【解题卡】利用正方形的性质求解或证明-苏科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

窗学科网·股子学 www.z××k.C0m 让学习更离效 利用正方形的性质求解或证明 q口方法提炼 题型特征 已知正方形，求角度或边长 核心考点 正方形的性质、全等三角形的判定性质、等边对等角、45°角的应用 图示 ①依据性质转化边长：根据正方形的性质和已知条件转化相等的边 解题方法 ②利用45转化角度：根据45°角结合等腰三角形纳角和求出相关角度 ③证明全等边角替换：借助全等三角形的性质对相等边角进行代换求解 易错警示 易忽略正方形对角线造成的45°角的性质 典型例题 ☐ 1.如图，在正方形ABCD的对角线BD上取点E使BE=BA,连接AE,过点E作 EF⊥AE交BC于点F,则∠EFC的大小为 B 1 窗学科网·假子学 www.2××k.C0m 让学习更离效 >【答案】67.5 >【思路点拨】由四边形BCD是正方形，EF⊥AE得∠B4D=∠AEF=∠C=90°，则 ∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，而BE=B4,再利用正方形的性质，可证明 △DAE2△BEF,得∠AED=∠EFB,则∠EFC=∠BE4=67.5°，于是得到问题的答案. 步骤一：先利用正方形的性质求角度 ,四边形ABCD是正方形，EF⊥AE, ∴.DA=BA=BC=DC,∠BAD=∠AEF=∠C=90°， ∴.∠DAE+∠BAE=90°，∠BEF+∠BEA=90°，∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°， 步骤二：再利用正方形的性质与已知条件证明全等求解即可 BE =BA, 1 DA=BE,∠AE=∠BEA=5×(180°-45)=67.5°， 2 ∴.∠DAE=∠BEF, 在△DAE和△BEF中， 「∠DAE=∠BEF DA=BE ∠ADE=∠EBF ∴.△DAE≌△BEF(ASA), ∴.∠AED=∠EFB, .∴.∠EFC=180°-∠EFB=180°-∠AED=∠BEA=67.5°， 2 窗学科网·随子学 让学习更离效 2.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于 点B,再分别以D,E为圆心，以大于DE的长为半径，两交于图中的点F处， 连接AF并延长，与BC的延长线相交于点P.若AB=2,则CP的长为 【答案】2√2 >【思路点拨】由题意易得∠DAP=∠CAP,B=BC=2,∠B=90°，AD∥BC,则有4C=CP, 然后根据勾股定理可进行求解。 步骤一：先利用正方形的性质求等量关系 由作图过程可知，射线AF为∠CAD的平分线， ∴·∠DAP=∠CAP, ,四边形ABCD为正方形 ·AB=BC=2,∠B=90°，AD∥BC, ∴.∠DAP=∠P ·∠CAP=∠P, .'AC=CP, 步骤二：再利用勾股定理求解即可 由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=√22+22=2N5, .CP的长为2√互