第9章 解三角形 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．2  D．3

解析　△ABC中，根据余弦定理可得

5＝b2＋4－2·b·2×，整理得3b2－8b－3＝0，

解得b＝3或b＝－(舍去)，∴b＝3.

答案　D

2．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　)

A．3∶2∶1  B．∶∶1

C．∶2∶1  D．2∶∶1

解析　由三角形内角和定理，得三个内角的度数分别为A＝90°，B＝60°，C＝30°，利用正弦定理的变形，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶∶1.

答案　D

3．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　)

A．4  B．1

C．  D．

解析　由正弦定理得＝，

由余弦定理得cos A＝，

∵a＝4，b＝5，c＝6，

∴＝＝2··cos A

＝2··＝2××＝1.

故选B.

答案　B

4．在△ABC中，若A＝，BC＝，AB＝，则角C＝(　　)

A．  B．

C．  D．或

解析　因为在△ABC中，

若A＝，BC＝，AB＝，

所以由正弦定理得＝，

即＝，

解得sin C＝，因为A＝，所以0<C<，

所以C＝，故选A．

答案　A

5．如图所示，河边有一座塔OP，其高为20 m，河对面岸上有A，B两点与塔底O在同一水平面上，在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，在塔底部O处测得A，B两点形成的视角为150°，则A，B两点之间的距离为(　　)

A．10 m  B．10 m

C．20 m  D．10 m

解析　因为在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，所以在直角三角形PAO

中，∠PAO＝45°，可得AO＝PO＝20 m，

在直角三角形PBO中，∠PBO＝30°，可得BO＝＝20 m，

在△AOB中，由题知∠AOB＝150°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos ∠AOB＝400＋1 200－2×20×20×＝2 800，得到AB＝20 m.

答案　C

6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)

A．  B．

C．  D．

解析　设△ABC的外接圆半径为R，

根据正弦定理＝＝＝2R，

得＝＝，

即a2＋c2－b2＝ac，

所以cos B＝＝，故B＝.

答案　C

7．(2024·全国甲卷·理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)

A．  B．

C．  D．

解析　因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝.

由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，