第11章 教考衔接2 几何体的外接球与内切球(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步 教考衔接2　几何体的外接球与内切球 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 一、真题展示 (2022·新高考全国卷Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq \r(3)和4eq \r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π　　　　　　 B．128π C．144π D．192π [答案]　A 二、真题溯源 (教科书第88页练习B第5题) 已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，而且这个正三棱锥的所有棱长都为2，求这个球的体积． 三、类法探究 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系． eq \x(题型一　直接法) 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为eq \f(9,8)，底面周长为3，则这个球的体积为_______． [解析]　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6x＝3，,\f(9,8)＝6×\f(\r(3),4)x2h，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,h＝\r(3).)) [答案]　eq \f(4π,3) ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝eq \f(1,2)，球心到底面的距离d＝eq \f(\r(3),2). ∴外接球的半径R＝eq \r(r2＋d2)＝1，∴V球＝eq \f(4π,3). 本题运用公式R2＝r2＋d2，该公式是求球的半径的常用公式．　 [触类旁通] 1．一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为_______，内切球半径为_______． 解析　设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，即2R＝eq \r(3)a,2r＝a，∴R＝eq \f(\r(3),2)a，r＝eq \f(a,2). 答案　eq \f(\r(3),2)a　eq \f(a,2) eq \x(题型二　构造法) 三棱锥ABCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VABCD＝eq \f(4,3)，则该三棱锥ABCD外接球的体积为_______． [解析]　∵AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥ABCD的外接球的直径，设外接球的半径为R. ∵VABCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×BC×CD×AB＝eq \f(1,6)×2×CD×2＝eq \f(4,3)， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体， ∴AD＝2eq \r(3)，∴R＝eq \r(3)， 故外接球体积为V＝eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π. [答案]　4eq \r(3)π 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为R，则有2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).　 [触类旁通] 2．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，eq \r(2)，eq \r(3)，则其外接球的表面积是_______． 解析　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，eq \r(2)，eq \r(3)的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球． 设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝12＋(eq \r(2))2＋(eq \r(3))2＝6. ∴R2＝eq \f(3,2).故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 答案　6π eq \x(题型三　寻求轴截面圆半径法) 正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为eq \r(2)，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为_______． [解析]　如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径． 在△ASC中，由SA＝SC＝eq \r(2)，AC＝2， 得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形． ∴eq \f(AC,2)＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径． 故V球＝eq \f(4π,3). [答案]　eq \f(4π,3) 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解方法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．　 [触类旁通] 3．在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比． 解析　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝eq \f(\r(2)a,2). 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2， 即a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＝R2，∴R＝eq \f(\r(6),2)a. 从而V半球＝eq \f(2,3)πR3＝eq \f(2,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))3＝eq \f(\r(6),2)πa3， V正方体＝a3. 因此V半球∶V正方体＝eq \f(\r(6),2)πa3∶a3＝eq \r(6)π∶2. eq \x(题型四　确定球心位置法) 已知三棱锥ABCD的侧棱长为2eq \r(5)，底面是边长为2eq \r(3)的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为_______． [解析]　如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心，令O′A＝O′D＝R，OD＝eq \f(2,3)DE＝eq \f(2,3)×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝2，AD＝2eq \r(5)， [答案]　eq \f(125,6)π ∴AO＝eq \r(AD2－OD2)＝4，∴OO′＝4－R， 又OO′2＋OD2＝O′D2，∴(4－R)2＋4＝R2，解得R＝eq \f(5,2)，∴V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(125,6)π. 找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等．正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点．　 [触类旁通] 4．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2eq \r(3)，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为_______． 解析　取PC的中点O，连接OA，OB(图略)． ∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，∴OA＝eq \f(1,2)PC，同理OB＝eq \f(1,2)PC， 即OA＝OB＝OP＝OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等， ∴O为外接球的球心，PC＝eq \r(PA2＋AC2)＝4， ∴R＝eq \f(1,2)PC＝2，∴S球＝4πR2＝16π. 答案　16π $$