11.1.1 空间几何体与斜二测画法(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，不正确的是(　　) A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B．平行四边形的直观图仍是平行四边形 C．两条相交直线的直观图可能是平行直线 D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 解析　平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行． 答案　ACD 2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于(　　) A．45°　　　　　　　　 B．135° C．45°或135° D．90° 解析　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴， 所以在直观图中∠A′等于45°或135°. 答案　C 3．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A′B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A′B′＝4，则△ABC的面积是(　　) A．8　　　　　　　 B．8 C．2 D．2 解析　∵A′B′＝4，O′C′⊥B′C′，O′C′＝B′C′，∴O′C′＝2，则△ABC如图所示，其中AB⊥AC，AB＝4，AC＝4，∴S△ABC＝AB·AC＝8. 答案　B 4．(多选题)如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面四边形OABC有(　　) A．图形为矩形 B．周长为8 C．边OC的长度为2 D．面积为2 解析　把直观图O′A′B′C′还原为原图形OABC，如图所示，所以原图形OABC为平行四边形，故A错误； 根据题意，OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2，AB＝OC＝＝3，平面四边形OABC的周长为3＋3＋1＋1＝8，故B正确，C错误； 所以平行四边形OA1B1C1的面积S＝2×1＝2，故D正确． 答案　BD 5．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图OABC如图，若在直观图中BC＝2 cm，则AB＝________ cm. 解析　根据斜二测画法规则，与x轴平行的线段BC的长度不变，与y轴平行的线段AB的长度是原来的一半，因此AB＝BC＝1. 答案　1 6．如图，水平放置的△ABO的斜二测直观图如图所示，已知A′O′＝3，B′O′＝1，则AB边中线的实际长度为________． 解析　由直观图可还原得到△ABO如图所示， 其中OA＝3，OB＝2，OA⊥OB，∴AB＝＝， ∴AB边中线的实际长度为AB＝. 答案　 7．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是____．(填序号) ①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变； ②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的； ③画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同． 解析　原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变，故①正确； 原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的，故②正确； 画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，故③错误； 在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确． 答案　③ 8．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图． 解析　画法：(1)画x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°； (2)在O′x′轴上取D′，B′，使O′D′＝3，O′B′＝OB，在O′y′轴上取C′，使O′C′＝OC； 在O′x′轴下方过D′作D′A′平行于O′y′，使D′A′＝1； (3)连线，连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为水平放置的四边形OABC的直观图，如图． [关键能力·综合提升] 9．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为(　　) A． B．3 C．3 D． 解析　设y′轴与A′B′交点为D，因为O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，则O′C′∥A′B′，又B′C′∥y′轴，则四边形O′DB′C′为平行四边形，故DB′＝O′C′＝1.又∠x′O′y′＝45°，结合A′B′⊥x′轴，则DA′＝O′A′＝1，故A′B′＝2. 则四边形A′B′C′O′面积为××1＝，因为四边形A′B′C′O′的面积是四边形OABC的面积的倍，则四边形OABC的面积为3. 答案　B 10．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 解析　设△AOB的边OB上的高为h， 因为S原图形＝2S直观图， 所以×BO×h＝2××2·O′B′. 又OB＝O′B′，所以h＝4. 答案　D 11．已知正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　) A．6 cm B．8 cm C．(2＋3) cm D．(2＋2) cm 解析　如图建立平面直角坐标系，在x轴上取点A，使OA＝1 cm，在y轴上取点B，使得OB＝2 cm，过B作x轴的平行线BC，使BC＝1 cm，连接AB，CO，则四边形OABC就是正方形O′A′B′C′的原图形，其周长为 2×[1＋ ]＝8(cm)． 答案　B 12．如图所示，是水平放置的三角形的斜二测直观图，D′是△A′B′C′的边B′C′的中点，那么在原图中，三条线段AB，AD，AC长的大小关系是________． 解析　由题意可得原图如图所示，可知∠ABC＝90°， 在△ABD中，可知AB为直角边，AD为斜边，则AD>AB； 在△ACD中，可知∠ADC为钝角，则AC>AD； 所以AC>AD>AB. 答案　AC>AD>AB 13．如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积． 解析　画x′轴与y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝BD＝6 cm，故△A′B′C′的高为B′D′＝3 cm，所以S△A′B′C′＝×12×3＝18 cm2.即△ABC水平放置的直观图的面积为18 cm2. [核心价值·探索创新] 14．如图所示，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B′C′＝2，那么(　　) A．AD>AC B．S△ABC＝4 C．S△A′B′C′＝2 D．∠ABC＝ 解析　根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示． 其中AD⊥BC，AD＝2A′D′＝4，BC＝B′C′＝2， 因为△ADC是直角三角形，AD＜AC，选项A错误； 原平面图形的面积为S△ABC＝BC·AD＝×2×4＝4，选项B正确； S△A′B′C′＝S△ABC＝×4＝，选项C错误； Rt△ABD中，AD＝4BD，且AD⊥BD，tan ∠ABC＝4>1，所以∠ABC>，选项D错误． 答案　B 15．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是直角梯形(如图所示)，其中∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元(精确到1元)? 解析　在直观图中，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E，则在Rt△A′EB′中，A′B′＝1 m，∠A′B′E＝45°， ∴B′E＝ m， 又四边形A′EC′D′为矩形，A′D′＝1 m， ∴EC′＝1 m， ∴B′C′＝B′E＋EC′＝ m， 由此可还原图形，如图所示． 在梯形ABCD中， AD＝1 m，AB＝2 m，BC＝m， 且AD∥BC，AB⊥BC， ∴这块菜地的面积为S＝(AD＋BC)·AB ＝××2＝ m2， ∴这块菜地所产生的总经济效益 L＝300S＝300×≈812元. 学科网（北京）股份有限公司 $$