10.2.1 复数的加法与减法(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若复数z满足z＋3－2i＝4＋i，则z＝(　　) A．－1－3i　　　　　　 B．1＋3i C．1＋i D．－1－i 解析　因为z＋3－2i＝4＋i，所以z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i. 答案　B 2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为z1＝2＋i，z2＝1－2i， 所以z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 所以复数z在复平面内对应的点为(－1，－3)，位于第三象限． 答案　C 3．已知3－2z＝2－5i，则z＝(　　 ) A．2－i B．2＋i C．－2－i D．－2＋i 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.由3(a－bi)－2(a＋bi)＝2－5i得a－5bi＝2－5i， 则所以a＝2，b＝1，所以z＝2＋i. 答案　B 4．如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么(　　 ) A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 解析　由题图可知，＋＝0，∴＋－＝0，∴z1＋z2－z3＝0. 答案　D 5．已知复数z满足|z|＝1，则|z－2i|的取值范围为________． 解析　|z|＝1表示z对应的点是单位圆上的点．|z－2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0,2)之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以|z－2i|的取值范围为[1,3]． 答案　[1,3] 6．若复数z满足3z＋＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝________. 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 因为3z＋＝1＋i，所以3(a＋bi)＋a－bi＝1＋i， 即4a＋2bi＝1＋i，所以即 所以z＝＋i. 答案　＋i 7．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. 解析　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i， 由z1＋z2＝＋i，得由|z1|＝|z2|＝2，得a2＋b2＝c2＋d2＝4， 所以(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2(ac＋bd)＝8＋2(ac＋bd)＝4，解得ac＋bd＝－2， 所以|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i| ＝ ＝ ＝＝2. 答案　2 8．计算： (1)＋； (2)(3＋2i)＋(－2)i； (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|； (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解析　(1)原式＝－i＝－i. (2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i. (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i. (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. [关键能力·综合提升] 9．已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 解析　向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)， 由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 答案　B 10．(多选题)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的值可以为(　　) A．2 B．4 C．4 D．16 解析　由|z－4i|＝|z＋2|， 得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|， 所以x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3， ∴2x＋4y＝2x＋22y≥2·＝2＝4， 当且仅当x＝2y＝时取到最小值4. 答案　CD 11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝________. 解析　依题意可得＝(2,1)，＝(－1,1)，所以z1＝2＋i，z2＝－1＋i， 所以z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋i)＝1＋2i， 所以|z1＋z2|＝＝. 答案　 12．复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为______，最小值为______． 解析　|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i| ＝＝ ＝， 当sin 2θ＝－1时，|z1－z2|取得最大值， 当sin 2θ＝1时，|z1－z2|取得最小值2. 答案　　2 13．设z∈C，满足z＋∈R，且z－是纯虚数，求z. 解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z＋＝x＋yi＋ ＝x＋＋i. ∵z＋∈R，∴y－＝0， 解得y＝0或x2＋y2＝1. 又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数， ∴∴x＝，代入x2＋y2＝1中， 解得y＝±，∴复数z＝±i. [核心价值·探索创新] 14．(多选题)已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论正确的是(　　) A．P1点在复平面内的坐标为(2，－2) B.1＝2＋2i C．|z2－z1|的最大值为＋1 D．|z2－z1|的最小值为－1 解析　由题得，复数z1＝2－2i在复平面内对应的点为P1(2，－2)，故A正确； 因为复数z1＝2－2i，所以复数＝2＋2i，故B正确； 设z2＝x＋yi(x，y∈R)，且其在复平面内对应的点为P2，则|z2－i|＝|x＋(y－1)i|＝＝1，即x2＋(y－1)2＝1，所以复数z2在复平面内对应的点P2在圆x2＋(y－1)2＝1上，其圆心为C(0,1)，半径r＝1，|z2－z1|表示的是复数z1和z2在复平面内对应的两点之间的距离，即|P1P2|. 而|P1P2|的最大值是|P1C|＋r＝＋1＝＋1，|P1P2|的最小值是|P1C|－r＝－1，即|z2－z1|的最大值为＋1，最小值为－1，故C正确，D错误． 答案　ABC 15．已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi，a∈R，b∈R，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析　因为z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i， 由|z－i|＝|z＋2－i|，可得＝， 解得a＝－1，则z＝－1＋bi， 所以，z－3＋i＝－4＋(b＋)i， 因此，|z－3＋i|＝≥4， 当且仅当b＝－时，等号成立， 故|z－3＋i|的最小值为4. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $$