11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 祖暅原理 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 两个平行平面间 两个截面的面积总相等 等底面积、等高 任意平面 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 柱、锥、台、球的体积公式 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 V＝Sh 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 　 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.熟记柱、锥、台和球的体积计算公式. 2．能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积. (重点、难点) 1.通过几何体体积公式的推导，培养逻辑推理核心素养． 2．通过对几何体体积及相关量的计算，培养直观想象和数学运算核心素养. 　取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？ [提示]　体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等． ◎结论形成 祖暅原理的含义及应用 (1)内容：幂势既同，则积不容异． (2)含义：夹在__________________的两个几何体，被平行于这两个平面的__________所截，如果截得的_________________________，那么这两个几何体的体积相等． (3)应用：__________________的两个柱体或锥体的体积相等. 圆柱的体积怎么求？ [提示]　圆柱的体积等于底面积乘以高． 初中学过的正方体、长方体的体积公式是什么？ [提示]　正方体的体积V＝a3(a为正方体的棱长)，长方体的体积V＝adc.(a，b，c分别为长方体的长、宽和高) 等底等高的棱锥的体积相等吗？ [提示]　根据祖暅原理可知，等底等高的棱锥的体积相等． ◎结论形成 柱、锥、台、球的体积公式 (其中S1，S2(S)表示上下底的面积，h表示高，R表示球的半径) 名称 体积(V) 柱体 __________ 锥体 V＝eq \f(1,3)Sh 台体 V＝eq \f(1,3)h(S2＋eq \r(S2S1)＋S1) 球 V＝eq \f(4,3)πR3 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　) (2)台体的体积可转化为两个椎体的体积之差．(　　) (3)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(　　) (4)圆台的高就是相应母线的长．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．半径为3的球的体积是(　　) A．9π　　　　　　　　　 B．81π C．27π D．36π 解析　V＝eq \f(4,3)π×33＝36π. 答案　D 3．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为3，则这个圆台的体积为(　　) A．6π B．7π C．8π D．9π 解析　由已知得S上＝π·12＝π，S下＝π·22＝4π，所以V台体＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上·S下))h＝eq \f(1,3)(π＋4π＋2π)·3＝7π. 答案　B 4．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(　　) A．eq \r(3) B．1 C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(1,3) 解析　底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))×1＝eq \r(3). 答案　A eq \x(题型一　柱体、锥体、台体的体积) (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则该棱台的体积为_______． [解析]　如图所示，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD­A1B1C1D1的高， 因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)， 则A1O1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)×eq \r(2)A1B1＝eq \f(\r(2),2)，AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)AB＝eq \r(2)， 故AM＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AC－A1C1))＝eq \f(\r(2),2)，则A1M＝eq \r(A1A2－AM2)＝eq \r(2－\f(1,2))＝eq \f(\r(6),2)， 所以所求体积为V＝eq \f(1,3)×(4＋1＋eq \r(4×1))×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(7\r(6),6). 故答案为eq \f(7\r(6),6). [答案]　eq \f(7\r(6),6) 此类问题很基础，根据已知条件确定公式中所含字母的值，代入公式即可得解．注意利用方程(组)的思想求解相关几何量．　 [触类旁通] 1．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为_______． 解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图． 因为母线长为10， 所以有102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2. 所以下底面半径R＝8，高h＝8， 所以V圆台＝eq \f(1,3)(S2＋eq \r(S2S1)＋S1)h ＝eq \f(1,3)π(r2＋rR＋R2)h ＝eq \f(1,3)π(4＋2×8＋82)×8＝224π. 答案　224π eq \x(题型二　球的体积) 若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为(　　) A．eq \f(100π,3)　　　　　　　 B．eq \f(208π,3) C．eq \f(500π,3) D．eq \f(416π,3) [解析]　如图，O为球心，O1是截面圆的圆心，设球的半径为R，则由题意可得 OO1＝4，O1A＝3，在Rt△OO1A中，OA＝eq \r(OO12＋O1A2)＝eq \r(16＋9)＝5，则R＝5， 所以球的体积为eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×53＝eq \f(500π,3). [答案]　C 球的表面积是关于半径的平方的函数，而体积则是关于半径立方的函数．　 [触类旁通] 2．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为(　　 ) A．8∶27　　　　　　　 B．2∶13 C．4∶943 D．2∶9 解析　设两球的半径分别为r1，r2，则eq \f(4πr\o\al(2,1),4πr\o\al(2,2))＝eq \f(4,9)，∴eq \f(r1,r2)＝eq \f(2,3)， 所以两球的体积比为eq \f(V1,V2)＝eq \f(\f(4,3)πr\o\al(3,1),\f(4,3)πr\o\al(3,2))＝eq \f(8,27). 答案　A 一题多变)eq \x(题型三　体积的综合计算　) 如图，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1. (1)求V1，V2以及V1∶V2； (2)求A到平面A1BD的距离d. [解析]　(1)截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1 ­ABD，其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝eq \f(1,2)×AB×AD＝eq \f(1,2)a2. 底面△ABD上的高为h＝AA1＝a. 所以其体积V1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(1,6)a3. 正方体的体积V＝a3， 所以V2＝V－V1＝a2－eq \f(1,6)a3＝eq \f(5,6)a3. 所以V1∶V2＝1∶5. (2)三棱锥A1 ­ABD与三棱锥A ­A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝eq \r(2)a. 取BD的中点H，连接AH，则AH⊥BD，BH＝HD＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)a， 所以AH＝eq \r(AB2－BH2)＝ eq \r(\r(2)a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq \f(\r(6),2)a. 其面积S2＝eq \f(1,2)BD·A1H＝eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(6),2)a＝eq \f(\r(3),2)a2. ∵VA1 ­ABD＝VA ­A1BD， 即eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,3)S2·d，所以eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a2×d， 解得d＝eq \f(\r(3),3)a，即A到平面A1BD的距离为eq \f(\r(3),3)a. [母题变式] (变条件)若例3中的正方体改为长方体，则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化？试证明你的结论． 解析　不妨设长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c.截面将长方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1 ­ABD，其中底面△ABD是两直角边分别为a，b的直角三角形，其面积S＝eq \f(1,2)×AB×AD＝eq \f(1,2)ab.底面△ABD上的高h＝AA1＝c，所以其体积V1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)ab×c＝eq \f(1,6)abc，长方体的体积V＝abc，所以V2＝V－V1＝abc－eq \f(1,6)abc＝eq \f(5,6)abc.所以V1∶V2＝1∶5，故比值没发生变化． [素养聚焦]　通过体积的综合计算，培养直观想象数学运算和逻辑推理核心素养． 求几何体体积的常用方法 [触类旁通] 3.如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2 cm，下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB所在直线旋转一周，求所得的旋转体的体积． 解析　过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，过 点C作CF⊥AB于点F.Rt△BCF绕AB所在直线旋转一周形成以CF为底面半径，BC为母线长的圆锥；直角梯形CFED绕AB所在直线旋转一周形成圆台；Rt△ADE绕AB所在直线旋转一周形成一个圆锥，那么梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周所得的几何体是以CF为底面半径的圆锥和圆台挖去以A为顶点，以DE为底面半径的圆锥的组合体． ∵AD＝2，BC＝10，∠ABC＝60°， ∴BF＝5，DE＝eq \r(3)，AE＝1，FC＝5eq \r(3)，EF＝4，AB＝8. ∴旋转后所得几何体的体积为 V＝eq \f(1,3)π·BF·FC2＋eq \f(1,3)π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－eq \f(1,3)π·AE·DE2＝248π cm3. [缜密思维提能区]　　　　　　　　 　易错辨析 球的切、接问题 [典例]　在半径为15的球O内有一个底面边长为12eq \r(3)的内接正三棱锥A­BCD，求此正三棱锥的体积． [解析]　①如图甲所示的情形， 显然OA＝OB＝OC＝OD＝15. 设H为△BCD的中心， 则A，O，H三点在同一条直线上． 因为HB＝HC＝HD ＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×12eq \r(3)＝12， 所以OH＝eq \r(OB2－HB2)＝9， 所以正三棱锥A­BCD的高h＝9＋15＝24. 又S△BCD＝eq \f(\r(3),4)×(12eq \r(3))2＝108eq \r(3)， 所以V三棱锥A­BCD＝eq \f(1,3)×108eq \r(3)×24＝864eq \r(3). ②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A­BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108eq \r(3)， 所以V三棱锥A­BCD＝eq \f(1,3)×108eq \r(3)×6 ＝216eq \r(3). 综上，可知正三棱锥的体积为864eq \r(3)或216eq \r(3). [纠错心得] 解决此类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体顶点的距离等于球的半径，正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. 知识落实 技法强化 (1)祖暅原理． (2)柱体、锥体、台体的体积． (3)球的体积． (4)组合体的体积. (1)求组合体体积的方法有公式法、割补法、转换顶点法． (2)平面图形与立体图形切换不清楚. $$