11.2 平面的基本事实与推论(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)有下列四个命题，其中假命题的为(　　) A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．两条直线可以确定一个平面 C．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l D．空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内 解析　A错误，如果两个平面有三个公共点，当三点不共线时，这两个平面重合； B错误，两条直线可以确定一个平面也可以异面； C正确，若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l(由基本性质3可得)； D错误，空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平面内，也可能不在同一平面内． 答案　ABD 2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　 ) A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 解析　若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交；若这三个公共点不共线，则这两个平面重合．故选C． 答案　C 3．给出下列命题(设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示点)，其中真命题有(　　) ①若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则l⊂α； ②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB； ③若l⊄α，A∈l，则A∉α； ④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合． A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析　在①中，若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则由基本事实1知l⊂α，故①正确；在②中，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则由基本事实3知α∩β＝AB，故②正确；在③中，若l⊄α，A∈l，则A∉α或A∈α，故③错误；在④中，若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则由基本事实2得α与β重合，故④正确．故选C． 答案　C 4．(多选题)下列说法正确的是(　　 ) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价 C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面 解析　对于A，正确；对于B，“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误． 答案　AC 5．给出下列判断： ①一条直线和一点确定一个平面； ②三角形和梯形一定是平面图形； ③三条互相平行的直线一定共面． 其中正确的是________．(写出所有正确判断的序号) 解析　一条直线与直线外一点能确定一个平面，所以①不正确；②正确；三条互相平行的直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱，所以③不正确． 答案　② 6．空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点最多可以确定________个平面． 解析　将其中4点放在同一平面α上，另一点在平面α外，则从4点中任取两点，共有6种方法．再与第5个点组成一个平面，所以共有6＋1＝7个平面． 答案　7 7．给出下列说法： ①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内； ⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面． 其中所有正确说法的序号是________． 解析　①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A和平面α内的任意一条直线都能确定一个平面． 答案　③④ 8.如图所示，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a，b，c和l共面． 证明　证法一(辅助平面法) ∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵C∈l，∴C∈α， ∴直线a与点C同在平面α内． 又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β. ∵C∈c，c⊂β，∴C∈β， 即直线a与点C同在平面β内． 由公理2的推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α. ∴a，b，c，l共面． 证法二(纳入平面法) ∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. 则a，b，l都在平面α内， 即b在a，l确定的平面内． 同理可证c在a，l确定的平面内． ∵过a与l只能确定一个平面， ∴a，b，c，l共面于a，l确定的平面． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 解析　在题图中，连接A1C1，AC， 则AC∩BD＝O， 又A1C∩平面C1BD＝M. ∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线， ∴A，B，C均正确，D不正确． 答案　ABC 10．(多选题)给出下列四个命题，其中正确的是(　　) A．空间四点共面，则其中必有三点共线 B．空间四点不共面，则其中任何三点不共线 C．空间四点中存在三点共线，则此四点共面 D．空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 解析　在A中，由正方形的四个顶点共面，知A错误；在B中，由基本事实2及推论知空间四点不共面，则其中任何三点不共线，故B正确；在C中，由基本事实2及推论知空间四点中存在三点共线，则此四点共面，故C正确；在D中，由正方形的四个顶点共面，知D错误． 答案　BC 11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．设直线C1M，CD相交于点E，直线C1N，CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN为所求截面图形． 答案　C 12．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________． 解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC． 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE. 答案　P∈直线DE 13．如图所示，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点． 证明　不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形， ∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. ∵BB1⊂平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1. 同理可证，S∈平面ACC1A1，∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上， 即S∈CC1，∴AA1，BB1，CC1三线共点． [核心价值·探索创新] 14．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①当0<CQ<时，S为四边形； ②当CQ＝时，S为等腰梯形； ③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝； ④当<CQ<1时，S为六边形； ⑤当CQ＝1时，S的面积为. 解析　连接PQ，AP. 对于①，当0<CQ<时，如图(1)． 在平面AA1D1D内，过点A作AE∥PQ，交DD1于点E，连接EQ，则S是四边形APQE. 对于②，当CQ＝时，如图(2)．连接D1Q，D1A，BC1，显然PQ∥BC1，因为BC1∥AD1，所以PQ∥AD1. 则S是等腰梯形． 对于③，当CQ＝时，如图(3)． 过点B作BF∥PQ交线段CC1的延长线于点F，则C1F＝. 过点A作AE∥BF交线段DD1的延长线于点E，则D1E＝，所以AE∥PQ. 连接EQ交C1D1于点R， 易知Rt△RC1Q∽Rt△RD1E， 则C1Q∶D1E＝C1R∶RD1＝1∶2， 故C1R＝. 对于④，当<CQ<1时，由③易知S为五边形． 对于⑤，当CQ＝1时，如图(4)． 同③可过点A作AE∥PQ交线段DD1的延长线于点E，交A1D1于点M，显然点M为线段A1D1的中点，所以S为菱形APQM，其面积为MP·AQ＝××＝. 综上，命题正确的是①②③⑤. 答案　①②③⑤ 15．如图所示，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点．求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)GE，FH，BB1相交于一点． 证明　(1)连接AC，A1C1，如图所示， 因为ABCDA1B1C1D1为正四棱台， 所以A1C1∥AC， 又E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点，所以EF∥A1C1，GH∥AC， 则EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面． (2)因为A1C1≠AC，所以EF≠GH， 所以EFHG为梯形，则EG与FH必相交． 设EG∩FH＝P，因为EG⊂平面AA1B1B， 所以P∈平面AA1B1B， 因为FH⊂平面BB1C1C， 所以P∈平面BB1C1C， 又平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1， 所以P∈BB1， 则GE，FH，B1B相交于一点． 学科网（北京）股份有限公司 $$