第9章 阶段测评(1) 正弦定理、余弦定理的综合应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

阶段测评(一)　正弦定理、余弦定理的综合应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．(2024·山东泰安高一期中)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，A＝，则B＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D．或 解析　由题意在△ABC中，由正弦定理，得＝， 即＝，所以sin B＝，因为B∈(0，π)， 所以B＝或，又因为a>b，A＝，所以B≠，所以B＝. 答案　B 2．(2024·重庆高二期中)已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对边的长，其中a＝2，B＝60°，S△ABC＝2，则△ABC的周长为(　　) A．6 B．8 C．6＋ D．6＋2 解析　因为S△ABC＝acsin B，a＝2，B＝60°，S△ABC＝2，所以c＝4， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋16－2×2×4×cos 60°＝12，所以b＝2， 故△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋2. 答案　D 3．(2024·甘肃天水高一期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos B＝c－2a，b＝2a，则(　　) A．2a＝3c B．3a＝2c C．b＝2c D．2b＝c 解析　由2acos B＝c－2a得2a·＝c－2a，即a2－b2＝－2ac， 由于b＝2a，所以a2－4a2＝－2ac，故3a＝2c. 答案　B 4．(2024·安徽宿州高一期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若满足2acos B＝c，则该三角形为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 解析　在△ABC中，已知2acos B＝c， 由正弦定理得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A， 所以sin Acos B－sin Bcos A＝0，即sin(A－B)＝0， 又0<A<π，0<B<π，则－π<A－B<π，则A－B＝0， 所以A＝B，所以该三角形为等腰三角形． 答案　B 5．如图，在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,2AD＝3BD，则cos A等于(　　) A． B． C． D．0 解析　因为CD为角C的平分线，所以＝， 因为2AD＝3BD，所以＝，所以不妨设AC＝3x，BC＝2x， 因为在△ABC中，＝，B＝2A，所以＝，即＝， 因为在△ABC中，sin A≠0，x≠0， 所以由＝，可得＝2， 所以cos A＝. 答案　C 6．(2024·山西运城高一月考)如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20 km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB＝60°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°∠ADB＝60°，则A，B两个基站的距离为(　　) A．10 km B．30(－1)km C．15 km D．10 km 解析　在△ACD中，∠CAD＝180°－105°－30°＝45°， 由正弦定理得＝， AD＝ ＝ ＝10(＋1)， 在△BCD中，易知∠BCD＝45°，∠BDC＝90°， 所以∠CBD＝45°，所以BD＝CD＝20， 由余弦定理得AB＝＝＝10. 答案　A 7．(多选题)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则下列叙述正确的是(　　) A．若＝，则△ABC为等腰三角形 B．若A>B，则sin A>sin B C．若·<0，则△ABC为钝角三角形 D．若a＝bsin C＋ccos B，则C＝ 解析　由＝得＝⇒sin 2B＝sin 2A⇒2A＝2B＋2kπ，或2A＋2B＝π＋2kπ，k∈Z，由于在三角形中，所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或者为直角三角形，故A错误， 由A>B，得a>b，由正弦定理得sin A>sin B，故B正确， 若·<0 ，则·cos <0⇒cos B>0，因此B为锐角，故无法确定△ABC为钝角三角形，故C错误， 由a＝bsin C＋ccos B得sin A＝sin Bsin C＋sin Ccos B，进而可得sin (B＋C)＝sin Bsin C＋sin Ccos B⇒sin Bcos C＝sin Bsin C，由于sin B≠0， 所以cos C＝sin C⇒tan C＝1，由于C∈，所以C＝，故D正确， 故选BD. 答案　BD 8．(多选题)△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，b2＝a2＋ac，则(　　) A．若B＝，则A＝ B．若A＝，a＝2，则△ABC的面积为2 C．若A＝，a＝2，则角B角平分线BD＝ D．若△ABC为锐角三角形，a＝2，则边长b∈(2，2) 解析　根据题意由b2＝a2＋ac，结合余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得， ac＝c2－2accos B，又因为c≠0， 所以a＝c－2acos B； 利用正弦定理可得sin A＝sin C－2sin Acos B， 再由sin C＝sin 可得， sin A＝sin －2sin Acos B， 即sin A＝sin Acos B＋cos Asin B－2sin Acos B， 所以sin A＝sin ； 又A，B∈，所以A＝B－A，即B＝2A； 对于A，若B＝，则A＝＝，故A正确； 对于B，若A＝，a＝2，则B＝2A＝， 由a＝c－2acos B可得c＝4， 所以△ABC的面积为S△ABC＝acsin B＝2，即B正确； 对于C，如右图所示． 由等面积可知 S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， 由选项B可得c＝4，B＝，所以∠ABD＝∠CBD＝， 即S△ABC＝c·BD·sin ＋a·BD·sin ＝2，解得BD＝，所以C错误； 对于D，若△ABC为锐角三角形，a＝2，则可得 c＝a＋2acos B＝2＋4cos B， 且即 解得B∈，所以cos B∈. 又b2＝a2＋ac＝8＋8cos B，所以b2∈(8,12)，因此b∈，即D正确． 答案　ABD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________． 解析　由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B， 又b＝6，a＝2c，B＝， 则36＝4c2＋c2－4c2×，解得c2＝， 所以S△ABC＝acsin B＝c2×＝. 答案　 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，a＝7，b＝3，则角A的角平分线AD＝________. 解析　由正弦定理得＝，∴sin B＝sin ＝，∵A＝，∴B，C都是锐角， cos B＝，sin C＝sin ＝sin cos B－cos sin B＝， sin ∠ADC＝sin (B＋∠DAB)＝sin ＝， 在△ADC中，由正弦定理得＝，∴AD＝AC·＝. 答案　 11.如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上取一基线AB，AB＝20 m，在A处测得点P的仰角∠OAP＝30°，在B处测得点P的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高度是________ m. 解析　设OP＝h， 在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，则OA＝h， 在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，则OB＝h， 在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB， 即400＝3h2＋h2－2×h×h×＝h2， 解得h＝20， 即旗杆的高度是20 m. 答案　20 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若△ABC的面积S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则的取值范围是________． 解析　由S△ABC＝(a2＋b2－c2)， ∴absin C＝(a2＋b2－c2)， 又c2＝a2＋b2－2abcos C， 所以absin C＝·2abcos C， 所以tan C＝，又0<C<π，所以C＝， 由正弦定理可得，＝＝＝， 因为0<A<，所以<A＋<， 所以sin ∈， 所以＝∈. 答案　 三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 13．(8分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的周长为6，sin A＋sin B－sin C＝. (1)求角C的大小； (2)若D是边AB的中点，且CD＝，求△ABC的面积． 解析　(1)因为sin A＋sin B－sin C＝，由正弦定理可得a＋b－c＝， 又由a＋b＋c＝6，可得 (a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab， 整理得a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝， 又因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为D是边AB的中点， 所以2＝＋. 即42＝2＝2＋2·＋2＝b2＋a2＋ab＝4×()2＝12， 又a＋b＋c＝6，a2＋b2－c2＝ab， 解得a＝b＝c＝2. 所以△ABC的面积S＝absin C＝. 14．(10分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝(sin A－sin C)sin C． (1)求角B的大小； (2)若BC边上的高为b－2c，求sin C． 解析　(1)由题意可得 sin2A－sin2B＝sin Asin C－sin2C， 根据正弦定理可得a2－b2＝ac－c2， 所以＝， 又根据余弦定理可得cos B＝＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为S△ABC＝a(b－2c)＝acsin B， 即b＝c， 由正弦定理可得sin B＝sin C， 所以sin C＝sin B＝. 15．(10分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝. (1)求角A； (2)若3c＝3b＋a，证明：c＝2b. (1)解析　由题意＝， 由正弦定理可得＝， 即(a－b)(a＋b)＝c(c－b)，∴c2＋b2－a2＝bc， 故cos A＝＝ ， 而A∈(0，π)，故A＝. (2)证明　因为3c＝3b＋a，由正弦定理可得3sin C＝3sin B＋sin A， 即3sin －3sin B＝sin ＝， 所以cos B－sin B＝， 即cos B－sin B＝1，∴sin ＝， 因为B∈(0，π)，∴－B∈， 则－B＝，∴B＝， 故C＝π－－＝， 故在Rt△ABC中，b＝c，∴c＝2b. 16．(12分)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A－sin 2B－sin 2C＝sin Bsin C． (1)求角A； (2)若a＝6，求△ABC周长的取值范围． 解析　(1)由正弦定理可得a2－b2－c2＝bc， ∴cos A＝＝－， ∵A∈，∴A＝. (2)因为A＋B＋C＝π，A＝，所以B＋C＝，故C＝－B. 由正弦定理得＝＝＝＝4， 所以b＝4sin B， c＝4sin C＝4sin ＝4. 所以△ABC周长为a＋b＋c＝6＋4sin B＋4＝6＋4sin ， 因为0<B<，则<B＋<， 所以<sin ≤1， 故12<6＋4sin ≤6＋4. 故△ABC周长的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$