11.1.4 棱锥与棱台(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.4　棱锥与棱台 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 棱锥的概念与几何特征 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 多边形 三角形 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 多边形 公共顶点 相邻两侧面 垂线 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 棱台的概念及结构特征 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 平行于棱锥底面的平面 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 底面 截面 相邻两侧面 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 正棱锥 两底面中心 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.理解棱锥和棱台的定义和结构特征．(重点) 2．能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点) 1.通过将现实生活中的实物抽象为棱锥和棱台，培养数学抽象和直观想象核心素养． 2．通过棱锥和棱台中的数量关系的计算，主要培养数学运算核心素养. [提示]　底面是多边形，侧面都是三角形，且有一个公共顶点． 上图中的几何体是什么几何体？ [提示]　棱锥. 上图中的几何体有什么共同的结构特征？ ◎结论形成 棱锥的概念与几何特征 定义 如果一个多面体有一个面是________，且其余各面都是有一个公共顶点的________，则称这个多面体为棱锥. 图形 及 表示 可记作：棱锥P ­ABCD或棱锥P ­AC． 相关 概念 棱锥的底面 是________的那个面． 棱锥的侧面 有公共顶点的各三角形． 棱锥的顶点 各侧面的__________． 侧棱 _____________的公共边． 棱锥的高 过棱锥的顶点作棱锥底面的_____，所得到的线段(或它的长度)． 棱锥的侧面积 棱锥所有侧面的面积之和． 分类 按底面的形状可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥 定义 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥． 斜高 侧面等腰三角形底边上的高． 特征 侧面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等. 上图中的几何体是什么几何体？ [提示]　棱台． 棱台与棱锥有什么关系？ [提示]　棱台可以由棱锥截得． ◎结论形成 棱台的定义及结构特征 定义 用_________________________去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台． 图形 及 表示 可记作：棱台ABCD­A1B1C1D1. 相关 概念 棱台的底面 下底面：原棱锥的_____． 上底面：原棱锥的_____． 棱台的侧面 除上、下底面外的其余面． 侧棱 _____________的公共边． 棱台的高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)． 棱台的侧面积 棱台所有侧面的面积之和. 分类 按底面的形状可以分为三棱台、四棱台、五棱台…… 正棱台 定义 由________截得的棱台． 高 上下_____________的连线． 斜高 侧面等腰梯形的高． 特征 侧面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱锥的所有面都可以是三角形．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(　　) (3)若一个棱锥的侧面都是等腰三角形，那么这个棱锥是正棱锥．(　　) (4)棱台的侧面是等腰梯形．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下面四个几何体中，是棱台的是(　　) 解析　A项中的几何体是棱柱；B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台． 答案　C 3.(多选题)如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法正确的是(　　) A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析　面ABCD不是几何体的面，该几何体有8个面． 答案　ABC 4．下列说法正确的有_______．(填序号) ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 解析　棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③. 答案　①③ eq \x(题型一　棱锥、棱台的结构特征) 下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ②棱台的侧面一定不会是平行四边形． ③棱锥的侧面只能是三角形． ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是_______． [解析]　①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台． ②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形． ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形． ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． [答案]　②③④ 认识、判断棱柱、棱锥、棱台的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清各几何体的属性．　 [触类旁通] 1．如图所示，三棱台A′B′C′ABC截去三棱锥A′ABC后，剩余部分几何体是(　　) A．三棱锥　　　　　　　 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体 解析　根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥． 答案　C 一题多变)eq \x(题型二　棱锥的有关计算　) 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2eq \r(3)，求正三棱锥的高． [解析]　作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点． 在Rt△ADO中，AD＝eq \f(3,2)， ∠OAD＝30°， 故AO＝eq \f(\f(3,2),cos∠OAD)＝eq \r(3). 在Rt△SAO中，SA＝2eq \r(3)，AO＝eq \r(3)， 故SO＝3，其高为3. [母题变式] 1．(变条件)将本例中“侧棱长为2eq \r(3)”，改为“斜高为2eq \r(3)”，则结论如何？ 解析　在Rt△SDO中，SD＝2eq \r(3)，DO＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(\r(3),2)，故SO＝eq \r(SD2－DO2)＝eq \r(12－\f(3,4))＝eq \f(3\r(5),4). 2．(变条件)将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ 解析　如图正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝eq \f(3\r(2),2)，又因为SC＝2eq \r(3)， 则SO＝eq \r(SC2－OC2)＝eq \r(12－\f(9,2))＝eq \r(\f(15,2))＝eq \f(\r(30),2). 故其高为eq \f(\r(30),2). [素养聚焦]　通过对棱锥的相关量的计算，培养直观想象与数学运算核心素养． 有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是要把所求线段转化到直角三角形中，需用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径所构成的直角三角形：正棱锥的高、侧棱和底面外接圆的半径所构成的直角三角形．如本题中的Rt△SOD，Rt△SOB，它们包含了正棱锥的高、斜高、侧棱等基本量．　 [触类旁通] 2．如图，S­ABC是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小值为eq \r(2)a，则侧棱SA，SC的夹角为(　　) A．30° B．60° C．20° D．90° 解析　把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，△SBC，△SCA，△SAB′，连接BB′，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，BB′＝eq \r(2)a， 又SB＝SB′＝a，根据勾股定理，SB2＋SB′2＝BB′2＝2a2， △SBB′是等腰直角三角形，∴∠BSB′＝90°， ∴∠ASC＝90°×eq \f(1,3)＝30°， ∴侧棱SA，SC的夹角为30°，故选A． 答案　A eq \x(题型三　棱台的有关计算) 如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求正四棱台的表面积． [解析]　∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形， ∴上底面、下底面的面积分别是4,16. ∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形， ∴斜高为eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2,2)))2)＝eq \r(3)， ∴侧面的面积为eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(3)＝3eq \r(3)， ∴四棱台的表面积为4＋16＋3eq \r(3)×4＝20＋12eq \r(3). 正棱台中直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上，下底面中心，作O1E1⊥B1C1于点E1，OE⊥BC于点E，则E1E为斜高． ①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1； ②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO； ③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.　 [触类旁通] 3．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为_______． 解析　由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5eq \r(2)，下底长为7eq \r(2)，高为3，则侧棱长为eq \r(32＋\r(2)2)＝eq \r(11). 答案　eq \r(11) [缜密思维提能区]　　　　　　 　　规范答题 棱台的有关计算 [典例]　(13分)正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高． [审题指导]　在正三棱台中，构造直角梯形，根据数量关系求解即可． [规范解答]　如图所示，正三棱台ABC­A1B1C1中，两底面中心分别为O，O1，AB和A1B1的中点分别是E，E1，连接OO1，EE1，O1A1，OA，O1E1，OE，则四边形OAA1O1，OEE1O1都是直角梯形，(3分) 在等边△ABC中，AB＝4， 则OA＝eq \f(4\r(3),3)，OE＝eq \f(2\r(3),3).(4分) 在等边△A1B1C1中，A1B1＝2， 则O1A1＝eq \f(2\r(3),3)，O1E1＝eq \f(\r(3),3).(6分) 在直角梯形OAA1O1中，OO1＝3， 所以AA1＝eq \r(OO\o\al(2,1)＋OA－O1A12) ＝eq \r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)－\f(2\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(93),3)， 即棱台的侧棱长为eq \f(\r(93),3).(9分) 在直角梯形OEE1O1中， EE1＝eq \r(OO\o\al(2,1)＋OE－O1E12) ＝eq \r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)－\f(\r(3),3)))2)＝eq \f(2\r(21),3)， 即棱台的斜高为eq \f(2\r(21),3).(13分) 知识落实 技法强化 (1)棱锥、棱台的结构特征． (2)有关棱锥、棱台的计算. (1)判断棱锥或棱台最常用的方法是定义法、举反例法． (2)棱锥、棱台的结构特征不清. $$