第9章 解三角形 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C．2 D．3 解析　△ABC中，根据余弦定理可得 5＝b2＋4－2·b·2×，整理得3b2－8b－3＝0， 解得b＝3或b＝－(舍去)，∴b＝3. 答案　D 2．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　) A．3∶2∶1 B．∶∶1 C．∶2∶1 D．2∶∶1 解析　由三角形内角和定理，得三个内角的度数分别为A＝90°，B＝60°，C＝30°，利用正弦定理的变形，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶∶1. 答案　D 3．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　) A．4 B．1 C． D． 解析　由正弦定理得＝， 由余弦定理得cos A＝， ∵a＝4，b＝5，c＝6， ∴＝＝2··cos A ＝2··＝2××＝1. 故选B. 答案　B 4．在△ABC中，若A＝，BC＝，AB＝，则角C＝(　　) A． B． C． D．或 解析　因为在△ABC中， 若A＝，BC＝，AB＝， 所以由正弦定理得＝， 即＝， 解得sin C＝，因为A＝，所以0<C<， 所以C＝，故选A． 答案　A 5．如图所示，河边有一座塔OP，其高为20 m，河对面岸上有A，B两点与塔底O在同一水平面上，在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，在塔底部O处测得A，B两点形成的视角为150°，则A，B两点之间的距离为(　　) A．10 m B．10 m C．20 m D．10 m 解析　因为在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，所以在直角三角形PAO中，∠PAO＝45°，可得AO＝PO＝20 m， 在直角三角形PBO中，∠PBO＝30°，可得BO＝＝20 m， 在△AOB中，由题知∠AOB＝150°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos ∠AOB＝400＋1 200－2×20×20×＝2 800，得到AB＝20 m. 答案　C 6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析　设△ABC的外接圆半径为R， 根据正弦定理＝＝＝2R， 得＝＝， 即a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝，故B＝. 答案　C 7．(2024·全国甲卷·理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac， 即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝ sin Asin C＝， 所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝， 因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0，则sin A＋sin C＝. 答案　C 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin A，且B>，则sin A＋sin C的最大值是(　　) A． B． C．1 D． 解析　因为＝＝， 所以sin B＝cos A＝sin， 因为B>，所以B＝＋A， 所以sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B) ＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A ＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋， 所以当sin A＝时，sin A＋sin C取最大值. 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sinsin＋sin2B，则角A的值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为sin2A＝sinsin＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝， 所以sin A＝或－(舍去)． 所以角A的值为或. 答案　AB 10．在△ABC中，已知A，a，b，则下列说法正确的为(　　) A．若A≥90°，则此三角形最多有一解 B．若A<90°，且a＝bsin A，则此三角形为直角三角形，且B＝90° C．当A<90°，且bsin A<a≤b时，此三角形有两解 D．当A<90°时，若b＝asin A，则此三角形有一解 解析　由A≥90°，知B为锐角， 则此三角形最多有一解，故A正确； 若A<90°，且a＝bsin A， 则sin B＝1，即B＝90°， 此三角形为直角三角形，故B正确； 当A<90°，且a＝b时，A＝B，此三角形为等腰三角形，只有一解，故C说法错误； 当A<90°时，若b＝asin A，则b<a， 所以B为锐角，所以有唯一解，故D正确． 答案　ABD 11．(2024·河南新乡高一期中)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且△ABC的外接圆半径为R，a＝，bsin(B＋C)＝Rasin B，则(　　) A．A＝ B．A＝ C．R＝1 D．△ABC面积的最大值为 解析　在锐角三角形△ABC中，由正弦定理可得asin B＝bsin A，又sin A＝sin(B＋C)，所以asin B＝bsin(B＋C)， 又bsin(B＋C)＝Rasin B，所以R＝1，故C正确．因为a＝2Rsin A，所以sin A＝＝，因为△ABC是锐角三角形，所以A＝，故A错误，B正确．由余弦定理得cos A＝＝＝，所以b2＋c2＝3＋bc， 又b2＋c2≥2bc，所以3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c时，等号成立， 所以S△ABC＝bcsin A＝bc×＝bc≤，则△ABC面积的最大值为，故D错误． 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在△ABC中，已知∠A＝45°，a＝2，b＝，那么∠B＝________. 解析　∵＝， ∴sin B＝＝＝. 又a>b，∴∠A>∠B，即∠B为锐角， ∴∠B＝30°. 答案　30° 13．(2024·广东广州高一期中)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A＝________. 解析　在△ABC中，由(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝，而0<A<π，所以A＝. 答案　 14．(2024·山东德州高一期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2sin A＝6sin C，(a＋c)2＝18＋b2，则△ABC的面积为________． 解析　因为c2sin A＝6sin C，由正弦定理可得ac2＝6c，即ac＝6， 又(a＋c)2＝18＋b2，所以a2＋c2－b2＝18－2ac＝6， 由cos B＝＝，得sin B＝， 所以S△ABC＝acsin B＝. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，求a，b及cos B． 解析　因为A＝30°，C＝45°，c＝， 所以由正弦定理，得a＝＝＝1. 又B＝180°－(30°＋45°)＝105°， 所以cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝， b＝＝＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)＝. 16．(15分)(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． 解析　(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1. (2)由正弦定理可得－＝－ ＝－＝＝1， 变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sin B，即－2cos Asin B＝sin B， 而0<sin B≤1，所以cos A＝－，又0<A<π，所以sin A＝， 故△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×1×＝. 17．(15分)一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C． (1)求AC的长． (2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小． 解析　(1)由题意，在△ABC中， ∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°， AB＝2－2，BC＝4， 根据余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC ＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24， 所以AC＝2. (2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝， 所以∠CAB＝45°. 18．(17分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 解析　(1)解法一　常规方法(辅助角公式) 由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin＝1， 又A∈(0，π)，则A＋∈，故A＋＝，解得A＝. 解法二　常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得 4cos2A－4cos A＋3＝0，即(2cos A－)2＝0，解得cos A＝， 又A∈(0，π)，故A＝. 解法三　利用向量数量积公式 设a＝(1，)，b＝(sin A，cos A)，由题意，a·b＝sin A＋cos A＝2， 根据向量的数量积公式，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2cos〈a，b〉， 则2cos〈a，b〉＝2，即cos〈a，b〉＝1，此时〈a，b〉＝0，即a，b同向共线， 根据向量共线条件，1·cos A＝·sin A，即tan A＝， 又A∈(0，π)，故A＝. 解法四　利用万能公式求解 设t＝tan ，根据万能公式，sin A＋cos A＝2＝＋， 整理可得，t2－2(2－)t＋(2－)2＝0＝[t－(2－)]2， 解得tan＝t＝2－，根据二倍角公式，tan A＝＝， 又A∈(0，π)，故A＝. (2)由题设条件和正弦定理得 bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin C·sin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理可得，＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 19．(17分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求角A； (2)若△ABC为锐角三角形，求cos B＋cos C的取值范围． 解析　(1)由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0， 因为sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 故sin A－cos A＝1，即2sin ＝1，sin ＝， 因为A∈(0，π)，所以A－∈， 故A－＝，解得A＝. (2)cos B＝－cos (A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝sin C－cos C， 故cos B＋cos C＝sin C＋cos C＝sin ， 因为△ABC为锐角三角形，所以C∈，且B∈， 因为B＝π－－C＝－C， 即－C∈，解得C∈， 所以C∈，C＋∈，sin ∈， 故cos B＋cos C＝sin ∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$