专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算重难点题型专训（大题型+15道提优训练） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中面积综合 知识点一：平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向平移，如，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的顶点在轴上，点在轴上，点的坐标为．有一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿循环运动，第2025秒时点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，依次扩展下去，则的坐标为 ． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 【例2】（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在单位为的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，弹性小球从出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为，第二次碰到正方形的边时的点为…，第n次碰到正方形的边时的点为，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上、斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·云南文山·期中）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动个单位至点，…，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 【例3】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，将矩形沿x轴正方向连续滚动2024次，点A依次落在点的位置，则点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点坐标是．则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为 ． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，，则点的坐标为 ． 12．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，则点的坐标为 ． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 【例4】（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 13．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 14．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 15．（23-24七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，一个动点按一定的规律运动，已知，，，，，···，则点的坐标为 ． 16．（2024·山东德州·二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点的坐标为，第2个点的坐标为，第3个点的坐标为……根据这个规律，第2024个点的坐标为 ． 【经典例题五 求规则图形的面积】 【例5】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 17．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）平面直角坐标系中，由点组成的的面积是 ． 18．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）在直角坐标平面内有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是、、，那么这个三角形的面积等于 . 19．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为 ． 20．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点．如：点与点互为等积点．那么以点和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是 ． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 【例6】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，在平面直角 坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将沿x轴正方向平移个单位长度得到，若，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ．    22．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标为、、，连接交于点D，则三角形的面积 ． 23．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段的对应线段，连接，．若在轴上存在一点，连接，，且的面积是面积的倍，则满足条件的所有点的坐标 ． 24．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将△OEF向下平移2个单位长度得到，与x轴交于点G，则阴影部分面积是 ． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 【例7】（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 25．（2018·天津·模拟预测）如图，已知三点，，，设点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，点的坐标为 ． 26．（23-24七年级下·福建厦门·期末）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点. 若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的取值范围是 . 27．（23-24七年级·福建龙岩·期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内． （1）如图1，写出点B的坐标（　 　）； （2）如图2，若过点C的直线CD交AB于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，则点D的坐标（　 　）； （3）如图3，将（2）中的线段CD向下平移，得到C′D′，使C′D′平分长方形OABC的面积，则此时点D′的坐标是（　 　）． 28．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知：A（0，3），B（3，0），C（3，4）三点，点P（x，﹣0.5x），当△ABP的面积等于△ABC的面积时，则P点的坐标是 ． 【经典例题八 分类讨论型图形的面积】 【例8】（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，，满足方程组，连接，，，若的面积等于，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 29．（23-24八年级下·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．（23-24七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 31．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且满足：． (1)请求出点、点的坐标； (2)连接，当轴时，求的值； (3)在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是8，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 平面直角坐标系中面积综合】 【例9】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 32．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； (3)在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为．    (1)平移线段得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，若点的坐标为，求点的坐标； (2)如图②，平移线段到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接．若三角形的面积等于7，求点C、D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点，使（、分别表示三角形、三角形的面积）？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，． (1)若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是 ； (2)分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且． ①求四边形的面积； ②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标． 35．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），此时四边形为平行四边形，且面积为． (1)求点的坐标； (2)连接与轴交于点，求的值； (3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点，坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，点，，，，点A在x轴正半轴上，线段与线段交于点D．若与面积相等，则点A到直线的距离是（    ） A．4 B． C． D．3 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（    ）． A．或 B． C．或 D． 6．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 7．（23-24七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 8．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置…，按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点的坐标是 ． 11．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 13．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为______； (2)求的面积； (3)若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算重难点题型专训（大题型+15道提优训练） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中面积综合 知识点一：平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，能够找到规律是解题关键． 根据坐标可知，，求出循环爬行一周用时秒，然后计算，根据余数可确定最后的位置． 【详解】解：∵， ∴，， ∵一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行， ∴爬行一周所需的时间为：秒， ∵， ∴在第2023秒时，瓢虫在点， ∴到第2024秒时，瓢虫从点往点跑了秒钟，即跑了2个单位长度， 故在第2024秒时，瓢虫的坐标为， 故选：A． 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向平移，如，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，得出规律第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，结合得出第个点的坐标为，第个点的坐标为，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，点，作为第二列，点，，作为第三列，依次类推，第一列有1个点，第二列有2个点，第三列有3个点，…， 故第列有个点，且第列最下面的点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标为，第35个点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标是， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内， ， 点在第三象限， ，，…， ． 故选：D． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的顶点在轴上，点在轴上，点的坐标为．有一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿循环运动，第2025秒时点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解决问题的关键是探究出循环移动的规律，运用规律解答． 根据点的坐标求得矩形的周长，然后根据点的运动速度确定一周所需时间，从而确定答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ， ∴矩形的周长为20， ， ∴第2025秒时点的坐标是， 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，依次扩展下去，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第二象限，再根据第二象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， 又∵第二象限的点，点，点，……， ∴点． 故答案为：． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 【例2】（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在单位为的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，解题的关键是主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质得到各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半， ，，，，，，……， 当下标为偶数时的点的坐标规律如下： 当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半， 当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半的相反数， 每四个字母为一组， ， ∴点在第四象限，横坐标为2，纵坐标是， 的坐标为为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，弹性小球从出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为，第二次碰到正方形的边时的点为…，第n次碰到正方形的边时的点为，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是点的坐标、坐标与图形变化-对称，根据轴对称的性质分别写出点的坐标为、 点的坐标、点的坐标、点的坐标，从中找出规律，根据规律解答，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ……，观察可得，每次一循环出现， ∵， ∴点的坐标为， 故选C． 6．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在轴上、斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，观察图形得到规律：当下标是、、…时，横坐标为2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第个点的坐标即可，得出点的坐标变化规律是解此题的关键． 【详解】解：观察点的坐标发现：当下标为偶数是的点的坐标，得到规律： 当下标是、、…时，横坐标为2，纵坐标为下标的一半， ，能被4整除， 的横坐标为2，纵坐标为， ， 故选：C． 7．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， 由于， 所以经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 故选D． 8．（24-25七年级上·云南文山·期中）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动个单位至点，…，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键． 根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上，纵坐标是次数的一半，然后写出即可． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 故答案为： 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 【例3】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键； 观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为， 故选：C 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，将矩形沿x轴正方向连续滚动2024次，点A依次落在点的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：点的坐标，图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．先求出，…，找到规律求解． 【详解】解：由题意得：从开始翻转，当旋转到，时，回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环． ∵，， ∴， 当时，即，解得：， ∴横坐标为，纵坐标为2， 则的坐标， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点坐标是．则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的变换规律，正确归纳类推出一般规律是解题关键．关于轴对称的点的坐标变换规律“横坐标互为相反数，纵坐标相同”，关于轴对称的点的坐标变换规律“横坐标相同，纵坐标互为相反数”，据此归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，经过第1次变换后点的对应点的坐标为， 经过第2次变换后点的对应点的坐标为， 经过第3次变换后点的对应点的坐标为， 经过第4次变换后点的对应点的坐标为， 归纳类推得：这个变换是每4次为一个循环， ， 经过第2024次变换后点的对应点的坐标与经过第4次变换后点的对应点的坐标相同， 即为， 故答案为：． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识．根据点得，再根据旋转的过程寻找规律即可求解． 【详解】解：， 所以点； 继续旋转得， ； … 发现规律： ． 所以点的坐标为． 故答案为：． 12．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识．根据点得，再根据旋转的过程寻找规律即可求解． 【详解】解：∵，点， ∴， 根据旋转可知： ∴， 所以点； 继续旋转得， ； … 发现规律： ． 所以点的坐标为． 故答案为：． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 【例4】（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第50个点在第10列上， ∴奇数列的坐标为 ； 偶数列的坐标为 ， 由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行， 将10代入上式得， 即， 故选A． 13．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出点的坐标4个一循环是解题的关键．根据伴随点的定义可找出：，，，，，，根据点的坐标的变化可找出点的坐标4个一循环，再结合可得出点的坐标与点的坐标相同，此题得解． 【详解】解：，，，，， ， 点的坐标4个一循环． ， 点的坐标与点的坐标相同． 的坐标为， 故答案为：，． 14．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，一个动点按一定的规律运动，已知，，，，，···，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题目所给点的规律得出，从第二个点开始，每四个点为一组，每组横坐标和纵坐标绝对值和组数相同，每组从第一个点到第四个点依次在第一象限到第四象限，即可进行解答， 解题的关键是观察题目所给点的坐标，总结出点的坐标变化规律． 【详解】解：根据题意可得：从第二个点开始，每四个点为一组，每组横坐标和纵坐标绝对值和组数相同，每组从第一个点到第四个点依次在第一象限到第四象限， ∵， ∴点是第五组的第四个点， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 16．（2024·山东德州·二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点的坐标为，第2个点的坐标为，第3个点的坐标为……根据这个规律，第2024个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键． 根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为，由图可知，再往前推1个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为，由图可知，再往前推1个点的坐标为：． 故答案为： 【经典例题五 求规则图形的面积】 【例5】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 作轴于．只要证明，推出，由，推出，推出，再利用勾股定理求出，最后求面积即可． 【详解】解：作轴于． ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴正方形的面积． 故选：C． 17．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）平面直角坐标系中，由点组成的的面积是 ． 【答案】12 【分析】根据A和两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求． 【详解】解：点， ， ， 点在直线上， ∵直线AB：与直线平行，且平行线间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及求相应线段的长，是解题的关键． 18．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）在直角坐标平面内有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是、、，那么这个三角形的面积等于 . 【答案】12 【分析】首先利用坐标系画出△，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示：△的面积为：， 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形性质，关键是建立坐标系，确定、、三点位置． 19．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 首先由题意得：，然后知的最小值是，可得“矩面积” 的最小值． 【详解】解：对于点，，， 其“水平底” ， 根据题意得：的最小值为：1， ，，三点的“矩面积”的最小值为4． 故答案为：4． 20．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点．如：点与点互为等积点．那么以点和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是 ． 【答案】16 【分析】该题是新定义问题，主要考查了坐标与图形，根据题意得出点的等积点是解题的关键． 先根据等积点的定义得出点的等积点，再画图求解即可 【详解】解：根据互为等积点的定义得出点的等积点为， 故以为顶点的四边形的面积 ． 故答案为：16． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 【例6】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，在平面直角 坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将沿x轴正方向平移个单位长度得到，若，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质，求出，四边形的面积等于四边形的面积，求出四边形的面积是，即可的答案． 【详解】解：沿x轴正方向平移个单位长度得到， ， 四边形的面积等于四边形的面积， ， ， 四边形的面积， 四边形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是求出四边形的面积． 21．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ．    【答案】1012 【分析】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出，，的面积，总结出一般规律，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ，，，……， ∵， ∴， ， ， ， …… ， 当时，解得：， ∴， 故答案为：1012． 【点睛】本题主要主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形和题意，总结出各个三角形面积变化的一半规律． 22．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标为、、，连接交于点D，则三角形的面积 ． 【答案】/ 【分析】利用等高三角形面积之比等于对应底的比，得到，进而得到，，再求出，即可得到三角形的面积． 【详解】解：过A作轴于点， ，， ， ， 、、， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，解题关键是利用等高三角形面积之比等于对应的底的比得出． 23．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段的对应线段，连接，．若在轴上存在一点，连接，，且的面积是面积的倍，则满足条件的所有点的坐标 ． 【答案】或 【分析】设点到的距离为，则，根据，列方程求的值，确定点坐标． 【详解】∵点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位， 则 的面积是面积的倍， ， 设点到的距离为，则， ， ， 解得：， ，或，． 故答案为：，或，． 【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，解题的关键是理解平移的规律． 24．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将△OEF向下平移2个单位长度得到，与x轴交于点G，则阴影部分面积是 ． 【答案】14 【分析】用的面积减去的面积即可． 【详解】解：∵点，点， ， ， ， ∴阴影部分面积是：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是关键． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 【例7】（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上 ∴设点的坐标为 依题意， 解得 ∴点的坐标是或 故选：C 25．（2018·天津·模拟预测）如图，已知三点，，，设点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，点的坐标为 ． 【答案】（-6，0）；（10，0) 【分析】先求出三角形的面积，设P（t，0），利用三角形面积公式得到•|1-t|•2=4，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标． 【详解】解：三角形ABC的面积=3×4×2×42×1×2×3=4； 设P（t，0）， ∵三角形ABP与三角形ABC的面积相等， ∴， 解得：t=10或t=， ∴P点坐标为（，0）或（10，0）． 故答案为：（，0）或（10，0）. 【点睛】本题主要考查的是坐标与图形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是正确求出△ABC的面积． 26．（23-24七年级下·福建厦门·期末）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点. 若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】设线段AB上存在线段OP的“单位面积点”是Q，分两种进行讨论情况：①线段OP在AB的下方；②线段OP在AB的上方． 【详解】 解：设线段AB上存在线段OP的“单位面积点”是Q，分两种情况： ①线段OP在AB的下方时，， ∵OP=1，S△OPQ=1， ∴Q到OP的距离为 ， 而OA=2，BP=3， ∴可将线段OP沿y轴正方向平移t≤3-2=1个单位长度， 又t＞0， ∴0＜t≤1； ②线段OP在AB的上方时，， ∵OP=1，S△OPQ=1， ∴Q到OP的距离为， 而A（0，2），B（1，3）， ∴可将线段OP沿y轴正方向平移2+2≤t≤3+2，即4≤t≤5个单位长度， 综上，t的取值范围是0＜t≤1或4≤t≤5． 故答案为0＜t≤1或4≤t≤5． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，进行分类讨论与数形结合是解题的关键． 27．（23-24七年级·福建龙岩·期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内． （1）如图1，写出点B的坐标（　 　）； （2）如图2，若过点C的直线CD交AB于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，则点D的坐标（　 　）； （3）如图3，将（2）中的线段CD向下平移，得到C′D′，使C′D′平分长方形OABC的面积，则此时点D′的坐标是（　 　）． 【答案】（1）（3，5）；（2）（3，4）；（3）（3，2）． 【分析】（1）根据矩形的对边相等可得BC＝OA，AB＝OC，然后写出点B的坐标即可； （2）先求出长方形OABC的周长，然后求出被分成两个部分的长度，判断出点D一定在AB上，再求出BD的长度即可得解； （3）先用待定系数法求出直线CD的解析式，根据线段CD向下平移，得到C′D′，设处直线C′D′的解析式，再求出矩形OABC的中心坐标，代入直线C′D′的解析式即可得出结论． 【详解】解：（1）∵A（3，0），C（0，5）， ∴OA＝3，OC＝5， ∵四边形OABC是长方形， ∴BC＝OA＝3，AB＝OC＝5， ∴点B的坐标为（3，5）． 故答案为（3，5）； （2）长方形OABC的周长为：2（3+5）＝16， ∵CD把长方形OABC的周长分为3：1两部分， ∴被分成的两部分的长分别为16×＝12，16×＝4， ①C→B→D长为4，点D一定在AB上， ∴BD＝4﹣3＝1，AD＝5﹣BD＝5﹣1＝4， ∴点D的坐标为（3，4）， ②C→B→A→O→D长为12时，点D在OC上，OD＝1，不符合题意， 所以，点D的坐标为（3，4）． 故答案为（3，4）； （3）设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵C（0，5），D（3，4）， ∴ 解得 ∴直线CD的解析式为 ∵直线C′D′由直线CD平移而成， ∴设直线C′D′的解析式为 ∵A（3，0），C（0，5）， ∴矩形OABC的中心坐标为 ∵C′D′平分长方形OABC的面积， ∴直线C′D′过矩形OABC的中心， ∴ 解得a＝2， ∴D′（3，2）． 故答案为（3，2）． 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知矩形的性质与一次函数的性质是解答此题的关键． 28．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知：A（0，3），B（3，0），C（3，4）三点，点P（x，﹣0.5x），当△ABP的面积等于△ABC的面积时，则P点的坐标是 ． 【答案】（﹣2，1）或（14，﹣7）． 【分析】先计算△ABC的面积，根据x的正、负分两种情况进行讨论： 第一种情况：当x＜0时，如图2，根据S△ABP=S梯形AEFB-S△AEP-S△BFP，列方程可得结论； 第二种情况：当x＞0时，如图3，同理可得结论． 也可以作AB的平行线（两条），根据AB的解析式：y=-x+3，根据面积可求得平行线与y轴的交点，可得平行线的解析式为：y=-x-1和y=-x+7，最后利用P点的坐标解决问题． 【详解】解：如图1， ∵A（0，3），B（3，0），C（3，4）， ∴BC＝4，A到BC的距离为3， ∴△ABC的面积为 ＝6， 分为两种情况：第一种情况：当x＜0时，如图2， 过P作PF⊥x轴于F，过A作AE⊥PF于E， ∵A（0，3），B（3，0），P（x，﹣0.5x）， ∴AE＝﹣x，EF＝3，BF＝3﹣x，PF＝﹣0.5x，PE＝3﹣（﹣0.5x）＝3+0.5x， ∴S△ABP＝S梯形AEFB﹣S△AEP﹣S△BFP ＝（﹣x+3﹣x）•3﹣•（﹣x）•（3+0.5x）﹣•（3﹣x）•（﹣0.5x） ＝﹣x+, ∵△ABP的面积等于△ABC的面积，△ABC的面积为6， ∴﹣x+＝6， 解得：x＝﹣2， ﹣0.5x＝1， 所以此时P点的坐标为（﹣2，1）； 第二种情况：当x＞0时，如图3， 作矩形AEPF（E在y轴上）， S△ABP＝S矩形AEPF﹣S△AFP﹣S梯形OEPB﹣S△AOB＝（3+0.5x）x﹣x•（3+0.5x）﹣（3+x）•0.5x﹣＝6, 解得：x＝14， 所以此时P点的坐标为（14，﹣7）； 综上所述，则P点的坐标是（﹣2，1）或（14，﹣7）． 故答案为（﹣2，1）或（14，﹣7）． 【点睛】本题考查了三角形的面积和坐标与图形面积，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 【经典例题八 分类讨论型图形的面积】 【例8】（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，，满足方程组，连接，，，若的面积等于，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，根据题意可求得，然后分情况可得到和，据此即可求得答案． 【详解】 ，得 ． 化简，得 ． 可得 ． 同理可得，． 则． 如图①②时，可得 ． 解得 ． 如图③时，可得 ． 解得 ． 综上所述，或． 故选：D 29．（23-24八年级下·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意可以求得的值，然后再对进行讨论，即可求得的值，解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 【详解】由题意可得，“水平底”， 当时，， 则， 解得：， 故点的坐标为； 当时，， 故此种情况不符合题意； 当时，， 则， 解得：， 故选：． 30．（23-24七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点,， ， 将向下平移5个单位得线段，得矩形， ， ， ， 如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交y轴于点G， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， 过P点作交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点P坐标为或， 故答案为：或． 31．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且满足：． (1)请求出点、点的坐标； (2)连接，当轴时，求的值； (3)在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是8，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)在坐标轴上存在点，使得三角形的面积是8，或或或 【分析】本题主要查了非负数的性质，坐标与图形： （1）根据非负数的性质可得，从而得到a，b的值，即可求解； （2）根据轴，即可求解； （3）根据题意，分两种情况：①当点在轴上；②当点在轴上，即可求解． 【详解】（1）解：， ，解得， 点，点， ，； （2）解：，， 当轴时，； （3）解：存在， 根据题意，分两种情况：①当点在轴上；②当点在轴上； 当点在轴上，分点D在点A左、右两种情况，如图所示： 设， 三角形的面积是8，，， ，即， 解得或， 则或； 当点在轴上，分点D在点B上、下两种情况，如图所示： 设， 三角形的面积是8，，， ，即， 解得或， 则或； 综上所述，在坐标轴上存在点，使得三角形的面积是8，则或或或． 【经典例题九 平面直角坐标系中面积综合】 【例9】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）由坐标可得，轴，轴，根据计算即可； （2）连接，分两种情况：当点B在左侧时，点B在右侧时，分别画出图形，根据面积关系求解即可； （3）先求出，结合（2）得到的关系建立方程，求出的值，再结合面积求出点D的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴ （2）连接，当点B在左侧时，如图所示， 当时，解得： 此情况t的取值范围是； 当点B在右侧时，如图所示， 此情况t的取值范围是； 综上可得：； （3）法一：如图，当与延长线相交时， ∵ ∴ ∴，，， ∴ ∴， 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得：， ∴； 法二：设 当与延长线相交时，如图所示， ∵ ∴ 设，则 ∵，， ，则 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得： 此时点B坐标是（，2）则= 解得：， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形的面积，与坐标轴平行的点的坐标特征，三角形的面积公式，根据坐标特征求出面积是解题的关键． 32．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； (3)在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形，角的和差，割补法求图形面积等知识，注意分类讨论与数形结合． （1）设点，则可确定平移，从而可确定点D的坐标，由求得a的值，则可得C、D的坐标； （2）由平移得，得，结合已知与图形得；再由，可得，此即与的数量关系； （3）由已知面积关系可求得面积；分点P在x轴上方与下方两种情况，利用面积关系求得的长，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：设点， 由于平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， 所以点B向左平移3个单位长度再向上平移a个单位长度得到点C，点A按此平移得到点D，点D的坐标为， 由于，则， 解得：， 则点C的坐标为，点D的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由平移性质知：， ， ，， ； ， ， 即； （3）解：由（1）知，； ， ； ①当点P在x轴上方时，如图1， 由于， 解得：， ； ②当点P在x轴下方时，如图2， 由于， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． 33．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为．    (1)平移线段得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，若点的坐标为，求点的坐标； (2)如图②，平移线段到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接．若三角形的面积等于7，求点C、D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点，使（、分别表示三角形、三角形的面积）？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了点的平移，坐标与图形，绝对值方程等知识．熟练掌握点的平移，坐标与图形，绝对值方程是解题的关键． （1）由点的坐标为，平移到点的坐标为，可知点坐标向左平移5个单位，向上平移4个单位，进而可求点的坐标； （2）由点在轴的正半轴上，点在第二象限内，则线段向左平移3个单位，再向上平移个单位，，，如图，连接，由 ，可求，然后作答即可； （3）设，则，由，可得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，平移到点的坐标为， ∴点坐标向左平移5个单位，向上平移4个单位， ∴点平移到点的坐标为， ∴； （2）解：∵点在轴的正半轴上，点在第二象限内， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移个单位， ∴，， 如图，连接，    ∴ ， 解得，， ∴，； （3）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得，或， ∴存在，点的坐标为或． 34．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，． (1)若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是 ； (2)分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且． ①求四边形的面积； ②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)①四边形的面积；②点C的坐标为或 【分析】本题考查了坐标的平移，两点间的距离，三角形面积等知识， （1）先表示出，，根据与坐标轴平行可知，的横坐标相等或者纵坐标相等，据此作答即可； （2）①结合，表示出，，画出图形，可知四边形是梯形，则面积可求；②，，分若和若两种情况讨论，解答即可． 【详解】（1）根据题意可得：，， ∵与坐标轴平行，且， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①∵， ∴， 由平移得，， ∴四边形的面积． ②，， 分两种情况： 若，则，解得：． ∴,， ∴， 解得：， ∴． 若，则，解得：， ∴，． ∴， 解得：， ∴． 综上所述：点C的坐标为或． 35．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），此时四边形为平行四边形，且面积为． (1)求点的坐标； (2)连接与轴交于点，求的值； (3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为， (2) (3)的值是定值3 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形； （1）根据四边形的面积为8，求出，再由平移的性质得到，即可求出点D的坐标； （2）解法1：先求出，再由，得到，又由，求出，则；解法2：由，求出，则，即可得到； （3）分当点在线段上时，当点在上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴， ∵由平移性质可知，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：解法1：∵和同底， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵和同高， ∴； 解法2：∵， ∴，即 ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为秒， 由题意： ∴， ， ∴， ∴， ∴ ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ∴ 综上所述，的值是定值3． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点，坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴负半轴上，纵坐标为0， ∵， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为, ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据已知点的坐标寻找出点的变化规律是解题的关键． 先根据…得到点的坐标的变化规律，再根据坐标规律求解即可． 【详解】解：因为，，，，，，，， … （n为正整数）， 所以，解得：， 所以． 故选C． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的规律问题，掌握坐标变化的特点是解题的关键．由行走路线可知移动四次为一组，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，，， ∴． ∵即点与点在同一水平直线上，且线段 故选 B． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，点，，，，点A在x轴正半轴上，线段与线段交于点D．若与面积相等，则点A到直线的距离是（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴ ∴ ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴，即：． 解得：． 故选：B． 5．（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（    ）． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的距离，一元一次不等式的应用，正确理解“矩面积”的定义是解题关键．由题意可知，、、三点坐标的“水平底”，再分三种情况讨论，分别求出“铅垂高”，再根据“矩面积”列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，、、三点坐标的“水平底”， 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”，不符合题意； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：， 即、、三点矩面积不小于21时，t的取值范围为或， 故选：C． 6．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，先求解的中点，设，求解，结合三角形与三角形的面积相等，再建立方程求解即可； 【详解】解：如图，点，， ∴的中点， ∴； 设，而三角形与三角形的面积相等， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； 故答案为：或 7．（23-24七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点,， ， 将向下平移5个单位得线段，得矩形， ， ， ， 如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交y轴于点G， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， 过P点作交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点P坐标为或， 故答案为：或． 8．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型点的坐标解，观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，个数一个循环，进而可得经过第20215次运动后，动点的坐标． 熟练推算出规律是解题的关键． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， 按这样的运动规律， 发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是1，0，2，0，四个数一个循环， 所以， 所以经过第2025次运动后， 动点的坐标是． 故答案为：． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， 又∵第二象限的点，点，…… 设点的角标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置…，按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律． 列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2024次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为______； (2)求的面积； (3)若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为4 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，非负数的性质和坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）直接根据非负数的性质得出的值即可得出答案； （2）根据题意得出点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）设点，分情况进行讨论：当点位于点左侧时，不合题意；当点位于之间时；当点位于点右侧时；根据题意表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍列式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ∵点， ∴点，点， 故答案为：； （2）解：将点向右平移8个单位长度，得到点， 则； （3）解：设点的坐标为， 当点位于点左侧时，，不符合题意； 当点位于之间时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为； 当点位于点右侧时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 15．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【分析】此题考查了坐标与图形，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据算术平方根和平方的非负性求出，，然后根据平方根的性质求出； （2）首先求出点M到x轴的距离为，然后根据结合三角形面积公式代入求解即可； （3）首先求出三角形的面积，然后分两种情况讨论：当点M在第四象限时和当点M在第一象限时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵a，b是同一个数的两个不相等的平方根 ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M在第四象限，点M的坐标为 ∴点M到x轴的距离为 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴三角形的面积 当点M在第四象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴； 当点M在第一象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$