11.3.2 直线与平面平行(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　) A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交 C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交 解析　若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α. 答案　D 2．(2024·宁夏吴忠高一期中)下列命题正确的是(　　 ) A．a∥b，b⊂α⇒a∥α B．a∥α，b⊂α⇒a∥b C．a∥α，a∥b⇒b∥α D．a⊄α，a∥b，b⊂α⇒a∥α 解析　对于A，a∥b，b⊂α，有可能a⊂α，A错误； 对于B，a∥α，b⊂α，有可能a，b异面，B错误； 对于C，a∥α，a∥b，有可能b⊂α，C错误； 对于D，由线面平行的判定定理可知D正确． 答案　D 3．(2024·江苏南京高一期中)在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶3，H，G分别为BC，CD的中点，则(　　 ) A．BD∥平面EFGH且EFGH为矩形 B．EF∥平面BCD且EFGH为梯形 C．HG∥平面ABD且EFGH为菱形 D．HE∥平面ADC且EFGH为平行四边形 解析　在平面ABD内，∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶3，∴EF∥BD. 又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD. 又∵在平面BCD内，H，G分别是BC，CD的中点， ∴HG∥BD，∴HG∥EF. 又＝＝，＝＝∴EF≠HG. 在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形． 答案　B 4．(2024·江苏南通高一期中)正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN＝2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为(　　 ) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　如图，取BC，B1C1的中点为H，Q，连接BQ，C1H，则AM∥BQ∥C1H，且AM＝BQ＝C1H， 在平面BB1C1C中，过点N作NP∥C1H交BC于P，则NP为平面AMN与侧面BB1C1C的交线，且NP∶C1H＝2∶3，由于C1H＝＝＝，∴NP＝，故选C． 答案　C 5．(2024·山东潍坊高一月考)在三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1，E，F分别是AC，BC的中点，点M在AA1上，AM＝2MA1，若点N在平面ABB1A1内，且MN∥平面C1EF，则点N的位置是________．(写出一种即可) 解析　如图，当BN＝2B1N时，连接MN，因为AM＝2A1M，所以MN∥AB， 因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB，从而MN∥EF， 又EF⊂平面C1EF，MN⊄平面C1EF，所以MN∥平面C1EF. 故答案为：N是线段BB1上靠近点B1的三等分点(答案不唯一). 答案　N是线段BB1上靠近点B1的三等分点(答案不唯一) 6．如图所示，AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，若＝2，则＝________. 解析　∵AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，∴OM∥CD，ON∥AB， ∴＝＝. ∵＝2，∴＝2. 答案　2 7．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条． 解析　过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条． 答案　0或1 8．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形． 证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF. ∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则下列平面中与MN平行的是(　　) A．平面ABC B．平面ABD C．平面ACD D．平面BCD 解析　连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F(图略)， 由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD中点E， 由＝＝，得MN∥AB， 因为AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD， MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD. 因此MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD. 答案　AB 10．在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 解析　A项，做如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q， ∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交． B项，做如图所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ. C项，做如图所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ. D项，做如图所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ. 又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ.故选A． 答案　A 11.如图四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件________时，SC∥平面EBD. 解析　因为SC∥平面EBD，SC⊂平面SAC，平面SAC∩平面EBD＝OE，所以SC∥OE，又因为底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，故O为AC的中点，所以E为SA的中点，故当E满足条件：SE＝AE时，SC∥平面EBD. 答案　SE＝AE 12.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 解析　因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5. 答案　5 13．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置． 解析　若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF. 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN， 所以BFNM是平行四边形， 所以MN＝BF＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2， 所以MN∥EC，MN＝EC＝1， 故MN是△ACE的中位线． 所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF. [核心价值·探索创新] 14．如图所示，过三棱台上底面的一边A1C1，作一个平行于棱BB1的截面，与下底面的交线为DE.若D，E分别是AB，BC的中点，则＝________. 解析　因为BB1∥平面DEC1A1，且平面BB1C1C∩平面DEC1A1＝C1E，所以BB1∥C1E， 又因为B1C1∥BE，所以四边形BB1C1E为平行四边形，所以B1C1＝BE，且E是BC的中点，所以B1C1＝BC，同理A1B1＝AB，因此S△A1B1C1＝S△ABC，设上底面的面积为S，高为h，则下底面的面积为4S，所以＝＝. 答案　 15．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点． (1)求证：EF∥平面PAD； (2)在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (1)证明　取PA的中点M，连接MD，MF. 因为F，M分别为PB，PA的中点， 所以FM∥AB，FM＝AB， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB∥CD，AB＝CD， 因为E为CD的中点，所以DE＝CD， 所以FM∥DE，FM＝DE， 所以四边形DEFM为平行四边形， 所以EF∥MD， 因为EF⊄平面PAD，MD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. (2)解析　存在点Q符合题意，且此时PQ∶QC＝2∶1. 取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ∶QC＝2∶1，连接GQ，HC，则A，E，Q，F四点共面，证明如下： 因为在平行四边形ABCD中，E，H分别为CD，AB的中点， 所以AH∥CE，AH＝CE，所以四边形AHCE为平行四边形，所以CH∥AE， 因为F为PB的中点，所以点G为△PAB的重心，且PG∶GH＝2∶1， 因为PQ∶QC＝2∶1，所以GQ∥HC， 因为CH∥AE，所以GQ∥AE. 所以GQ和AE确定一个平面α， 因为F在直线AG上， 所以F∈α，所以A，E，Q，F四点共面， 所以在线段PC上存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面. 学科网（北京）股份有限公司 $$