 + 12xy − 5y2 ，3m + n = 0 . 【点睛】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组， 解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以 及整式的运算. 【考点 16 利用平移、轴对称、旋转设计图案】 【例 16】（24-25 七年级 · 辽宁鞍山 · 阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中 阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选 2 块，按下列要求拼铺成一个新的图 案． （阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法， 使图②是轴对称图形而不是中心对称图形， 图③是中心对称图形而 不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法， 使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形， 且互不相同．（两 个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识， 把一个图形绕某一点旋转180°后， 能够与原图形重 合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形， 熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键. （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可. 【详解】（1）解：如图所示： 是轴对称图形而不是中心对称图形， , 如图所示： 是中心对称图形而不是轴对称图形 ; （2）解：如图所示： 既是轴对称图形又是中心对称图形， . 【变式 16- 1】（24-25 七年级 · 贵州安顺 ·期中） 如图， 图 2 中的图案可以看作是由图 1 中的基本图案通过一定 的图形变换形成的， 这个图形变换不可能是( ) A ．旋转 B ．轴对称 C ．平移 D ．轴对称和旋转 【答案】C 【分析】本题考查几何变换的知识， 根据图形的特征可知图形所在的中心可以是旋转中心， 中间两条线段所 在的两条直线是对称轴；根据上述特征结合平移，旋转，对称， 轴对称的概念解答即可，熟练掌握平移、 旋转、轴对称的定义是关键. 【详解】解： ：图形 2 所在的中心可以是旋转中心， ∴图形 2 可由旋转变换得到， ：中间两条线段所在的两条直线是对称轴， ∴图形 2 可由轴对称变换得到， ∴图形 2 可由旋转和轴对称变换得到，不能由平移得到， 故选： C . 【变式 16-2】（2024 · 四川广安 · 中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图 1 所示的 3×3 正方形方格 纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图 2 的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出 4 种不同的设计方案， 将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个 3×3 的正方形方格画一种， 例图除外） 【答案】见解析. 【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得. 【详解】解： 根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示： 【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念. 【变式 16-3】（24-25 七年级 ·江苏南京 · 期末） 平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2） 中的梯形Ⅰ~Ⅴ的顶点都在边长为 1 个单位长度的正方形网格点上. (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次 得到； 梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次 得到（填 “平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形Ⅳ经过怎样的图形运动得到？ 下列结论：①1 次旋转；②1 次轴对称； ③1 次平移和 1 次旋转； ④1 次旋转和 1 次轴对称．其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】(1)轴对称或旋转，旋转； (2)①③④ . 【分析】本题考查几何变换的类型， 轴对称图形， 解题的关键是掌握轴对称变换， 平移变换， 旋转变换的性 质. （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）梯形 V 可以看成由梯形Ⅳ绕点 O 顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点 A 顺时针旋转得到. 【详解】（1）解∶如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次轴对称得到；也可以看成由梯形Ⅰ经过一次旋 转得到，旋转中心是两个梯形公共的顶点，旋转了180°,梯形Ⅲ可以看成中梯形Ⅰ经过一次旋转得到； 故答案为∶轴对称或旋转， 旋转； （2）解：梯形 V 可以看成由梯形Ⅳ绕点 O 顺时针旋转90°得到或先向右平移一个单位，再绕点 A 顺时针旋 转90°得到或先绕点 B 逆时针旋转90°再作关于直线 a 对称的图形得到. 故答案为∶ ①③④ 【考点 17 多结论类问题】 【例 17】（24-25 七年级 · 重庆 · 阶段练习） 已知a 、b 、c 、d均为常数， e 、f均为非零常数，若有两个整式A = x2 + ex + f，B = 5x3 − 6x2 + 10 = a(x − 1)3 + b(x − 1)2 + c(x − 1) + d，下列结论中，正确个数为( ) ①当A + B为关于x的三次三项式时，则f = −10； ②当多项式A ⋅ B乘积不含x 4 时， 则e = 6； ③a + b + c = 19； ④当A能被x − 2整除时， 2e + f = −4； ⑤若x = 2m或m − 2时，无论e和f取何值， A值总相等，则m = −2 . A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算与乘法运算，求出A + B，可得当e = 0,10 + f ≠ 0时， A + B为关于x的 三次三项式，此时f ≠ −10，故说法①错误； 求出A ⋅ B，再由多项式A ⋅ B乘积不含x4 ，可得5e − 6 = 0，解 得： e = ，故说法②错误；当x = 1时， 可得d = 9，当x = 2时， 可得a + b + c + d = 26，故③说法正确； 设A = (x − 2)(x + n)，可得(x − 2)(x + n) = x2 + ex + f，令x = 2得到4 + 2e + f = 0 ，2e + f = −4，故 ④说法正确；根据当x = 2m或m − 2时，无论e和f取何值，A 值总相等，可得4m2 = (m − 2)2 且2m = m − 2， 故⑤说法正确，即可. 【详解】解： ∵A = x2 + ex + f ，B = 5x3 − 6x2 + 10 = a(x − 1)3 + b(x − 1)2 + c(x − 1) + d， ∴A + B = (5x3 − 6x2 + 10) + (x2 + ex + f) = 5x3 − 5x2 + ex + 10 + f， 当e = 0,10 + f ≠ 0时， A + B为关于x的三次三项式， 此时f ≠ −10，故说法①错误； A ⋅ B = (5x3 − 6x2 + 10) × (x2 + ex + f) = 5x5 + 5ex4 + 5fx3 − 6x4 − 6ex3 − 6fx2 + 10x2 + 10ex + 10f = 5x5 + (5e − 6)x4 + (5f − 6e)x3 + (10 − 6f)x2 + 10ex + 10f ∵多项式A ⋅ B乘积不含x4， ∴5e − 6 = 0，解得： e = ，故说法②错误； ∵B = 5x3 − 6x2 + 10 = a(x − 1)3 + b(x − 1)2 + c(x − 1) + d， 当x = 1时， B = 5 × 13 − 6 × 12 + 10 = a(1 − 1)3 + b(1 − 1)2 + c(1 − 1) + d， 即d = 9， 当x = 2时， B = 5 × 23 − 6 × 22 + 10 = a(2 − 1)3 + b(2 − 1)2 + c(2 − 1) + d， 即a + b + c + d = 26， ∴a + b + c = 26 − d = 19，故③说法正确； ∵A 能被x − 2整除， ∴可设A = (x − 2)(x + n)， ∵A = x2 + ex + f ∴(x − 2)(x + n) = x2 + ex + f， 令x = 2得： (2 − 2)(2 + n) = 22 + 2e + f，即4 + 2e + f = 0 ∴2e + f = −4，故④说法正确； 当x = 2m时， A = (2m)2 + e × 2m + f = 4m2 + 2me + f， 当x = m − 2时， A = (m − 2)2 + (m − 2)e + f， ∵当x = 2m或m − 2时，无论e和f取何值， A 值总相等， ∴4m2 = (m − 2)2 且2m = m − 2， 解得： m = −2，故⑤说法正确； 正确的有： ③④⑤,共 3 个. 故选： B . 【变式 17- 1】（24-25 七年级 · 山东济南 ·期中） 定义：如果2m = n（m，n为正数） ，那么我们把m叫做n的 D 数，记作m = D(n) ．例如：因为21 = 2，所以D(2) = 1；因为24 = 16，所以D(16) = 4 ，D 数有如下运算 性质： D(s · t) = D(s) + D(t) ，D = D(q) − D(p)，其中q > p ．下列说法错误的是( ) A ．D(8) = 3 B ．若D(3) = 2 ，D(5) = a + b, D(15) = 2a + 2b C ．若D(a) = 1，则D(a3) = 3 D ．若D(3) = 2a − b ，D(5) = a + b，则D = −a + 2b 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质， 本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关 键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论. 【详解】解： ∵ 23 = 8， ∴ D(8) = 3 . ∴ A选项的结论正确，不符合题意； ∵若D(a) = 1， ∴ a = 21 = 2， ∴ a3 = 23， ∴ D(a3) = 3， ∴ C选项的结论正确，不符合题意； ∵ D(15) = D(3 × 5) = D(3) +D(5) = 2 + a + b， ∴ B选项的结论不正确， 符合题意； ∵ D(3) = 2a − b ，D(5) = a + b， 则D() = D(5) −D(3) = (a + b) − (2a − b) = −a + 2b， ∴ D选项的结论正确，不符合题意. 故选： B 【变式 17-2】（24-25 七年级 ·河北张家口 · 期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三 角” （如图）就是一例．这个三角形给出了(a + b)n (n = 1,2,3,4,5,6)的展开式的系数规律．例如， 在三角形 中第三行的三个数 1 ，2 ，1，恰好对应(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1， 3 ，3 ，1，恰好对应着(a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 展开式中各项的系数，等等. 有如下两个结论： ①(a + b)5 = a 5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5； ②当a = −2 ，b = 1时，代数式a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 的值是−1； 上述结论中，正确的有 （写出序号即可） . 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题， 有理数的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的 关键. 由题意知， (a + b)5 展开式中各项的系数对应第六行的 1，5，10，10，5，1，进而可判断①的正误； 当a = −2， b = 1时， a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 = (−2 + 1)3 ，计算求解，可判断②的正误. 【详解】解： 由题意知，在杨辉三角形中第三行的三个数 1 ，2 ，1，恰好对应(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 展开 式中各项的系数； 第四行的四个数 1 ，3，3 ，1，恰好对应着(a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 展开式中各项的系数， ∴(a + b)5展开式中各项的系数对应第六行的 1 ，5，10 ，10 ，5 ，1， ∴(a + b)5 = a 5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 ，①正确， 故符合要求； 当a = −2 ，b = 1时，代数式a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 = (−2 + 1)3 = −1 ，②正确， 故符合要求； 故答案为： ①②. 【变式 17-3】（24-25 七年级 ·重庆沙坪坝 · 阶段练习） 若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式 去乘(a + 1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a − 1)，称这为第一次操作；若第一次操作后 所得多项式的项数是偶数， 用该多项式去乘(a + 1)，若该多项式的项数是奇数， 则用该多项式去乘(a − 1)称 这为第二此操作，以此类推. ①将多项式(a2 − 1)以上述方式进行 2 次操作后所得多项式项数是 5； ②将多项式(a2 + 2a)以上述方式进行 3 次操作后，多项式的所有系数和为 0； ③将多项式(a2 + 2a + 1)以上述方式进行 4 次操作后，当a = 2时，所得多项式的值为 243； ④将多项式(a − 1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a − 1)(a + 1)n−1； 四个结论错误的有( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 【答案】C 【分析】根据题意，计算出(a2 − 1)进行 2 次操作后所得多项式，即可判定①; 根据题意，计算出(a2 + 2a)以 上述方式进行 3 次操作后所得多项式， 即可判定②; 根据题意， 计算出(a2 + 2a + 1)进行 4 次操作后所得 多项式，再把a = 2代入计算即可判定③; 根据题意，总结归纳出(a − 1)进行n次操作后所得多项式规律， 即可判定④ . 【详解】解： (a2 − 1)第 1 次操作后，得(a2 − 1)(a + 1) = a 3 + a2 − a − 1， (a2 − 1)第 2 次操作后，得(a3 + a2 − a − 1)(a + 1) = a4 + 2a3 − 2a − 1， ∴(a2 − 1)第 2 次操作后所得多项式项数是 4， 故①错误； (a2 + 2a)第 1 次操作后，得(a2 + 2a)(a + 1) = a 3 + 3a2 + 2a， (a2 + 2a)第 2 次操作后，得(a3 + 3a2 + 2a)(a − 1) = a4 + 2a3 − a2 − 2a， (a2 + 2a)第 3 次操作后，得(a4 + 2a3 − a2 − 2a)(a + 1) = a 5 + 3a4 + a3 − 3a2 − 2a， ∴将多项式(a2 + 2a)以上述方式进行 3 次操作后， 多项式的所有系数和为1 + 3 + 1 − 3 − 2 = 0 故②正确； (a2 + 2a + 1)第 1 次操作后，得(a2 + 2a + 1)(a − 1) = a 3 + a2 − a − 1， (a2 + 2a + 1)第 2 次操作后，得(a3 + a2 − a − 1)(a + 1) = a4 + 2a3 − 2a − 1， (a2 + 2a + 1)第 3 次操作后，得(a4 + 2a3 − 2a − 1)(a + 1) = a 5 + 3a4 + 2a3 − 2a2 − 3a − 1， (a2 + 2a + 1)第 4 次操作后，得(a5 + 3a4 + 2a3 − 2a2 − 3a − 1)(a + 1) = a6 + 4a5 + 5a4 − 5a2 − 4a − 1， 当 a=2 时， a6 + 4a5 + 5a4 − 5a2 − 4a − 1 = 26 + 4 × 25 + 5 × 24 − 5 × 22 − 4 × 2 − 1 = 243， 故③正确； (a − 1)第 1 次操作后，得(a − 1)(a + 1)， (a − 1)第 2 次操作后，得(a − 1)(a + 1)(a + 1) = (a − 1)(a + 1)2， (a − 1)第 3 次操作后，得(a − 1)(a + 1)2 (a + 1) = (a − 1)(a + 1)3 (a − 1)第 4 次操作后，得(a − 1)(a + 1)3 (a + 1) = (a − 1)(a + 1)4 … (a − 1)第 n 次操作后，得(a − 1)(a + 1)n， 故④错误； 综上，错误的有①④共 2 个， 故选： C . 【点睛】本题考查多项式乘多项式，数式规律探究， 熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键. 【考点 18 新定义类问题】 【例 18】（24-25 七年级 · 四川成都 · 期末）定义一种新运算，对任意数a，b，a △ b = a2 + b − 3，例如： 2 △ 1 = 22 + 1 − 3 ，2x △ y = (2x)2 + y − 3 . (1)设A = x △ (m − 2)x（m为常数） ①已知关于x的方程A = (|m| − 1)x2 − 6为一元一次方程，求： m的值及方程的解. ②已知A与B为关于 x 的多项式， B = 2 △ x，n的值满足2n+2 − 2n+1 = 8，若A × B中不含一次项，求：3m − n 的值. (2)如果数对(a, b)满足a △ b = 2b △ 2a，我们称数对(a, b)为“嘉幸数”，已知数对(2, m)与(1, n)均为“嘉幸数”， 求代数式4(m + n)(m + n) − 2mn m + 4) − (m − n) +m2n − 8n2 + 2024的值. 【答案】(1)①m = −2 ，x = ；②13； (2)2573 . 【分析】（1）①根据规定的新运算可知A = x2 + (m − 2)x − 3，又因为方程A = (|m| − 1)x2 − 6为一元一次 方程，可得x2 + (m − 2)x − 3 = (|m| − 1)x2 − 6为一元一次方程， 根据一元一次方程的定义可知|m| − 1 = 1 、m − 2 ≠ 0，从而求出m的值，把m的值代入方程中可得方程为−4x − 3 = −6，解方程即可； ②根据2n+2 − 2n+1 = 8可以求出n = 2，根据A × B中不含一次项可以求出m的值， 把m、n的值代入3m − n 计算求值即可； （2）根据“嘉幸数” 的定义列方程求出m、n的值， 根据整式的运算法则把代数式化简， 再把m、n的值代入化 简后的代数式计算即可. 【详解】（1）①解： A = x △ (m − 2)x = x2 + (m − 2)x − 3， 又∵方程A = (|m| − 1)x2 − 6为一元一次方程， ∴ x2 + (m − 2)x − 3 = (|m| − 1)x2 − 6为一元一次方程， ∴ { |m (m)|2101 ， 解得： m = −2， ∴方程为−4x − 3 = −6， 解得： x = ， ∴ m = −2 ，x = ； ②解： ∵ n的值满足2n+2 − 2n+1 = 8， ∴ 2n × 22 − 2n × 2 = 8， ∴ 2n × (22 − 2) = 8， ∴ 2n = 4， 解得： n = 2， ∵ B = 2 △ x = 22 + x − 3 = x + 1 ，A = x △ (m − 2)x = x2 + (m − 2)x − 3， ∴ A × B = (x + 1)[x2 + (m − 2)x − 3]， 整理得： A × B = x 3 + (m − 1)x2 + (m − 5)x − 3， ∵ A × B不含一次项， ∴ m − 5 = 0， 解得： m = 5， ∴ 3m − n = 3 × 5 − 2 = 13； （2）解： ∵数对(2, m)为“嘉幸数”， ∴ 2 △ m = 2 × 2 △ 2m， 整理得： 22 + m − 3 = 42 + 2m − 3， 解得： m = −12， ∵数对(1, n)为“嘉幸数”， ∴ 1 △ n = 1 × 2 △ 2n， 整理得： 12 + n − 3 = 22 + 2n − 3， 解得： n = −3， 4(m + n)(m + n) − 2mn m + 4) − (m − n) +m2n − 8n2 + 2024 = 4m2 + 8mn + 4n2 − m2n − 8mn − (m − n) +m2n − 8n2 + 2024 = 4m2 − 4n2 − (m − n) + 2024 = 4(m − n)(m + n) − (m − n) + 2024 = (m − n)(4m + 4n − 1) + 2024， 当m = −12 ，n = −3时， 原式= (m − n)(4m + 4n − 1) + 2024 = [−12 − (−3)] × [4 × (−12) + 4 × (−3) − 1] + 2024 = −9 × (−48 − 12 − 1) + 2024 = −9 × (−61) + 2024 = 549 + 2024 = 2573 . 【点睛】本题主要考查了新运算、 一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合 运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算， 根据规定的新运算， 把指定的运算转化为一般的运算； 理解“嘉幸数” 的意义， 根据“嘉幸数”列方程求出字母的值. 【变式 18- 1】（24-25 七年级 · 浙江台州 · 期末）规定两正数a, b之间的一种运算，记作{a, b}：如果ac = b，那 么{a, b} = c ．例如： 因为34 = 81，所以{3,81} = 4 ．小慧在研究这种运算时发现：{a, b} + {a, c} = {a, bc}， 例如： {5,6} + {5,7} = {5,42} ．证明如下： 设{5,6} = x, {5,7} = y, {5,42} = z，根据定义可得：5x = 6, 5y = 7, 5z = 42，因为5x × 5y = 6 × 7 = 42 = 5z ，所以5x × 5y = 5x+y = 5z ，即x + y = z，所以{5,6} + {5,7} = {5,42} ．请根据前面的经验计算： （1）{4,2} + {4,32}的值为 ； （2）2 × {mn, 2mn} + {mn, m2n} + {mn, m2n3 } 的值为 . 【答案】 3 6 【分析】本题考查了实数的运算．理清题意，熟练掌握新的运算法则，同底数幂乘法法则， 是解题的关键. （1）利用规定的运算法则即可求解. （2）利用规定的运算法则，逐步脱式运算，即可求解. 【详解】解： （1）{4,2} + {4,32} = {4,64} = 3； 故答案为： 3； ( 2 ) ( 1 )（2）2 × {mn, 2mn} + {mn, ( 2 ) ( 1 )m2n} + {mn, m2n3 } = {mn, 2mn} + {mn, 2mn} + {mn, m2n} + {mn, m2n3 } = {mn, 4m2n2 } + {mn, m2n} + {mn, m2n3 } = {mn, 2m4n3 } + {mn, m2n3 } = {mn, m6n6 } = {mn, (mn)6 } = 6 . 故答案为： 6. 【变式 18-2】（24-25 七年级 ·湖南长沙 · 期中） 阅读以下材料： 已知两个两位数， 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数， 若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等， 则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如 43 × 68 = 34 × 86 = 2924，所以43和68与34和86都是“幸福数对” . 解决如下问题： (1)请判断24与63是否是“幸福数对” ？并说明理由： (2)为探究“幸福数对” 的本质， 可设“幸福数对” 中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a ≠ b；另一个数 的十位数字为c，个位数字为d，且c ≠ d，试说明a ，b ，c ，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； (3)若有一个两位数，十位数字为(x2 + x + 1)，个位数字为(2x2 + x + 3)；另一个两位数， 十位数字为 (2x2 + x + 5)，个位数字为(x2 + x + 2) ．若这两个数为“幸福数对” ，求出这两个两位数. 【答案】(1)24与63是“幸福数对” ，理由见解析 (2)ac = bd；证明见解析 (3)36和84 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对” ，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解. （1）根据定义即可得到答案； （2）根据定义得： (10a + b)(10c + d) = (10b + a)(10d + c)，化简得ac = bd； （3）根据定义列等式，化简解方程可得x的值，从而得出答案. 【详解】（1）解： ∵24 × 63 = 1512 ，42 × 36 = 1512， ∴24 × 63 = 42 × 36， ∴24与63是“幸福数对” （2）解： ac = bd 理由如下， 依题意， (10a + b)(10c + d) = 100ac + 10ad + 10bc + bd， (10b + a)(10d + c) = 100bd + 10bc + 10ad + ac， (100ac + 10ad + 10bc + bd) − (100bd + 10bc + 10ad + ac) = 0， 99ac − 99bd = 0 ，99(ac − bd) = 0， ∴ac − bd = 0 . 即ac = bd （3）解：由（2）可得(x2 + x + 1) (2x2 + x + 5) = (2x2 + x + 3) (x2 + x + 2) 即2x4 + 3x3 + 8x2 + 6x + 5 = 2x4 + 3x3 + 8x2 + 5x + 6 ∴6x + 5 = 5x + 6 解得： x = 1， 则(x2 + x + 1) = 3 ， (2x2 + x + 3) = 2 + 1 + 3 = 6； (2x2 + x + 5) = 2 + 1 + 5 = 8 ，(x2 + x + 2) = 1 + 1 + 2 = 4 ∴这两个两位数分别为： 36和84 . 【变式 18-3】（24-25 七年级 · 浙江宁波 · 期末）对x，y定义一种新运算F，规定： F(x，y) = (mx + ny)(3x − y) （其中m ，n均为非零常数）．例如：F(1,1) = 2m + 2n ，F(−1,0) = 3m ．当F(1, −1) = −8 ，F(1,2) = 13， 则F(x, y) = ；当x2 ≠ y2 时， F(x ，y) = F(y ，x)对任意有理数x ，y都成立，则m ，n满足的关系式是 . 【答案】 9x2 + 12xy − 5y2 3m + n = 0 【分析】（1）根据新运算F的定义， 得m − n = −2，m + 2n = 13，故m = 3，n = 5．那么，F(x，y) = (mx + ny)(3x − y) = (3x + 5y)(3x − y) = 9x2 + 12xy − 5y2 . （2）由F(x ，y) = F(y ，x)，得3mx2 + (3n − m)xy − ny2 = 3my2 + (3n − m)xy − nx2 ，故(3m + n)x2 = (3m + n)y2．由当x2 ≠ y2 时，F(x，y) = F(y，x)对任意有理数x，y都成立， 故当x2 ≠ y2 时， (3m + n)x2 = (3m + n)y2对任意有理数x ，y都成立．那么，3m + n = 0 . 【详解】解： （1）∵ F(1, −1) = −8 ，F(1,2) = 13， ∴ (m − n) × [3 − (−1)] = −8 ，(m + 2n)(3 × 1 − 2) = 13 . ∴ m − n = −2 ，m + 2n = 13 . ∴ m = 3 ，n = 5 . ∴ F(x ，y) = (mx + ny)(3x − y) = (3x + 5y)(3x − y) = 9x2 − 3xy + 15xy − 5y2 = 9x2 + 12xy − 5y2 . （2）∵ F(x ，y) = (mx + ny)(3x − y) ，F(y ，x) = (my + nx)(3y − x)， ∴ F(x ，y) = 3mx2 − mxy + 3nxy − ny2 = 3mx2 + (3n − m)xy − ny2 . F(y ，x) = 3my2 − mxy + 3nxy − nx2 = 3my2 + (3n − m)xy − nx2 . 若当x2 ≠ y2 时， F(x ，y) = F(y ，x)对任意有理数x ，y都成立， ∴当x2 ≠ y2 时， 3mx2 + (3n − m)xy − ny2 = 3my2 + (3n − m)xy − nx2 对任意有理数x ，y都成立. ∴当x2 ≠ y2 时， (3m + n)x2 = (3m + n)y2对任意有理数x ，y都成立. ∴ 3m + n = 0 . 故答案为： 9x2 + 12xy − 5y2 ，3m + n = 0 . 【点睛】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组， 解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以 及整式的运算. 【考点 19 阅读理解类问题】 【例 19】（24-25 七年级 ·上海闵行 · 期中）阅读理解题 阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是 10，该类乘法的速算方法是： 将一 个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加 1 的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数 的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用 0 补齐） . 比如47 × 43，它们乘积的前两位是4 × (4 + 1) = 20，它们乘积的后两位是7 × 3 = 21，所以47 × 43 = 2021； 再如62 × 68，它们乘积的前两位是6 × (6 + 1) = 42，它们乘积的后两位是2 × 8 = 16，所以62 × 68 = 4216； 又如21 × 29 ，2 × (2 + 1) = 6，不足两位， 就将 6 写在百位： 1 × 9 = 9，不足两位，就将 9 写在个位， 十位上写 0，所以21 × 29 = 609 该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性； 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a 、b表示 1~9 的整数） ，则该数可表示为10a + b，另 一因数可表示为10a + (10 − b) . 两数相乘可得： (10a + b)[10a + (10 − b)] = 100a2 + 10a(10 − b) + 10ab + b(10 − b) = 100a2 + 100a − 10ab + 10ab + b(10 − b) = 100a2 + 100a + b(10 − b) = 100a(a + 1) + b(10 − b). （注：其中a(a + 1)表示计算结果的前两位， b(10 − b)表示计算结果的后两位. ) 问题： 两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和 是 10 . 如44 × 73 、77 × 28 、55 × 64等. （1）探索该类乘法的速算方法，请以44 × 73为例写出你的计算步骤； （2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为 . 设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为 ．（a 、b表示 1~9 的正整数） （3）请针对问题（1）（2）中的计算， 模仿阅读材料中所用的方法写出如： 100a(a + 1) + b(10 − b)的运算 式： 【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac . 【分析】（1）设一个因数的两个数字为 b 和 c 且 b+c=10，另一个因数个位数为 a，则另一个因数为 10a+a， 则 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac . 规律： 先将和为 10 的数的十位数字加 1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以 100，然后加上两个个位 数之积，由此可得出结论； （2）根据两位数的表示方法即可得出结论. （3）根据（1）即可得出结论. 【详解】（1）设一个因数的两个数字为 b 和 c 且 b+c=10，另一个因数个位数为 a，则另一个因数为 10a+a， 则（ 10a+a）（ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ）a×100+ac . 规律： 先将和为 10 的数的十位数字加 1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以 100，然后加上两个个位 数之积， ∴4×（7+1）=32 ，4×3=12 ，44×73=3212； （2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是 a，则该数可以表示为 10a+a=11a . 设另一个因数的十位数字是 b，则该数可以表示为 10b+（10-b）=9b+10 . 故答案为 11a ，9b+10 . （3）设一个因数的两个数字为 b 和 c 且 b+c=10，另一个因数个位数为 a，则另一个因数为 10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac . 故答案为（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac . 【点睛】本题考查了整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键， 考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础. 【变式 19- 1】（24-25 七年级 ·湖北十堰 · 期中） 阅读材料： 31 的末尾数字是 3，32 的末尾数字是 9 ，33 的末尾 数字是 7，34 的末尾数字是 1，35 的末尾数字是 3，......，观察规律， 34n+1 = (34)n × 3，∵34 的末尾数字是 1， ∴(34)n 的末尾数字是 1 ，∴(34 )n × 3的末尾数字是 3，同理可知， 34n+2的末尾数字是 9，34n+3的末尾数字是 7 ．解答下列问题： (1)32021 的末尾数字是 ，142022 的末尾数字是 ； (2)求22022 的末尾数字； (3)求证： 122024 + 372018 能被 5 整除. 【答案】(1)3 ，6； (2)4； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知32021 的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得142n+1的末 尾数字是 4 ，142n的末尾数字是 6，于是得解； （2）先将22022 化成(24)505 × 4，再利用(24 )505 = 16505 的末尾数字是 6，从而得出结论； （3）分别证明122024 的末尾数字为 6 和372018 的末尾数字 9，则命题即可得证. 【详解】（1）解： ∵ 32021 = 34×505+1， ∴ 32021 的末尾数字为 3； ∵ 141 的末尾数字是 4 ，142 的末尾数字是 6 ，143 的末尾数字是 4 ，ⅆ ∴ 142n+1的末尾数字是 4 ，142n的末尾数字是 6， ∴ 142022 的末尾数字是 6； 故答案为： 3，6； （2）解： 22022 = (24)505 × 22 = (24)505 × 4， ∵(24)505 的末尾数字是 6， ∴22022 的末尾数字是 4； （3）证明： ∵121 的末尾数字是 2 ，122 的末尾数字是 4 ，123 的末尾数字是 8 ，124 的末尾数字是 6 ，125 的末 尾数字是 2 ，ⅆ ∴ 124n+1的末尾数字是 2 ，124n+2的末尾数字是 4 ，124n+3的末尾数字是 8，124n的末尾数字是 6， ∴ 122024 = 124×506的末尾数字为 6； 同理可得： 374n+1的末尾数字 7 ，374n+2的末尾数字 9 ，374n+3的末尾数字 3 ，374n的末尾数字 1； ∴ 372018 = 374×504+2的末尾数字 9， ∴122024 + 372018 的末尾数字是 5， ∴122024 + 372018 能被 5 整除. 【点睛】此题是一道阅读理解题， 主要考查了幂的运算、数的整除， 熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与 积的乘方法则是解答此题的关键. 【变式 19-2】（24-25 七年级 · 福建龙岩 ·期末） 在我国南宋数学家杨辉（约 13 世纪） 所著的《详解九章算法》 （1261 年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪 （1050 年左右）也用过上述方法， 因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角” ．杨辉三角两腰上的数 都是1，其余每一个数为它上方（左右） 两数的和．事实上， 这个三角形给出了(a + b)n (n = 1,2,3,4,5,6 ⋯ ) 的展开式（按a的次数由大到小的顺序） 的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 展开式中的各项系数， 第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着(a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题： （1）写出(a + b)4 的展开式； （2）利用整式的乘法验证你的结论. 【答案】（1）a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ；（2）见解析 【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可. 【详解】（1）(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4， （2）方法一：(a + b)4 = (a + b) • (a + b)3 =(a + b)(a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3) =a4 + 3a3 b + 3a2 b2 +ab3 + a3 b + 3a 2 b2 + 3ab3 + b4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 方法二： (a + b)4 = (a + b)2 • (a + b)2 =(a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2) =a4 + 2a3 b + a2 b2 + 2a3 b + 4a2 b2 + 2ab3 + a2 b2 + 2ab3 + b4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 . 【点睛】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题. 【变式 19-3】（24-25 七年级 · 山东济南 · 期末） 【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置， 当字母的取值均不相等，且都不为 0 时， 代数式的值不变，这样的式子叫作对称式. 【特例感知】 代数式m + n + p中任意两个字母交换位置， 可得到代数式n + m + p，p + n + m，m + p + n，因为n + m + p = p + n + m = m + p + n，所以m + n + p是对称式．而交换式子m − n中字母m ，n的位置，得到代数式 n − m，因为m − n ≠ n − m，所以m − n不是对称式. 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有 (填序号) ①2m ⋅ 2n ⋅ 2p ②[(−2)m ]n ( (−2) n )③(−2)m ④(m − n)2 (2)若关于m ，n的代数式k(m − n)2 + km2 − n2 为对称式， 则k的值为 ； (3)在(2)的条件下，已知上述对称式k(m − n)2 + km2 − n2 = −10，且mn = 1，求(m − n)2 的值. 【答案】(1)①②④ (2)−1 (3)4 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是理解对称式的含义，掌握乘法公式. （1）根据对称式的定义对各个式进行判断即可； （2）根据对称式的定义， 交换m，n的位置， 得到k(n − m)2 + kn2 − m2 ，由题意得k(m − n)2 + km2 − n2 = k(n − m)2 + kn2 − m2 ，整理得k + 1 = 0，求出k即可； （3）把（2）中所求k的值代入k(m − n)2 + km2 − n2 = −10，求出m2 + n2 的值， 再利用完全平方公式进行 解答即可. 【详解】（1）：解： ①∵2m ⋅ 2n ⋅ 2p = 2p ⋅ 2n ⋅ 2m = 2p+m+n， ∴①是对称式； ②∵[(−2)m ]n = [(−2)n ]m = (−2)mn， ∴②是对称式； ③∵ ≠ ， ∴③不是对称式； ④∵(m − n)2 = (n − m)2， ∴④是对称式， 故答案为： ①②④; （2）解： ∵关于m ，n的代数式k(m − n)2 + km2 − n2 为对称式， ∴ k(m − n)2 + km2 − n2 = k(n − m)2 + kn2 − m2， k(m − n)2 − k(n − m)2 + km2 − kn2 + m2 − n2 = 0， k(m2 − n2) + (m2 − n2) = 0， (k + 1)(m2 − n2) = 0， ∴ k + 1 = 0， 即k = −1； （3）解： ∵ k = −1， ∴ −(m − n)2 − m2 − n2 = −10， −m2 + 2mn − n2 − m2 − n2 = −10， −2m2 − 2n2 + 2mn = −10， −2(m2 + n2) = −10 − 2mn， 2(m2 + n2) = 10 + 2mn， m2 + n2 = 5 + mn = 6， ∴ (m − n)2 = m2 + n2 − 2mn = 6 − 2 × 1 = 6 − 2 = 4 . $$