11.2 平面的基本事实与推论(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步 11.2　平面的基本事实与推论 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学 平面的基本事实及推论 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 不在一条直线上 两点 l⊂α 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 公共直线 α∩β ＝l且P∈l 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 经过一条直线与直线外一点 经过两条相交直线 经过两条平行直线 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．(重点、难点) 1.通过引导解决共线、共面问题，培养逻辑推理核心素养． 2．通过画或找立体图形中平面与平面的交线，培养直观想象核心素养． 3．利用判断点、线、面的位置关系判断命题的真假，培养数学建模核心素养. 两张纸面相交有几条直线？ [提示]　一条． 若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ [提示]　在桌面上． 为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？ [提示]　撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上． ◎结论形成 1．平面的基本事实 基本事实 (公理) 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 经过________________的三点，有且只有一个平面. A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒________. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________. P∈α，P∈β⇒________ _____________. 2.平面基本事实的推论 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　______________________________，有且只有一个平面．(图①) 推论2　____________________，有且只有一个平面．(图②) 推论3　____________________，有且只有一个平面．(图③) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间不同三点确定一个平面．(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (3)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　) (4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(多选题)如图所示，下列符号表示正确的是(　　) A．l∈α　　　　　　　　 B．P∉l C．l⊂α D．P∈α 解析　观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的． 答案　BCD 3．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是(　　) A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a C．因为A∈a，a⊂α，所以A∈α D．因为A∉a，a⊂α，所以A∉α 解析　对A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误； 对B，直线a在平面α内，应为a⊂α，故B错误； 对C，因为A∈a，a⊂α，所以A∈α，故C正确； 对D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误．故选C． 答案　C 4．能确定一个平面的条件是(　　) A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 解析　A项，三个点可能共线；B项，点可能在直线上；C项，无数个点也可能在同一条直线上． 答案　D eq \x(题型一　图形、文字、符号语言的相互转化) 将下列符号语言转化成图形语言，并用文字语言加以叙述：α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β. [解析]　图形语言如图所示，文字语言是：点A在平面α与β的交线l上，且直线AB在平面α内，直线AC在平面β内，也可以叙述为：平面α内的直线AB与平面β内的直线AC相交于两平面的交线l上． 集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“⊂”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助于集合符号，但在读法上仍用几何语言．　 [触类旁通] 1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表达正确的个数是(　　) ①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α； ③A∉a，a⊂α⇒A∉a；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 解析　①错，如图： ②a∈α符合不对；③错，如图： ④A⊂α符号书写不对． 答案　A 一题多变)eq \x(题型二　点、线共面问题　) 已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面． [证明]　(1)无三线共点的情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S. 则由a∩d＝M，故a，d可确定一个平面，设为α. 因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α. 所以NQ⊂α，即b⊂α.同理c⊂α. 所以a，b，c，d共面． (2)有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a. 因为K∉a，所以K和a确定一个平面，设为β. 因为N∈a，a⊂β，所以N∈β， 所以NK⊂β，即b⊂β. 同理c⊂β，d⊂β，所以a，b，c，d共面． 由(1)(2)知，a，b，c，d共面． [母题变式] (变条件、变结论)若本例改为：已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？该如何解答？ 解析　(1)如果B，C，D三点不共线，则B，C，D三点确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面． (2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面； 若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面； 若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面． [素养聚焦]　本题主要考查三个基本事实的运用，可借助于几何图形、符号语言，分析得出求解思路，通过探索和论述，得出结果，从而培养逻辑推理核心素养． 证明点、线共面的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α和β重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．　 [触类旁通] 2．如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内． 证明　因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上． 所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α， 所以l⊂α，因为C∈l，所以C∈α，因为A，B，C，D∈α， 所以AD⊂α，BD⊂α，CD⊂α，即直线AD，BD，CD在同一平面内． 如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为A1D1的中点，经过BE的截面与棱DD1，A1B1分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，AA1共点． [证明]　∵BFEG四点共面，BG不平行于EF，设BG∩EF＝P， 又∵BG⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ADD1A1，BG，EF均不平行于AA1， P为平面ABB1A1与ADD1A1的公共点， ∵平面ABB1A1∩平面ADD1A1＝AA1， ∴根据基本事实3可得P∈AA1， ∴直线BG，EF，AA1共点． 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．　 [触类旁通] 3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线． 证明　∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面，记为β， ∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α， ∴E∈β， ∴E在α与β的交线l上． 同理，F，G，H也在α与β的交线l上， ∴E，F，G，H四点必定共线． [缜密思维提能区]　　　　　　　 　　易错辨析 点共线问题 [典例]　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线． [证明]　在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β. 则Q是α与β的公共点， 同理P是α与β的公共点， 所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C． 所以R∈α，且R∈β，则R∈PQ. 故P，Q，R三点共线． [纠错心得] 解决点共线问题，关键是找出基本事实满足的条件，将条件列出来，缺一不可. 知识落实 技法强化 (1)平面的概念． (2)三个基本事实及其应用． (3)共面、共线、共点问题. (1)证明共点、共线问题的方法有同一法、纳入法． (2)证明几何命题时注意三种语言的相互转换. $$