10.2.1 复数的加法与减法(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十章　复数 10.2　复数的运算 10．2.1　复数的加法与减法 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 复数的加法与减法运算 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 复数加减法的几何意义 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算． 2．理解复数加减法运算的几何意义，并能应用其解决相关的问题．(重点、难点) 1.通过复数的加法与减法的学习，提升数学运算核心素养． 2. 通过复数加法和减法运算几何意义的学习，培养直观想象、数学抽象核心素养. 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ [提示]　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 复数的加法满足交换律和结合律吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 复数的加法与减法 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝_________________. (2)加法运算律： 设z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝_______；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________. 如图eq \o(OZ,\s\up16(→))1，eq \o(OZ,\s\up16(→))2分别与复数a＋bi，c＋di对应． 试写出eq \o(OZ,\s\up16(→))1，eq \o(OZ,\s\up16(→))2及eq \o(OZ,\s\up16(→))1＋eq \o(OZ,\s\up16(→))2，eq \o(OZ,\s\up16(→))1－eq \o(OZ,\s\up16(→))2的坐标． [提示]　eq \o(OZ,\s\up16(→))1＝(a，b)，eq \o(OZ,\s\up16(→))2＝(c，d)，eq \o(OZ,\s\up16(→))1＋eq \o(OZ,\s\up16(→))2＝(a＋c，b＋d)，eq \o(OZ,\s\up16(→))1－eq \o(OZ,\s\up16(→))2＝(a－c，b－d)． 向量eq \o(OZ,\s\up16(→))1＋eq \o(OZ,\s\up16(→))2，eq \o(OZ,\s\up16(→))1－eq \o(OZ,\s\up16(→))2对应的复数分别是什么？ [提示]　向量eq \o(OZ,\s\up16(→))1＋eq \o(OZ,\s\up16(→))2对应的复数是(a＋c)＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量eq \o(OZ,\s\up16(→))1－eq \o(OZ,\s\up16(→))2对应的复数是(a－c)＋(b－d)i，也就是z1－z2. ◎结论形成 复数加法、减法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量分别为eq \o(OZ,\s\up16(→))1，eq \o(OZ,\s\up16(→))2，且eq \o(OZ,\s\up16(→))1与eq \o(OZ,\s\up16(→))2不共线. 复数加 法的几 何意义 (1)意义：复数z1＋z2是以eq \o(OZ,\s\up16(→))1，eq \o(OZ,\s\up16(→))2为邻边的平行四边形的对角线eq \o(OZ,\s\up16(→))所对应的复数； (2)结论：||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. 复数减 法的几 何意义 (1)意义：复数z1－z2是从向量eq \o(OZ,\s\up16(→))2的终点指向向量eq \o(OZ,\s\up16(→))1的终点的向量eq \o(Z2Z1,\s\up16(→))所对应的复数； (2)结论：||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　) (4)若复数z1－z2>0，则z1>z2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　 2．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．－2 D．－1 解析　依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1. 答案　A 3．已知z1＝eq \f(\r(3),2)a＋(a＋1)i，z2＝－3eq \r(3)b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4eq \r(3)，则a＋b＝(　　) A．3 B．4 C．2 D．1 解析　∵z1－z2＝eq \f(\r(3),2)a＋(a＋1)i－[－3eq \r(3)b＋(b＋2)i]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b))＋(a－b－1)i＝4eq \r(3)，由复数相等的充要条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b＝4\r(3)，,a－b－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))∴a＋b＝3. 答案　A 4．设a，b∈R，(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0，那么复数a＋bi的模为(　　) A．0　　 B．6　　　 C．3eq \r(5)　　 D．2eq \r(3) 解析　因为(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0， 所以(5＋b－2)＋(b－3－a)i＝0， ∵a，b∈R， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5＋b－2＝0，,b－3－a＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－3，,a＝－6，)) ∴a＋bi＝－6－3i. ∴|a＋bi|＝|－6－3i| ＝eq \r(－62＋－32) ＝3eq \r(5). 答案　C eq \x(题型一　复数的加法、减法运算) 计算： (1)(－eq \r(2)＋eq \r(3)i)－[(eq \r(3)－eq \r(2))＋(eq \r(3)＋eq \r(2))i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)． [解析]　(1)(－eq \r(2)＋eq \r(3)i)－[(eq \r(3)－eq \r(2))＋(eq \r(3)＋eq \r(2))i] ＝[－eq \r(2)－(eq \r(3)－eq \r(2))]＋[eq \r(3)－(eq \r(3)＋eq \r(2))]i ＝－eq \r(3)－eq \r(2)i. (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝[(a＋b)－(a－b)]＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．　 [触类旁通] 1．(1)(2024·河北邯郸高一期中)已知z－3i＝4－i，则z的虚部为(　　 ) A．2　　　　　　　　 B．4 C．－2 D．2i (2)(2024·河南漯河高一期中)已知a，b∈R，(a＋3i)＋(－1＋bi)＝0，则(　　 ) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 解析　(1)因为z－3i＝4－i，所以z＝4＋2i，则z的虚部为2. (2)由(a＋3i)＋(－1＋bi)＝(a－1)＋(3＋b)i＝0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,3＋b＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3.)) 答案　(1)A　(2)A eq \x(题型二　复数加法、减法运算的几何意义) 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)eq \o(AO,\s\up16(→))表示的复数； (2)eq \o(CA,\s\up16(→))表示的复数； (3)eq \o(OB,\s\up16(→))表示的复数． [解析]　(1)因为eq \o(AO,\s\up16(→))＝－eq \o(OA,\s\up16(→))， 所以eq \o(AO,\s\up16(→))表示的复数为－3－2i. (2)因为eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))， 所以eq \o(CA,\s\up16(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，所以eq \o(OB,\s\up16(→))表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减法运算的几何意义求解计算．　 [触类旁通] 2．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 解析　∵eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))，∴eq \o(OC,\s\up16(→)) 对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，∴点C对应的复数为－1＋3i. 答案　D 一题多变)eq \x(题型三　复数加法、减法的综合应用　) 　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. [解析]　解法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，① (a－c)2＋(b－d)2＝1，② 由①②得2ac＋2bd＝1， ∴|z1＋z2|＝eq \r(a＋c2＋b＋d2) ＝eq \r(a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd)＝eq \r(3). 解法二　设O为坐标原点， z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C． ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是边长为1的正三角形， 又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， ∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长， ∴|z1＋z2|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))| ＝eq \r(\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up16(→))|2＋|\o(AC,\s\up16(→))|2－2|\o(OA,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|cos180°－60°)) ＝eq \r(3). [素养聚焦]　借助复数的综合运算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为关于x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．　 [触类旁通] 3．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法正确的是(　　) A．若复数z满足|z－i|＝eq \r(5)，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，eq \r(5)为半径的圆上 B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．复数z1对应的向量为eq \o(OZ1,\s\up16(→))，复数z2对应的向量为eq \o(OZ2,\s\up16(→))，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则eq \o(OZ1,\s\up16(→))⊥eq \o(OZ2,\s\up16(→)) 解析　满足|z－i|＝eq \r(5)的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，eq \r(5)为半径的圆上，A错误；设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2). 由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8，)) ∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确； 由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以eq \o(OZ1,\s\up16(→))，eq \o(OZ2,\s\up16(→))为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确． 答案　CD 知识落实 技法强化 (1)复数代数形式的加、减运算法则． (2)复数加、减法的几何意义． (3)复平面上两点间的距离公式. (1)进行复数的加、减法运算要注意运用类比、数形结合的思想方法． (2)复数三角形不等式中等号成立的条件的理解. $$