9.1.2 余弦定理(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则A等于(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析　由余弦定理，得 cos A＝＝＝－，所以A＝120°. 答案　C 2．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则角C不可能为(　　) A．90° B．30° C．75° D．120° 解析　因为c<a＋b， 所以由余弦定理得cos C＝>0， 所以C是锐角． 又因为a<b<c，所以C为最大的角， 所以C＞60°.故选A，B，D. 答案　ABD 3．(2024·江苏盐城高一期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝3∶4∶6，则cos A的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　a∶b∶c＝3∶4∶6，不妨设a＝3k，b＝4k，c＝6k，k>0，由余弦定理cos A＝＝＝. 答案　C 4．(2024·广东惠州高一月考)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝ab，则∠C＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　在△ABC中，由(a＋b)2－c2＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝－，而0°<C<180°，所以C＝120°. 答案　C 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为________． 解析　由A＝，b＝1，△ABC的面积为， 得bc sin A＝c＝，所以c＝2， 则a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋4－2×1×2×＝3， 所以a＝. 答案　 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin C＝2sin A，b＝a，则B＝________. 解析　由题设及正弦定理边角关系可得c＝2a，而b＝a， 又cos B＝＝＝， 又0<B<π，所以B＝. 答案　 7．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(acos B－bcos A)＝2b2，则＝________. 解析　∵c＝2b2，∴由余弦定理可得ac·－bc·＝2b2，即a2＋c2－b2－b2－c2＋a2＝4b2，即a2＝3b2， 则a＝b，∴＝. 再利用正弦定理可得＝. 答案　 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c. (1)若sin 2B＝sin B，求∠B； (2)若a＝2bcos C，试判断△ABC的形状． 解析　(1)由sin 2B＝2sin Bcos B＝sin B， 而sin B>0，故cos B＝， 又B∈(0，π)，故B＝. (2)a＝2bcos C＝2b×＝， 故b2－c2＝0，即b＝c， 所以△ABC是等腰三角形． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知∶∶＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶3 B．sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4 C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形 解析　设a＋b＝5k，b＋c＝6k，a＋c＝7k，解得a＝3k，b＝2k，c＝4k，故sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4，故A错误，B正确．∵c>a>b，∴C为最大内角，cos C＝＝＝－<0，∴C为钝角，故C错误，D正确． 答案　BD 10．(多选题)(2024·福建福州高一期中)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝，·＝－2，且满足sin A＋sin C＝2sin B，则下列说法正确的是(　　) A．ac＝4 B．b＝2 C．a＋c＝8 D．它的外接圆半径为 解析　由B＝，·＝||·||cos(π－B)＝－2，可得ac＝4，故A正确；由正弦定理和sin A＋sin C＝2sin B，可得a＋c＝2b， 由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac＝4b2－3ac＝4b2－12， 解得b＝2，a＋c＝4，故B正确，C错误；由正弦定理，可得外接圆直径为2R＝＝，解得R＝，故D正确． 答案　ABD 11．(多选题)(2024·山东烟台高一期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则(　　) A．sin2A－sin2B＝sin Bsin C B．c＝b(1＋2cos A) C．A＝2B D．△ABC不可能为锐角三角形 解析　因为a2＝b2＋bc，由正弦定理，可得sin2A＝sin2B＋sin Bsin C，即A正确； 又由a2＝b2＋bc＝b2＋c2－2bccos A，可得b＝c－2bcos A，即c＝b(1＋2cos A)，所以B正确；由b＝c－2bcos A可得sin B＝sin(A＋B)－2sin Bcos A＝sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A－B)，所以A＝2B或B＋A－B＝π(舍)，故C正确；由以上推导可知，A＝2B⇔a2＝b2＋bc，所以△ABC可能为锐角三角形，如：A＝80°，B＝40°，C＝60°，所以D错误；故选ABC． 答案　ABC 12．(2024·河南郑州高一期中)已知△ABC三边上的高分别为hA，hB，hC，且hA∶hB∶hC＝4∶5∶6，则此三角形最大角的余弦值为________． 解析　因为△ABC的面积S＝ahA＝bhB＝chC，则a∶b＝5∶4，b∶c＝6∶5，故a∶b∶c＝15∶12∶10， 显然角A为最大角，不妨设c＝10k(k>0)，则a＝15k，b＝12k， 由余弦定理得，cos A＝＝＝. 答案　 13．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解析　(1)由余弦定理可得 BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7，则BC＝，cos B＝＝＝，sin B＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC＝××2×1×sin120°＝. [核心价值·探索创新] 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＋＝，则＝(　　) A．2 024 B．2 025 C．4 050 D．4 051 解析　在△ABC中，由＋＝得2 025×＝， 即2 025×＝， 故2 025×＝， 即2 025×＝， 所以2 025×＝cos C， 所以2 025×＝， 即4 051c2＝a2＋b2， 故＝4 051，故选D. 答案　D 15．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析　(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， ∴sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理＝， 可得b＝＝2， 设AB边上的高为h， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$