10.2.2 复数的乘法与除法(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十章　复数 10.2　复数的运算 10.2.2　复数的乘法与除法 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 复数的乘法运算 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 zm＋n zmn －1 －i 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 复数的除法运算 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 分母实数化 商 被除数 除数 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学3 实系数一元二次方程在复数范围内的解集 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.理解复数的乘、除运算法则，会进行复数的乘除运算．(重点) 2．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点) 3．会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 1. 通过学习复数的乘法和除法，培养数学运算核心素养． 2. 通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养数学抽象核心素养. 复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？ [提示]　类似． 复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，规定z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 (1)对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝__________ 结合律 (z1z2)z3＝__________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_______________ (2)对复数z，z1，z2和正整数m，n有zmzn＝_____，(zm)n＝_____，(z1z2)n＝__________. (3)i为虚数单位，则i2＝_____，i3＝_____，i4＝___. zeq \o\al(n,1)zeq \o\al(n,2) 如果实数a，b满足(a＋bi)(1＋i)＝1，如何求a，b? [提示]　方法一是展开，利用复数相等求a，b，方法二是化为a＋bi＝eq \f(1,1＋i)，将等号右边分母化成实数，利用复数相等求解． 如何将eq \f(1,1＋i)的分母化成实数？ [提示]　分子分母同时乘以分母的共轭复数． ◎结论形成 1．复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称___为z的倒数．求复数的倒数的方法称为_____________． 2．复数相除：如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的___，并记作z＝eq \f(z1,z2)(或z＝z1÷z2)，z1称为________，z2称为_____. eq \f(1,z) 如果x2＝－4，则x等于多少？ [提示]　±2i. 如果x2＝－a(a>0)，则x等于多少？ [提示]　±eq \r(a)i. ◎结论形成 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程， (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么x1＋x2＝_____，x1x2＝___. －eq \f(b,a) eq \f(c,a) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数加减乘除的混合运算规则是先乘除，再加减．(　　) (2)若z1，z2∈C，且zeq \o\al(2,1)＋zeq \o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0.(　　) (3)eq \f(1,i)＝－i.(　　) (4)eq \f(1＋i,1－i)＝－i.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3＋i　　　　　　　 B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 解析　(－1＋i)(2－i)＝(－2＋1)＋(2＋1)i＝－1＋3i. 答案　B 3．已知复数z＝2＋i，则z·eq \o(z,\s\up16(－))＝(　　) A．eq \r(3) B．eq \r(5) C．3 D．5 解析　解法一　∵z＝2＋i， ∴eq \o(z,\s\up16(－))＝2－i，∴z·eq \o(z,\s\up16(－))＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 解法二　∴z＝2＋i，∴z·eq \o(z,\s\up16(－))＝|z|2＝5.故选D. 答案　D 4．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 解析　z＝eq \f(2i,1－i)＝eq \f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i. 答案　A eq \x(题型一　复数的乘法运算) 计算：(1)(3＋2i)(1－i)；(2)(1＋2i)2. [解析]　(1)(3＋2i)(1－i)＝(3＋2)＋(－3＋2)i＝5－i； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简． (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如，平方差公式、完全平方公式等．　 [触类旁通] 1．(1)(2024·全国甲卷·理)若z＝5＋i，则i(eq \o(z,\s\up16(－))＋z)＝(　　 ) A．10i　　　　　　　 B．2i C．10 D．－2 (2)(2024·北京卷)若复数z满足eq \f(z,i)＝－1－i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i (3)(2024·天津卷) 已知i是虚数单位，复数(eq \r(5)＋i)·(eq \r(5)－2i)＝_____. 解析　(1)由z＝5＋i，得eq \o(z,\s\up16(－))＝5－i，故z＋eq \o(z,\s\up16(－))＝10，则i(eq \o(z,\s\up16(－))＋z)＝10i. (2)由题意得z＝－i(i＋1)＝1－i，故选C． (3)(eq \r(5)＋i)·(eq \r(5)－2i)＝5＋eq \r(5)i－2eq \r(5)i＋2＝7－eq \r(5)i. 答案　(1)A　(2)C　(3)7－eq \r(5)i 一题多变)eq \x(题型二　复数的除法运算　) 已知z是纯虚数，eq \f(z－2,1＋i)是实数，求z. [解析]　设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)， 则eq \f(z－2,1＋i)＝eq \f(bi－2,1＋i)＝eq \f(bi－21－i,1＋i1－i)＝eq \f(b－2＋b＋2i,2) ＝eq \f(b－2,2)＋eq \f(b＋2,2)i， 又eq \f(z－2,1＋i)是实数，所以b＋2＝0，即b＝－2. 所以z＝－2i. [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，改为“求复数eq \f(z－2,1＋i)在复平面内对应点的轨迹”，如何求解？ 解析　设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)， 则eq \f(z－2,1＋i)＝eq \f(bi－2,1＋i)＝eq \f(bi－21－i,1＋i1－i)＝eq \f(b－2＋b＋2i,2) ＝eq \f(b－2,2)＋eq \f(b＋2,2)i， 设复数eq \f(z－2,1＋i)在复平面内对应点的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(b－2,2),y＝\f(b＋2,2)))， 消去参数b，得x－y＋2＝0， 因为b≠0，所以去掉点(－1,1)， 所以复数eq \f(z－2,1＋i)在复平面内对应点的轨迹为一直线(除去一点)． 2．(变结论)本例条件不变，改为“求复数eq \f(z－2,1＋i)的模的取值范围”，如何求解？ 解析　设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)， 则eq \f(z－2,1＋i)＝eq \f(bi－2,1＋i)＝eq \f(bi－21－i,1＋i1－i)＝eq \f(b－2＋b＋2i,2) ＝eq \f(b－2,2)＋eq \f(b＋2,2)i， 所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z－2,1＋i)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b－2,2)＋\f(b＋2,2)i)) ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b－2,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2)))2)＝eq \f(\r(2b2＋8),2)， 因为b≠0，所以eq \f(\r(2b2＋8),2)>eq \r(2)， 所以复数eq \f(z－2,1＋i)的模的取值范围为(eq \r(2)，＋∞)． [素养聚焦]　通过复数的计算，培养数学运算核心素养． 应用复数除法法则的两个步骤 (1)分母实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数，转化为复数乘法运算． (2)结果化为复数代数形式．　 [触类旁通] 2．(1)已知z1＝1＋2eq \r(2)i，z2＝4－3i，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z2,z1)))＝(　　) A．eq \f(3,5)　　　　　　　　　 B．eq \f(5,3) C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(3\r(5),5) (2)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝eq \f(1＋ai,i)(其中a∈R)为“等部复数”，则复数eq \x\to(z)＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋2i D．1－2i 解析　(1)eq \f(z2,z1)＝eq \f(4－3i,1＋2\r(2)i)＝eq \f(4－3i1－2\r(2)i,1＋2\r(2)i1－2\r(2)i)＝eq \f(4－3i－8\r(2)i－6\r(2),9)＝eq \f(4－6\r(2)－3＋8\r(2)i,9)， 所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z2,z1)))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－6\r(2),9)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3－8\r(2),9)))2)＝eq \f(15,9)＝eq \f(5,3)，故选B. (2)由已知可得，z＝eq \f(1＋ai,i)＝－(1＋ai)i＝a－i， 根据“等部复数”的概念可知，a＝－1，所以，z＝－1－i，则eq \x\to(z)＝－1＋i. 答案　(1)B　(2)A eq \x(题型三　与复数有关的方程问题) 复数z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))2是一元二次方程mx2＋nx＋1＝0(m，n∈R，m≠0)的一个根． (1)求m和n的值； (2)若(m＋ni)eq \o(u,\s\up16(－))＋u＝z(u∈C)，求u. [解析]　(1)因为z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))2＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i， 所以eq \o(z,\s\up16(－))＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i， 由题意，知z，eq \o(z,\s\up16(－))是一元二次方程 mx2＋nx＋1＝0(m，n∈R，m≠0)的两个根， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(n,m)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))，,\f(1,m)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝1.)) (2)设u＝c＋di(c，d∈R)，则eq \o(u,\s\up16(－))＝c－di， 由(1)知m＋ni＝1＋i， 则(1＋i)(c－di)＋(c＋di)＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i， 即2c＋d＋ci＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2c＋d＝－\f(1,2)，,c＝－\f(\r(3),2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＝－\f(\r(3),2)，,d＝－\f(1,2)＋\r(3)，)) 所以u＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(1,2)))i. 解关于z的复数方程常用待定系数法，即将z＝x＋yi(x，y∈R)代入原方程，利用复数相等，得出关于x，y的二元方程组，从而求出x，y的值．　 [触类旁通] 3．(2024·河南安阳月考)已知p，q为实数，2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q的值为(　　 ) A．14 B．－14 C．38 D．－38 解析　由题意2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0，即(2p－24)i＋10－3p＋q＝0， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2p－24＝0，,10－3p＋q＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝12，,q＝26，))所以p＋q＝38. 答案　C 知识落实 技法强化 (1)复数的乘法及运算律． (2)复数的除法运算． (3)在复数范围内解方程． (4)i的运算性质. (1)复数的除法主要应用分母实数化． (2)解实系数一元二次方程时的判别式Δ的讨论. $$