9.2 正弦定理与余弦定理的应用(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第九章　解三角形 9.2　正弦定理与余弦定理的应用 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 距离问题 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 基线 基线长 越长 越高 度 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 高度、角度问题 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 直角三角形 以上 以下 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.了解实际问题中所涉及的名词和一些常用术语． 2．会建立解决实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题．(重点、难点) 通过建立解决实际应用题的三角形模型解决问题，培养数学建模和数学运算的核心素养. 如何求两个不可到达的点之间的距离？ [提示]　两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得． 如图所示，如果测得数据a，b，γ，可以测量隧道AB的长度吗？ [提示]　可以，可以由余弦定理求得AB. ◎结论形成 1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做____． 2．选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的________ ___，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线_____，测量的精确度_____. 如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？ [提示]　能够测量出的分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高h. 你能说出求AE长的一个解题思路吗？ [提示]　在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长． 你能写出求解AE长的解题过程吗？ [提示]　选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上．由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角分别是β，α，CD＝a，测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC＝eq \f(asin β,sinα－β)， AB＝AE＋h＝ACsin α＋h＝eq \f(asin αsin β,sinα－β)＋h. ◎结论形成 1．高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解_____________的问题． 2．常用术语 (1)仰角和俯角 ①前提：在视线所在的垂直平面内； ②仰角：视线在水平线_____时，视线与水平线所成的角； ③俯角：视线在水平线_____时，视线与水平线所成的角． (2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角． 如图所示，目标B的方向角为北偏东30°，目标A的方向角为南偏东45°. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)方位角和方向角是一样的．(　　) (4)两点间可视但不可到达问题的测量可以构造已知两角及一边的三角形并求解．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距(　　) A．10 km　　　　　　　　 B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km 解析　AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°＝102＋202－2×10×20×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700，所以AC＝10eq \r(7) km. 答案　D 3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 解析　如图，由题意，知AC＝BC， ∠ACB＝80°，所以∠BAC＝∠CBA＝50°， 因为α＋∠CBA＝60°，所以α＝10° ， 即灯塔A在灯塔B的北偏西10°. 答案　B 4．如图，学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m B．8 m C．3eq \r(3) m D．4eq \r(3) m 解析　由题意知，A＝B＝30°， 所以C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，则AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(4×sin 120°,sin 30°)＝4eq \r(3) (m)． 答案　D eq \x(题型一　距离问题) 一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离． [解析]　如图所示， 在△ABC中，∠CAB＝45°， ∠ABC＝90°＋30°＝120°， 所以∠ACB＝180°－45°－120°＝15°， AB＝30×0.5＝15(n mile)， 则由正弦定理，得eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)， 即eq \f(AC,sin 120°)＝eq \f(15,sin 15°)， 又因为sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，sin 120°＝eq \f(\r(3),2)， 所以AC＝eq \f(15sin 120°,sin 15°)＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)×15(n mile)． 在△ACD中，因为∠A＝∠D＝45°， 所以△ACD是等腰直角三角形， 所以AD＝eq \r(2)AC＝15(3＋eq \r(3))(n mile)． 测量距离问题的基本类型和解决方案 基本类型 图示 解决方案 A，B两点不可到达且不可视 测得AC＝b，BC＝a，∠ACB＝C，则由余弦定理得 AB＝eq \r(a2＋b2－2abcos C) B，C与点A可视但不可到达 测得BC＝a，∠ABC＝B，∠ACB＝C，则∠BAC＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝eq \f(asin C,sinB＋C). C，D与点A，B均可视不可到达 测得CD＝a，∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC，在△ACD中，用正弦定理求AC，在△BCD中用正弦定理求BC，在△ABC中用余弦定理求AB. [触类旁通] 1．(2024·江苏南通高一期中)一艘船以32 n mile/h的速度从A处向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上，30 min后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离为(　　) A．8eq \r(2) n mile　　　　 B．16eq \r(2) n mile C．16 n mile D．16eq \r(3) n mile 解析　由题意知AB＝32×eq \f(30,60)＝16 n mile，∠BAS＝45°，∠ASB＝30°， 由正弦定理，得eq \f(BS,sin 45°)＝eq \f(16,sin 30°)，解得BS＝16eq \r(2) n mile. 答案　B eq \x(题型二　高度、角度问题) 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB. [解析]　在△BCD中， ∠CBD＝180°－15°－30°＝135°； 由正弦定理得eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(CD,sin∠CBD)， 所以BC＝eq \f(30sin 30°,sin 135°)＝15eq \r(2). 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝15eq \r(2)tan 60°＝15eq \r(6)(米)． 测量高度问题的基本类型和解决方案 基本类型 图示 计算方法 底部可到达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C． 底部不可到达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数，先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值． 底部不可到达 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数，在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. [触类旁通] 2．(2024·安徽安庆高一期中)一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行了16海里到达海岛C．若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为(　　) A．北偏东50°，8eq \r(3) B．北偏东70°，12 C．北偏东70°，8eq \r(3) D．北偏东50°，12 解析　据题意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8(海里)，BC＝16(海里)， ∴AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝82＋162－2×8×16×eq \f(1,2)＝192， ∴AC＝8eq \r(3) (海里)，又eq \f(16,sin∠CAB)＝eq \f(8\r(3),sin 60°)， ∴sin∠CAB＝1，∴∠CAB＝90°，∴航行的方向和路程分别为北偏东70°，8eq \r(3) 海里． 答案　C 一题多变)eq \x(题型三　实际应用问题——航行追及问题　) 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶，经过t小时小艇与轮船相遇．假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由． [解析]　设小艇航行速度的大小是v海里/时， 如图所示，设小艇与轮船在B处相遇．由余弦定理得BO2＝AO2＋AB2－2AO·ABcos A． 所以(vt)2＝400＋(30t)2－2×20×30t·cos(90°－30°)， 即(v2－900)t2＋600t－400＝0(其中0<v≤30)， (1)当0<v<30时，则Δ＝360 000＋1 600(v2－900)＝1 600(v2－675)， 令Δ＝0，即1 600(v2－675)＝0，则v＝15eq \r(3)， 当0<v<15eq \r(3)时，两船不会相遇． 当15eq \r(3)≤v<30时， 此时t＝eq \f(－300±20\r(v2－675),v2－900). 当t＝eq \f(－300－20\r(v2－675),v2－900)时， 令x＝eq \r(v2－675)，则x∈[0,15)， t＝eq \f(－300－20x,x2－225)＝eq \f(－20,x－15)≥eq \f(4,3)， 当且仅当x＝0，即v＝15eq \r(3)时，等号成立； 当t＝eq \f(－300＋20\r(v2－675),v2－900)时， 同理可得eq \f(2,3)<t≤eq \f(4,3). 综上可得，当15eq \r(3)≤v<30时，t>eq \f(2,3). (2)当v＝30时，可求得t＝eq \f(2,3)； 综合(1)(2)可知，当v＝30时，t取得最小值，且最小值是eq \f(2,3)， 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20， 所以可设计方案如下： 小艇的航行方向是北偏东30°，航行速度为30海里/时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇． [母题变式] (变条件、变结论)题中若小艇无最高航行速度限制，其他条件不变，若希望相遇时小船行距最小，则小艇航行速度为多少？ 解析　设相遇时小艇航行距离为s， 则s＝eq \r(900t2－600t＋400)＝eq \r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300)， 故当t＝eq \f(1,3)时航行距离最小为s＝10eq \r(3)海里， 此时v＝eq \f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq \r(3)(海里/时)，即小艇以30eq \r(3)海里/时的速度航行，相遇时航行距离最小． [素养聚焦]　通过利用正弦定理、余弦定理解实际应用题，把数学建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 解决实际问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题． (2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题． (3)把数学问题还原到实际问题中去．　 [触类旁通] 3．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 解析　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快(在D点)截获走私船，则CD＝10eq \r(3)t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)×2·cos 120°＝6. ∴BC＝eq \r(6)海里． 又eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin∠ABC)， ∴sin∠ABC＝eq \f(ACsin A,BC)＝eq \f(2sin 120°,\r(6))＝eq \f(\r(2),2)， ∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理， 得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)， ∴sin∠BCD＝eq \f(BDsin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2). ∴∠BCD＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°， ∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq \r(6). ∴t＝eq \f(\r(6),10)小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要eq \f(\r(6),10)小时，即大约15分钟． [缜密思维提能区]　　　　　　　 　　易错辨析 用正弦定理、余弦定理解决实际应用问题 [典例]　某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则这人能到达A城还要走_______千米． [解析]　如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中， 由余弦定理得 cos β＝eq \f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD) ＝eq \f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq \f(1,7)， 所以sin β＝eq \f(4\r(3),7). 又sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos 60°－sin 60°cos β ＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,7)＝eq \f(5\r(3),14)， 在△ACD中， 由正弦定理得eq \f(21,sin 60°)＝eq \f(AD,sin α)， 所以AD＝eq \f(21·sin α,sin 60°)＝15(千米)． [答案]　15 [纠错心得] 在综合应用正、余弦定理解三角形时，应恰当选择应用哪个定理，避免产生增解. 知识落实 技法强化 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. (1)应用正弦定理、余弦定理解决实际应用问题应用了数形结合的思想方法． (2)注意不要弄错实际问题中的方位角. $$