江苏省高邮中学2024-2025学年高三下学期数学周末测试（3.22）

2024/2025学年度第二学期高三数学周末自主测试 2025.03.22 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数，则对任意实数，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（ ） B A. B. C. D. 4.若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（ ） 　A．函数无最值 B．只有最大值为 　C．只有最小值为 D．最小值，最大值为 5.已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6.设数列前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若，则（    ）A A． B．的展开式中的的系数为56 C．的展开式中的各项系数之和为0 D．，其中i为虚数单位 10.以下列说法中正确的是（    ） A．回归直线至少经过点，，…，中的一个点. B．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强. C．已知随机变量x服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则. D．设服从正态分布N（0，1），若，则. 11.下列说法中，正确的命题有（ ） A．已知随机变量服从正态分布，则 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和0.3 C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点个数为______． 13. 在，，三个地区爆发了甲型流感，这三个地区分别有%，%，%的人患了甲流.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率是________.(用分数作答) 14．设数列满足，则此数列的前2023项的和为　 　． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，，求整数的最大值. 16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 17.若无穷数列满足是公差为k的等差数列，则称为数列. （1）若为数列，，，求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为，，，为数列，求证：. 18.已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴长等于4． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求证：直线过定点． 19.设函数，a≠0，a∈R． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＝1且m∈（0，ln2）时，函数（x＞0），证明：F（x）存在极小值点x0，且m＋lnx0＜0． 自主测试参考答案 选择题 CCBBDDCB AC BCD BC 填空题 4 15. 【1】函数的定义域为，又， 则当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【2】依题知，恒成立，即恒成立， 化简为恒成立．设， 则，当时，恒成立， 故在上单调递增，因为，所以不符合题意； 当时，又因为，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 只需即可， 整理得．设，，则恒成立，所以在上单调递增，又，且，因为，所以，则，所以， 所以在上存在唯一零点，当时，当时， 因为，所以，所以整数的最大值为． 16.解：（1）若，则， 解得或（舍， 由为三角形内角可得； （2）中，由余弦定理可得，①， 中，，，则，， 由余弦定理得②， ①②联立整理得，， 即， 因为，， 所以，代入到①可得，， 则的面积． 17、（1） （2）（1）因为为数列，， 所以是首项为1，公差为0的等差数列， 所以.又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得. （2），，所以， 依题意是首项为2，公差为2的等差数列， 所以. 因为，，，…，， 以上个等式累加，得，， 所以，. 因为满足上式，所以. 当时，， 且满足上式，所以. 因为， 所以. 18.（1）解：由题意，解得，，， 所以椭圆的标准方程为：； （2）证明①：设的方程为，与， 联立消去，可得：， 设，， 则恒成立， ②设的方程为，与联立， 消去，得， 设，， 则 ， 由，即，，此时 的方程为，故直线恒过定点 19.（1）解：因为， 若a＞0， 当：x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，＋∞）上为减函数； 当x∈（-∞，1）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）上为增函数． 若a＜0， 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，＋∞）上为增函数； 当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，1）上为减函数． （2）证明：因为a＝1，所以，x∈（0，＋∞）， 则， 因为ex＞0，所以F'（x）与同号． 设，x∈（0，＋∞），则， 所以对任意x∈（0，＋∞），都有t'（x）＞0，所以t（x）在（0，＋∞）上单调递增． 因为m∈（0，ln2），t（1）＝m＋1＞0，， 所以存在，使得t（x0）＝0． 当时，F'（x）＜0，F（x）单调递减； 当x∈（x0，1）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增； 所以若m∈（0，ln2），存在，使得x0是F（x）的极小值点． 由t（x0）＝0得：， 即． 故m＋lnx0＜0． 学科网（北京）股份有限公司 $$