11.2 平面的基本事实与推论(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固]

1．(多选题)有下列四个命题，其中假命题的为(　　)

A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

B．两条直线可以确定一个平面

C．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l

D．空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内

解析　A错误，如果两个平面有三个公共点，当三点不共线时，这两个平面重合；

B错误，两条直线可以确定一个平面也可以异面；

C正确，若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l(由基本性质3可得)；

D错误，空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平面内，也可能不在同一平面内．

答案　ABD

2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　 )

A．相交

B．重合

C．相交或重合

D．以上都不对

解析　若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交；若这三个公共点不共线，则这两个平面重合．故选C．

答案　C

3．给出下列命题(设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示点)，其中真命题有(　　)

①若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则l⊂α；

②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；

③若l⊄α，A∈l，则A∉α；

④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．

A．1个　　　　　　　 B．2个

C．3个  D．4个

解析　在①中，若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则由基本事实1知l⊂α，故①正确；在②中，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则由基本事实3知α∩β＝AB，故②正确；在③中，若l⊄α，A∈l，则A∉α或A∈α，故③错误；在④中，若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不

共线，则由基本事实2得α与β重合，故④正确．故选C．

答案　C

4．(多选题)下列说法正确的是(　　 )

A．三个平面最多可以把空间分成八部分

B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价

C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l

D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面

解析　对于A，正确；对于B，“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误．

答案　AC

5．给出下列判断：

①一条直线和一点确定一个平面；

②三角形和梯形一定是平面图形；

③三条互相平行的直线一定共面．

其中正确的是________．(写出所有正确判断的序号)

解析　一条直线与直线外一点能确定一个平面，所以①不正确；②正确；三条互相平行的直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱，所以③不正确．

答案　②

6．空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点最多可以确定________个平面．

解析　将其中4点放在同一平面α上，另一点在平面α外，则从4点中任取两点，共有6种方法．再与第5个点组成一个平面，所以共有6＋1＝7个平面．

答案　7

7．给出下列说法：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；

⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．

其中所有正确说法的序号是________．

解析　①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A和平面α内的任意一条直线都能确定一个平面．

答案　③④

8.如图所示，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a，b，c和l共面．

证明　证法一(辅助平面法)

∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.

∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.

又A∈l，B∈l，∴l⊂α.

∵C∈l，∴C∈α，

∴直线a与点C同在平面α内．

又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β.

∵C∈c，c⊂β，∴C∈β，

即直线a与点C同在平面β内．

由公理2的推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α.

∴a，b，c，l共面．

证法二(纳入平面法)

∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.

∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.

又A∈l，B∈l，∴l⊂α.

则a，b，l都在平面α内，

即b在a，l确定的平面内．

同理可证c在a，l确定的平面内．

∵过a与l只能确定一个平面，

∴a，b，c，l共面于a，l确定的平面．

[关键能力·综合提升]