第9章 阶段测评(1) 正弦定理、余弦定理的综合应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

阶段测评(一)　正弦定理、余弦定理的综合应用

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．(2024·山东泰安高一期中)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，A＝，则B＝(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．  D．或

解析　由题意在△ABC中，由正弦定理，得＝，

即＝，所以sin B＝，因为B∈(0，π)，

所以B＝或，又因为a>b，A＝，所以B≠，所以B＝.

答案　B

2．(2024·重庆高二期中)已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对边的长，其中a＝2，B＝60°，S△ABC＝2，则△ABC的周长为(　　)

A．6  B．8

C．6＋  D．6＋2

解析　因为S△ABC＝acsin B，a＝2，B＝60°，S△ABC＝2，所以c＝4，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋16－2×2×4×cos 60°＝12，所以b＝2，

故△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋2.

答案　D

3．(2024·甘肃天水高一期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos B＝c－2a，b＝2a，则(　　)

A．2a＝3c  B．3a＝2c

C．b＝2c  D．2b＝c

解析　由2acos B＝c－2a得2a·＝c－2a，即a2－b2＝－2ac，

由于b＝2a，所以a2－4a2＝－2ac，故3a＝2c.

答案　B

4．(2024·安徽宿州高一期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若满足

2acos B＝c，则该三角形为(　　)

A．直角三角形  B．等腰三角形

C．等边三角形  D．不能确定

解析　在△ABC中，已知2acos B＝c，

由正弦定理得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，

所以sin Acos B－sin Bcos A＝0，即sin(A－B)＝0，

又0<A<π，0<B<π，则－π<A－B<π，则A－B＝0，

所以A＝B，所以该三角形为等腰三角形．

答案　B

5．如图，在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,2AD＝3BD，则cos A等于(　　)

A．  B．

C．  D．0

解析　因为CD为角C的平分线，所以＝，

因为2AD＝3BD，所以＝，所以不妨设AC＝3x，BC＝2x，

因为在△ABC中，＝，B＝2A，所以＝，即＝，

因为在△ABC中，sin A≠0，x≠0，

所以由＝，可得＝2，

所以cos A＝.

答案　C

6．(2024·山西运城高一月考)如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20 km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB＝60°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°∠ADB＝60°，则A，B两个基站的距离为(　　)

A．10 km  B．30(－1)km

C．15 km  D．10 km

解析　在△ACD中，∠CAD＝180°－105°－30°＝45°，

由正弦定理得＝，

AD＝

＝

＝10(＋1)，

在△BCD中，易知∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，

所以∠CBD＝45°，所以BD＝CD＝20，

由余弦定理得AB＝＝＝10.

答案　A

7．(多选题)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则下列叙述正确的是(　　)

A．若＝，则△ABC为等腰三角形

B．若A>B，则sin A>sin B

C．若·<0，则△ABC为钝角三角形

D．若a＝bsin C＋ccos B，则C＝

解析　由＝得＝⇒sin 2B＝sin 2A⇒2A＝2B＋2kπ，或2A＋2B＝π＋2kπ，k∈Z，由于在三角形中，所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或者为直角三角形，故A错误，

由A>B，得a>b，由正弦定理得sin A>sin B，故B正确，

若·<0 ，则·cos <0⇒cos B>0，因此B为锐角，故无法确定△ABC为钝角三角形，故C错误，