9.1.1 正弦定理(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)已知△ABC满足a>b，则下列结论正确的是(　　) A．A>B　　　　　　　 B．sin A>sin B C．cos A<cos B D．sin 2A>sin 2B 解析　由大边对大角可知A>B，所以A正确； 由正弦定理知sin A>sin B，所以B正确； 由A>B，且y＝cos x在(0，π)单调递减， 可知cos A<cos B，所以C正确； 当A＝90°，B＝30°时，a>b， 此时sin 2A<sin 2B，所以D错误． 答案　ABC 2．(2024·重庆高一期中)在△ABC中，已知B＝45°，C＝75°，a＝，则b＝(　　) A．2 B．2 C． D．－ 解析　由B＝45°，C＝75°，得A＝180°－B－C＝60°， 又a＝，由正弦定理，得＝，所以b＝＝＝. 答案　C 3．(2024·甘肃天水高一期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝，A＝60°，则B＝(　　) A．30° B．30°或150° C．45° D．45°或135° 解析　由正弦定理可得sin B＝sin A＝sin 60°＝×＝， 由a＝4，b＝，可得a>b，则A＝60°>B，又sin B＝，则B＝45°. 答案　C 4．(2024·安徽合肥高一期中)△ABC中，sin2A＋sin2C＝sin2B，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析　sin2A＋sin2C＝sin2B，由正弦定理得＋＝，即a2＋c2＝b2， 所以△ABC为直角三角形． 答案　B 5．(2024·安徽合肥高一月考)在△ABC中，a＝，A＝60°，B＝75°，则△ABC中最小的边长为________． 解析　因为a＝，A＝60°，B＝75°，所以C＝45°是最小的角，所以△ABC中最小的边长为c，由正弦定理有＝，即＝，解得c＝. 答案　 6．(2024·广东广州高一期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，A＝135°，则的值为________． 解析　由正弦定理＝＝＝＝， 所以b＝sin B，c＝sin C，则＝＝. 答案　 7．在△ABC中，b2＝4a2sin2B，则A＝________. 解析　因为b2＝4a2sin2B， 所以sin2B＝4sin2Asin2B， 在△ABC中，由0<B<π，所以sin B>0， 所以1＝4sin 2A，所以sin A＝， 又0<A<π，所以A＝或. 答案　或 8．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，则解三角形． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2，b＝6，A＝30°. 解析　(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10>10， ∴a<bsin A，∴本题无解． (2)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，∴a>bsin A， 即bsin A<a<b，∴本题有两解． 由正弦定理得sin B＝＝＝， 又∵0°<B<150°， ∴B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2. ∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝2. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝(　　) A．30° B．150° C．60° D．120° 解析　由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝. 又b＞a,0°＜B＜180°， 所以B＝60°或B＝120°.故选CD. 答案　CD 10．(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．＝ B．若acos B＝bcos A，则a＝b C．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则sin B>cos C 解析　由正弦定理可知＝＝2R＝，A正确； 因为acos B＝b cos A，所以sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin (A－B)＝0，易知A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b，B正确； 因为sin 2A＝sin 2B,2A∈(0,2π)，2B∈(0,2π)，且A＋B<π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 因为△ABC为锐角三角形，所以B＋C>，即>B>－C>0，所以sin B>sin ＝cos C，D正确． 答案　ABD 11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，且B∈，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析　∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ， ∴＝sin B＝. ∵B∈，∴B＝. 由正弦定理，得＝＝， ∴sin C＝sin A＝sin ＝，化简得cos C＝0. ∵C∈(0，π)，∴C＝，则A＝π－B－C＝， ∴△ABC是等腰直角三角形．故选C． 答案　C 12．在△ABC中，AB＝，AC＝1，A＝30°，则△ABC的面积为________． 解析　根据三角形面积公式，得 S△ABC＝AB·AC·sin A＝××1×＝，故所求△ABC的面积为. 答案　 13．在△ABC中，已知acos ＝bcos －B，试判断△ABC的形状． 解析　解法一　 ∵acos ＝bcos ， ∴asin A＝bsin B． 由正弦定理，可得a·＝b·，∴a2＝b2， ∴a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 解法二　∵acos ＝bcos ， ∴asin A＝bsin B． 由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B， 又∵A，B∈(0，π)，∴sin A＝sin B， ∴A＝B(A＋B＝π不符合题意，舍去)． 故△ABC为等腰三角形． [核心价值·探索创新] 14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 整理得sin C(sin A＋cos A)＝0. 因为sin C≠0， 所以sin A＋cos A＝0， 所以tan A＝－1. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 由正弦定理得sin C＝＝＝， 又0<C<，所以C＝. 答案　B 15．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，求的取值范围． 解析　由于△ABC为锐角三角形， 则A，B，C∈， 即所以<B<. 由正弦定理得＝＝＝2cos B∈(，)． 故的取值范围是(，). 学科网（北京）股份有限公司 $$