专题01 用坐标描述平面内点的位置重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题01 用坐标描述平面内点的位置重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题中用坐标表示位置 题型十一 用方向角和距离确定物体的位置 题型十二 根据方位描述确定物体的位置 题型十三 求矩形在坐标系中的坐标 知识点一：平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用 1、平面直角坐标系 在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。 2、象限 平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。 在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。 3、点的坐标： 用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。 例如：上图中点A的坐标为（3，4） 点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。 【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下: 点所在的象限或坐标 第一象限 第一象限 第一象限 第一象限 原点 X轴 Y轴 点的横坐标 + - - + 0 任意实数 0 点的纵坐标 + + - - 0 0 任意实数 知识点二：根据坐标描出点的位置 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图是北京植物园游览导游图的一部分．在图中，分别以正东正北方向为行和列，一个小格代表一个单位长度．梅梅根据上图和题目中给出的条件做出判断，你认为描述正确的是（    ）． A．当表示木兰园的点的数对为时，表示宿根园的点的数对为． B．当表示海棠园的点的数对为时，表示芍药园的点的数对为． C．当表示芍药园的点的数对为时，表示丁香园的点的数对为． D．当表示丁香园的点的数对为时，表示牡丹园的点的数对为． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 5．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，小鱼家在处，小云家在处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走： 路线①：． 路线②：． （1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短； （2）请你依照上述方法再写出一条路线． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，轴，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P在y轴上，且，则点P的坐标为 ． 9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)在上图中作出． (2)把向下平移5个单位，再向左平移2个单位，作出平移后的，并写出点的坐标． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知点，，下列结论错误的是（　　） A．点P在第四象限 B．点P到x轴的距离为2 C． D．轴 10．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，，点，点，若，，围成的三角形面积为，则点的坐标为(    ) A． B． C．或 D．或 11．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点到轴、轴的距离的较大值等于点到轴、轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（2024·山东临沂·模拟预测）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如果点在x轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 ． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． （3）若点，在第四象限，则的取值范围是 ． （4）已知点点的横坐标比纵坐标大3，则的坐标是 ． 15．（24-25八年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； (3)若点为“完美点”，求点的“短距”． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知，，若点A位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 17．（24-25八年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，第二象限的点到轴的距离与到轴的距离相等，则 ． 18．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在y轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． (3)若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值； 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．点到轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C．若，则点在轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标与纵坐标异号 19．（2023·山西晋中·模拟预测）如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为 ． 20．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，若点在轴右侧，轴且． (1)点的坐标为______，并在图中画出三角形； (2)若点在轴上运动，连接，当线段的长最小时，点的坐标为______，依据是___________． 21．（15-16八年级上·浙江绍兴·期末）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)的面积是 ； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标． 24．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级下·福建福州·期中）找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【经典例题十 实际问题中用坐标表示位置】 【例10】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·广东珠海·阶段练习）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示． (1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______； (2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______； (3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______． 30．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，一只甲虫在 的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负． 如果从A到B记为： ，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ( ， )， ( ， )， ； (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置； (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【经典例题十一 用方向角和距离确定物体的位置】 【例11】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（    ） A．南偏西50°，距离5km B．南偏西40°，距离5km C．北偏东40°，距离5km D．北偏东50°，距离5km 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并延长至点，使； (3)画点，使点在点的东北方向，且点在点西北方向； (4)画点，使最小，并写出画图的依据． 32．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一个小正方形的对角线长．表示横向的数为3，纵向的数为8的点． (1)请描出以下四个点 ①点西偏北方向处的点； ②点东偏北方向处的点； ③点东偏南方向处的点； ④点东偏北方向处的点． (2)顺次连接（1）中四个点得到四边形．请直接写出四边形的面积占整个图形面积的________． 33．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米． (1)飞机A在机场______偏______方向，距离是______千米； (2)飞机B在机场______偏南______方向，距离是______千米； (3)飞机C在机场南偏东，距离是50千米，请在平面上标出C的位置． 【经典例题十二 根据方位描述确定物体的位置】 【例12】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下图为小莉与小莹的微信对话记录．据图中两个人的对话记录，有一种走法能从邮局出发走到小莉家，此走法为（    ） A．向北直走400米，再向东直走300米 B．向北直走500米，再向西直走100米 C．向北直走100米，再向西直走500米 D．向北直走200米，再向东直走300米 34．（24-25七年级上·山西长治·开学考试）作图计算 下面每个小正方形的边长表示，请你按要求填空或作图． (1)图中点记作(___________，___________)，那么点在点的___________方向，距离___________处； (2)以边所在的直线为对称轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①； (3)画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②；在这个过程中，三角形扫过的面积是___________； (4)把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； (5)如果把三角形绕边旋转一周形成了一个几何体，它的体积是___________．（取） 35．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 36．（23-24八年级·全国·假期作业）如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题： (1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置； (2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km处，请在图中标出小强家的位置． 【经典例题十三 求矩形在坐标系中的坐标】 【例13】（2024·山东威海·二模）如图，矩形为台球桌面示意图．小球起始位置在处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（   ）    A． B． C． D． 37．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，下列各点是矩形“梦之点”的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，矩形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过次翻滚后点对应点记为的坐标为 ． 39．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）一个矩形在直角坐标平面上的三个顶点的坐标分别是（﹣2，﹣1）、（3，﹣1）、（﹣2，3），那么第四个顶点的坐标是 ． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为 C．若中，则点P在x轴上 D．点一定在第二象限 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；同时，另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第点P与点Q第五次相遇时的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·西藏拉萨·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，长度为4的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点A到x轴的距离为6，到y轴的距离为7． （1）若点A在第二象限，则其坐标为 ； （2）若点A在x轴的下方，则其坐标为 ； （3）若点A在y轴的左侧，则其坐标为 ． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，以为顶点，轴正半轴上选点、…作边长为1、2、3、的正方形、、、，其中、…在轴的正半轴上．则点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为 ； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·重庆南川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移个单位，再向左平移个单位后得到的（标出对应字母）； (2)写出三个顶点的坐标； (3)求的面积． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 13．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知点． (1)若点 P 在 y轴上，求点 P 的坐标； (2)若点 P 到两坐标轴的距离相等，求点 P 的坐标． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，且．C为x轴负半轴上一点，且满足三角形的面积为15． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图①，平移直线使其与x轴交于点C，与y轴交于点E，求点E的坐标； (3)如图②，若点在平行于x轴的直线l上，且满足三角形的面积为10，求m的值． 15．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，且， (1) ______，________ (2)如图，若点E是第一象限内一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 用坐标描述平面内点的位置重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题中用坐标表示位置 题型十一 用方向角和距离确定物体的位置 题型十二 根据方位描述确定物体的位置 题型十三 求矩形在坐标系中的坐标 知识点一：平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用 1、平面直角坐标系 在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。 2、象限 平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。 在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。 3、点的坐标： 用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。 例如：上图中点A的坐标为（3，4） 点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。 【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下: 点所在的象限或坐标 第一象限 第一象限 第一象限 第一象限 原点 X轴 Y轴 点的横坐标 + - - + 0 任意实数 0 点的纵坐标 + + - - 0 0 任意实数 知识点二：根据坐标描出点的位置 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字： 第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字： 第5行的第一个数字： …..， 设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得 设第n行，从左到右第m个数为 当时 ∴ ∵为整数 ∴ ∴ ∴， 252表示的有序数对是 故选：C． 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图是北京植物园游览导游图的一部分．在图中，分别以正东正北方向为行和列，一个小格代表一个单位长度．梅梅根据上图和题目中给出的条件做出判断，你认为描述正确的是（    ）． A．当表示木兰园的点的数对为时，表示宿根园的点的数对为． B．当表示海棠园的点的数对为时，表示芍药园的点的数对为． C．当表示芍药园的点的数对为时，表示丁香园的点的数对为． D．当表示丁香园的点的数对为时，表示牡丹园的点的数对为． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有序数对的知识，理解有序数对的概念是解题关键．根据各选项的描述确定原点的位置，然后再分析判断即可． 【详解】解：A. 当表示木兰园的点的数对为时，表示宿根园的点的数对为，故该选项描述错误，不符合题意； B. 当表示海棠园的点的数对为时，表示芍药园的点的数对为，故该选项描述错误，不符合题意； C. 当表示芍药园的点的数对为时，表示丁香园的点的数对为，故该选项描述正确，符合题意； D. 当表示丁香园的点的数对为时，表示牡丹园的点的数对为，故该选项描述错误，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有序数对，根据题意可得第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方，据此可确定数2025为第45行第一列数，则数2013在第45行，再由即可确定数2013的列数，故可得到答案． 【详解】解：观察可知，第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方， ∵， ∴数2025为第45行第一列数， ∴数2013在第45行， ∵， ∴数2013在第45行第13列，即数2013对应的有序数对为， 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出一般规律是解题关键．由题意可知，第排最后一个数字为，进而得出第63排最后一个数字为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第排恰好排个数， 第排最后一个数字为， 当时，， 即第63排最后一个数字为， ， 2024在第排第8个数， 2024可用有序实数对表示为， 故答案为： 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【答案】(1)，；，0；， (2)见解析 (3)16 【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可． （2）由可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1格，下移2格即是甲虫P处的位置； （3）由知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，． 故答案为：，；，0；，； （2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：，图中P的即为所求．    （3）解：∵甲虫的行走路线为， ∴甲虫走过的总路程． 5．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，小鱼家在处，小云家在处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走： 路线①：． 路线②：． （1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短； （2）请你依照上述方法再写出一条路线． 【答案】（1）作图见解析，长度相等；（2）作图见解析 【分析】（1）根据有序实数对的意义即可画出路线①②，再利用平移的性质解答即可； （2）画出路线（10，8）→（10，4）→（4，4）即可． 【详解】解：（1）路线①②如图所示．根据平移的性质可知它们的长度相等． （2）（答案不唯一）画出路线③：，如图所示： 【点睛】本题考查了利用数对确定位置和路线，熟练掌握有序数对的意义是关键． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，轴，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，直线轴，，则直线上的任何一点的横坐标都是，再根据线段的长度，即可在点A的上方或下方确定点B的坐标，这样即可找出正确的选项． 【详解】解：轴，， 点B的横坐标是， ， 当点B在点A的上方时，点B的坐标为：即， 当点B在点A的下方时，点B的坐标为：即， 故选：D． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴， ∵轴， ∴设 若， 则， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 故选：A． 8．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P在y轴上，且，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据题意画出图形分情况讨论，熟练的掌握坐标轴上的点的坐标特征是解题的关键．根据题意，点P在y轴上，可能在y轴正半轴，也可能在y轴的负半轴，画出图形后根据三角形的面积求出点的长度，即可求出点P的坐标． 【详解】点P在y轴上时，如图； 的高点A到y轴的距离， ， ∴， 故点或． 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)在上图中作出． (2)把向下平移5个单位，再向左平移2个单位，作出平移后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据A，B，C的坐标描出点，顺次连接即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接可得，然后写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：为所求作，． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知点，，下列结论错误的是（　　） A．点P在第四象限 B．点P到x轴的距离为2 C． D．轴 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，以及象限的坐标特点，牢记象限内及坐标轴上的点的特点是关键．根据直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特点、点到坐标轴的距离分别进行判断，即可解题． 【详解】解：因为第四象限内的点，横坐标大于零，纵坐标小于零，且点P坐标为， 所以点P在第四象限，正确． 故A选项不符合题意． 因为点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值， 所以点P到x轴的距离为：，原结论错误． 故B选项符合题意． 由点P和点Q坐标可知， ，正确． 故C选项不符合题意． 因为P，Q两点横坐标相等， 所以轴，正确． 故D选项不符合题意． 故选：B． 10．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，，点，点，若，，围成的三角形面积为，则点的坐标为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据已知得出，，点到轴的距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：点，，点，点， ，点到轴的距离为， ， 即， ， 点的坐标为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图象，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 11．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，对于不同的两点M，N，若点到轴、轴的距离的较大值等于点到轴、轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点，互为“最距等点”；点，互为“最距等点”．已知点与点互为“最距等点”，则的值为 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，绝对值的计算，理解“最距等点”的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键．根据“最距等点”的定义得出或，分别解方程即可得出答案． 【详解】解： 点与点互为“最距等点”， 或， ①当时，或， 当时，解得， ，，符合题意， 当时，解得， ，，符合题意， ②当时，或， 当时，解得， ，，符合题意， 当时，解得， ，，不符合题意，舍去． 综上所述，或． 故答案为：0或4． 12．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点到坐标的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，， 点的坐标为， ，， ； （2）解：， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（2024·山东临沂·模拟预测）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限点的坐标特征是解题的关键； 根据，，得到，，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，据此解答即可； 【详解】， a、b同号， ， ，， A． 在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； B．在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意； C．在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； D．在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意； 故选：B． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如果点在x轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算出点B的横纵坐标的值，即可得解． 【详解】解：∵在x轴上， ∴， 解得， ∴，， ∴所在的象限是第四象限． 故选：D． 14．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 ． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． （3）若点，在第四象限，则的取值范围是 ． （4）已知点点的横坐标比纵坐标大3，则的坐标是 ． 【答案】 一 【分析】本题主要考查了点坐标的特点，到坐标轴的距离，一元一次方程的应用等知识． （1）根据点到y轴的距离即为横坐标的绝对值求解即可． （2）根据点在第二象限可得出，，再判断点所在象限即可． （3）直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案； （4）根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是． 故答案为： （2）∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点在第一象限， 故答案为：一． （3）∵点，在第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． （4）∵点点的横坐标比纵坐标大3， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为：， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； (3)若点为“完美点”，求点的“短距”． 【答案】(1)1 (2)5 (3)1或2 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键． （1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可得； （2）根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得； （3）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据“短距”的定义求解即可得． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以点的“短距”为1， 故答案为：1． （2）解：∵点是“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，，此时点的坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第二象限内，不符合题意； 综上，的值为5． （3）解：∵点为“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为1； 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为2， 综上，点的“短距”为1或2． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点、解一元一次不等式组等知识．在第二象限内，横坐标小于0，纵坐标大于0.列出不等式组，解不等式组，然后求出整数解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：，因为点M的坐标都是整数， 所以． 故选：C． 16．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知，，若点A位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等． 根据直线轴，可知点A和点B的纵坐标相等，求出b的值，根据及点A位于第二象限，得出a，然后即可得出答案． 【详解】解：∵，，直线轴， ∴两点的纵坐标相等， ∴， ∵， ∴或， ∵点A位于第二象限， ∴， ∴     故选：B． 17．（24-25八年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，第二象限的点到轴的距离与到轴的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据题意可得点的横纵坐标互为相反数，据此列出算式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴和轴的距离相等， ∴， 解得， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在y轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． (3)若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了各象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． （3）根据点P到x轴，y轴距离相等，则点的横纵坐标的绝对值相等，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当点在轴上时，得， 解得：， ， 点的坐标为． （2）解：平行于轴，且， ， 解得：， ， 点的坐标为． （3）解：∵点到x轴，y轴距离相等， ∴， ∴或， 解得：或； 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．点到轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C．若，则点在轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标与纵坐标异号 【答案】C 【分析】根据点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及第三象限内点的坐标符号特点逐一判断可得． 【详解】 解：、点到轴距离是2，此选项错误； 、在平面直角坐标系中，点和点表示不同的点，此选项错误； 、若，则点在轴上，此选项正确； 、在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同为负号，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及第三象限内点的坐标符号特点． 19．（2023·山西晋中·模拟预测）如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为 ． 【答案】 【分析】利用已知点得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 电影院所在的位置可表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键． 20．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，若点在轴右侧，轴且． (1)点的坐标为______，并在图中画出三角形； (2)若点在轴上运动，连接，当线段的长最小时，点的坐标为______，依据是___________． 【答案】(1)，画图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】（）由轴，，点在轴右侧，且求出点横坐标，即可求解； （）根据垂线段最短解答即可； 本题考查了坐标与图形，垂线段最短，根据题意求出点坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：∵轴，，点在轴右侧，且， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； 画如下： （2）解：当线段长最小时，点的坐标为，依据是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 21．（15-16八年级上·浙江绍兴·期末）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)的面积是 ； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)见解答 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积，的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：4； （3）点在轴上， 的面积， 即， 解得：． 所以点的坐标为或． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是利用垂线段最短解决问题．连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得：，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ， 故选：A． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在．点P的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）由（1），得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）存在． ∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）利用绝对值、偶次方的非负性即可求解； （）过点作轴于点，根据，，则，，故，然后利用即可求解； （）分当点在轴正半轴上时和当点在轴负半轴上时两种情况分析即可； 本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的面积，坐标与图形的性质等知识点，掌握知识点的应用及分类讨论和数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于点， 由（）得，，， ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， 故点有两种情况： 当点在轴正半轴上时， 设点， 则， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在轴负半轴上时， 设点， ∵， ∴点在直线下方， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 24．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的运动时间为3秒 (3)存在，或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）； （3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ，． 故答案为：；； （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为3秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标． 【详解】解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第2024个点在第列， 第2024个点的横坐标为， ，为偶数列， 第2024个点的纵坐标为， 第2024个点的坐标为． 故选：B． 25．（23-24七年级下·福建福州·期中）找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可． 【详解】解：∵，，，，，，… ∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的负方向，且坐标为， ∵， ∴点的坐标为． 故选：D． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是 …… ∵ ∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是 故答案为：． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)， (2)小正方形675个，大正方形675个 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形675个，大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 【经典例题十 实际问题中用坐标表示位置】 【例10】（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用坐标确定位置的方法，先确定点的坐标，再按照箭头所指的方向确定点的坐标即可 【详解】解：根据题意知， 所以，该棋子沿着箭头所指的方向运动路径用坐标表示正确的是， 故选：A 28．（23-24七年级下·广东珠海·阶段练习）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【答案】(1)，， (2)图见解析，． 【分析】此题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键． （1）由“相”与“帅”的坐标，可得到答案； （2）路线不唯一，标出一种即可． 【详解】（1）解：如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，， （2）如图， 路线为：． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示． (1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______； (2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______； (3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______． 【答案】(1)敌方战舰，小岛，的距离 (2)敌方战舰 (3)方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里 【分析】（1）根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度解答即可； （2）根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A； （3）要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里． 本题考查了位置的确定，方向角和距离是确定位置的一种重要方式，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度， 故答案为：敌方战舰，小岛，的距离． （2）解：根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A， 故答案为：敌方战舰． （3）解：要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离． 对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里． 故答案为：方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里． 30．（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，一只甲虫在 的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负． 如果从A到B记为： ，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ( ， )， ( ， )， ； (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置； (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)，，，，D (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据表示向右走3，向上走4即可表示；表示向右走2，向上走0，即可表示；表示向右走1，向下走，即可判断； （2）按题目所示平移规律分别向右平移2个格点，向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点，即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解∶ 由图可知表示向右走3，向上走4，即； 表示向右走2，向上走0，即； 表示C向右走1，向下走，到点D， 故答案为：，，，，D； （2）解：点P位置如图所示； （3）解：根据条件可知，，， ∴甲虫走过的路程为． 【点睛】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 【经典例题十一 用方向角和距离确定物体的位置】 【例11】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（    ） A．南偏西50°，距离5km B．南偏西40°，距离5km C．北偏东40°，距离5km D．北偏东50°，距离5km 【答案】B 【分析】根据方位角的意义描述即可． 【详解】解：根据图示，得到2班相对于1班的位置是南偏西40°，距离5km， 故A，C，D都不符合题意，B符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了方位角和距离描述位置，正确理解方位角的意义是解题的关键． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并延长至点，使； (3)画点，使点在点的东北方向，且点在点西北方向； (4)画点，使最小，并写出画图的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析；两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据方向角的定义画出图形即可； （4）连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，线段，即为所求； （3）解：如图．点即为所求； （4）解：如图，点即为所求，作图依据是：两点之间线段最短． 32．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一个小正方形的对角线长．表示横向的数为3，纵向的数为8的点． (1)请描出以下四个点 ①点西偏北方向处的点； ②点东偏北方向处的点； ③点东偏南方向处的点； ④点东偏北方向处的点． (2)顺次连接（1）中四个点得到四边形．请直接写出四边形的面积占整个图形面积的________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了数对与位置，熟练掌握数对表示位置的方法是解题的关键； （1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，分别在网格图中描出、，，点，根据地图上的方向，上北下南，左西右东，及每个对角线为，即可用数对标出各点的位置即可． （2）根据（1）中描绘的点，求出围成的四边形图形的面积，然后求出整个图形的总面积，即可得四边形的面积占整个图形面积的值， 【详解】（1）如图所示，①点A即为所求；②点B即为所求；③点C即为所求；④点D即为所求； （2）如图所示， ∵B点到的长度由图可得为3， ∴四边形的面积， ∵整个图形的面积是 ∴四边形的面积占整个图形面积的． 33．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米． (1)飞机A在机场______偏______方向，距离是______千米； (2)飞机B在机场______偏南______方向，距离是______千米； (3)飞机C在机场南偏东，距离是50千米，请在平面上标出C的位置． 【答案】(1)北，东，30 (2)西，，40 (3)见解析 【分析】此题考查了用方位角和距离表示位置． （1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （3）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 【详解】（1）解：飞机A在机场北偏东方向，距离是30千米， 故答案为：北，东，30 （2）飞机B在机场西偏南方向，距离是40千米． 故答案为：西，，40 （3）如图，点C即为所求． 【经典例题十二 根据方位描述确定物体的位置】 【例12】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）下图为小莉与小莹的微信对话记录．据图中两个人的对话记录，有一种走法能从邮局出发走到小莉家，此走法为（    ） A．向北直走400米，再向东直走300米 B．向北直走500米，再向西直走100米 C．向北直走100米，再向西直走500米 D．向北直走200米，再向东直走300米 【答案】B 【分析】根据对话画出图形，进而得出从邮局出发走到晓莉家的路线． 【详解】解：如图所示：从邮局出发走到晓莉家应：向北直走500米，再向西直走100米． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，根据题意画出图形是解题关键． 34．（24-25七年级上·山西长治·开学考试）作图计算 下面每个小正方形的边长表示，请你按要求填空或作图． (1)图中点记作(___________，___________)，那么点在点的___________方向，距离___________处； (2)以边所在的直线为对称轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①； (3)画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②；在这个过程中，三角形扫过的面积是___________； (4)把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； (5)如果把三角形绕边旋转一周形成了一个几何体，它的体积是___________．（取） 【答案】(1)4，3；正北，3； (2)见解析； (3)见解析，15； (4)见解析； (5)． 【分析】本题考查了平移，圆锥的体积等知识，解题的关键是： （1）根据图形可求解； （2）根据平移的性质画出图形即可求解； （3）根据平移的性质画出图形即可； （4）根据比例关系画出图形即可； （5）由圆锥的体积公式可求解． 【详解】（1）解：图中点记作，那么点在点的正北方向，距离处； 故答案为：4，3；正北，3； （2）解∶ 以边所在的直线为轴画出三角形的轴对称图形，记作三角形①． （3）解∶ 如图，画出三角形向右平移四格后的图形，记作三角形②； 在这个过程中，三角形扫过的面积， 故答案为：15； （4）解∶ 如图，把三角形按的比画在合适的位置，记作三角形③； （5）如果把三角形绕边旋转一周形成了一个（圆锥），它的体积， 故答案为：． 35．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 【答案】(1) ，；，0；； (2)10； (3)见解析． 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解标记的两个数的实际意义是解题的关键． （1）根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可； （2）根据运动路线列式计算即可得解； （3）在图中依次表示出各位置，然后确定出点的位置即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：，，； （2）解：若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为． （3）解：如图所示，点为火炬手汪顺的位置． 36．（23-24八年级·全国·假期作业）如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题： (1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置； (2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km处，请在图中标出小强家的位置． 【答案】(1)学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km处 (2)图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院 (3)见解析 【分析】(1)由图可知，学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50方向4km处； (2)观察图形，根据OA， OE， OD的长度及图中各角度，即可得出结论． (3)作北偏西60°角，取OE = 2即可． 【详解】（1）解：学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km处； （2）图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院； （3）如图，点F即为小强家． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握运用方位角及确定位置需要两个元素． 【经典例题十三 求矩形在坐标系中的坐标】 【例13】（2024·山东威海·二模）如图，矩形为台球桌面示意图．小球起始位置在处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，则小球点坐标每六次为一循环，即可得到答案． 【详解】解：由图可得， 点第一次碰撞后的点的坐标为， 第二次碰撞后的点的坐标为， 第三次碰撞后的点的坐标为， 第四次碰撞后的点的坐标为， 第五次碰撞后的点的坐标为， 第六次碰撞后的点的坐标为， ……， ∴小球碰撞后的坐标每六次为一循环， ∵ ∴小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 故选：B． 37．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，下列各点是矩形“梦之点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形、矩形的顶点坐标得到矩形的“梦之点”满足，且即可求解； 【详解】解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，且， ∴，，不是矩形的“梦之点”，是矩形的“梦之点” 故选：B 38．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，矩形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过次翻滚后点对应点记为的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，， ∵长方形的周长为：， 每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次，是的对应点， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键． 39．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）一个矩形在直角坐标平面上的三个顶点的坐标分别是（﹣2，﹣1）、（3，﹣1）、（﹣2，3），那么第四个顶点的坐标是 ． 【答案】（3，3） 【分析】因为（-2，-1）、（-2，3）两点横坐标相等，长方形有一边平行于y轴，（-2，-1）、（3，-1）两点纵坐标相等，长方形有一边平行于x轴，即可求出第四个顶点的坐标． 【详解】解：过（﹣2，3）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线， 交点为（3，3），即为第四个顶点坐标． 故答案为（3，3）． 【点睛】此题考查坐标与图形性质，解题关键在于画出图形 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为 C．若中，则点P在x轴上 D．点一定在第二象限 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标特征，绝对值的非负性等知识，根据点在各象限的坐标符号特征，坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离即可解答，掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：A、点在第一象限，说法正确，故选项不符合题意； B、点到y轴的距离为，说法正确，故选项不符合题意； C、若中，则点在轴或轴上，故选项符合题意； D、∵，， ∴点一定在第二象限，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，据此逐一判断即可，熟知平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． 【详解】①x轴上的点，其纵坐标均为0，故正确； ②当时，点在第四象限或第一象限，故错误； ③若，则点在第一象限，故正确； ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应，故正确； 故正确的有3个， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；同时，另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第点P与点Q第五次相遇时的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用、点的坐标规律探究，通过计算发现规律就可以解决问题． 利用行程问题中的相遇问题，由于长方形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标即可解答． 【详解】解：∵点、、、， ∴，， ∴长方形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是点， 第四次相遇点是点， 第五次相遇点是点， 故选：D． 4．（23-24七年级上·西藏拉萨·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标的规律探索，正确归纳出变化规律是解题关键． 根据运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，由此即可得． 【详解】解：由运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮， 则经过第2022次运动后，动点的横坐标是， ∵， ∴经过第2022次运动后，动点的纵坐标与经过第2次运动后，动点的纵坐标相同，即为0， ∴经过第2022次运动后，动点的坐标是， 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型点的坐标．先找出坐标轴上的点所用的时间的规律，再按照运动方向推断求解． 【详解】解：在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， ， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第2024分钟时，这个粒子所在位置的坐标是， 故选：A． 6．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，长度为4的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，先根据点的坐标为，且轴，得出点和点的纵坐标相同，为，再根据，分两种情况当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别求出横坐标即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和点的纵坐标相同，为， ， 当点在点的左边时，横坐标为，此时， 当点在点的右边时，横坐标为，此时， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可，横坐标的绝对值就是到轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到轴的距离 ． 【详解】解：点到轴距离为3， 点的横坐标是， 第三象限内的点横坐标小于 0 ， 点的横坐标是． 横坐标与纵坐标的差为1， 纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点A到x轴的距离为6，到y轴的距离为7． （1）若点A在第二象限，则其坐标为 ； （2）若点A在x轴的下方，则其坐标为 ； （3）若点A在y轴的左侧，则其坐标为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离及其所在的象限与其横纵坐标的大小及符号之间的关系是解题的关键． 按照点到坐标轴的距离及其所在的象限与其横纵坐标的大小及符号之间的关系求解即可． 【详解】解：由题意，点A到x轴的距离为6，到y轴的距离为7， 设点A坐标为，则，， （1）若点A在第二象限，则，， ，， 点A坐标为； （2）若点A在x轴的下方，则， ，， 点A坐标为或； （3）若点A在y轴的左侧，则， ，， 点A坐标为或； 故答案为：，或，或． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，以为顶点，轴正半轴上选点、…作边长为1、2、3、的正方形、、、，其中、…在轴的正半轴上．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，读懂题意找到点坐标的规律是解题的关键．根据可知每三个点一圈进行循环，得到点位于轴上，再根据轴上点的坐标规律即可得到． 【详解】解：， 点位于轴上， 根据图中规律，，，，…， 坐标为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为 ； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查新定义，点的坐标，整式的加减，解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解“阶和谐点”的定义， （1）依据“阶和谐点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）点的“阶和谐点”到x轴的距离为7，即可得到关于t的方程，进而得到t的值． 【详解】解：（1）点的“3阶和谐点”的坐标为， 即点的坐标为， 故答案为：； （2）∵点， ，． ∴点C的“阶和谐点”为， ∵点的“阶和谐点”到x轴的距离为7， ∴， ∴或． 解得 或 ． 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·重庆南川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移个单位，再向左平移个单位后得到的（标出对应字母）； (2)写出三个顶点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)，，； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，作图——平移，求三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据向上平移个单位，再向左平移个单位，找出对应点，，即可求解， （）根据平面直角坐标系的特征即可求解； （）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意得，，，； （3）解：的面积为 ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据坐标画出图形即可； （）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，利用计算即可； 本题考查了坐标与图形，四边形的面积，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点， 由图可知，， ． 13．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中， 已知点． (1)若点 P 在 y轴上，求点 P 的坐标； (2)若点 P 到两坐标轴的距离相等，求点 P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键． （1）根据y轴上的点横坐标为建立等式求出的值，即可求出点 P 的坐标； （2）根据点 P 到两坐标轴的距离相等得到，再分情况讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：点 P 在 y轴上， ， 解得， ， 点 P 的坐标为； （2）解：点 P 到两坐标轴的距离相等， ， ①，解得，则点 P 的坐标为； ①，解得，则点 P 的坐标为； ①，解得，则点 P 的坐标为； ①，解得，则点 P 的坐标为； 综上所述，点 P 的坐标为或． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，且．C为x轴负半轴上一点，且满足三角形的面积为15． (1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图①，平移直线使其与x轴交于点C，与y轴交于点E，求点E的坐标； (3)如图②，若点在平行于x轴的直线l上，且满足三角形的面积为10，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)或6 【分析】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，非负数的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后得出答案即可； （2）根据三角形的面积为15，求出点C的坐标，根据平移得出，即可得出，求出，得出，即可得出点E的坐标； （3）设l与y轴交于点G，延长交直线l于点，过点H作轴于点M，则，根据，得出，求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴A的坐标为，B的坐标为． （2）解：连接，如图①． ， ， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ， ． （3）解：设l与y轴交于点G，延长交直线l于点，过点H作轴于点M，则，如图②． ， 即， 解得， ， ，即， 解得． 点F同在直线l上， 或， 或6． 15．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，且， (1) ______，________ (2)如图，若点E是第一象限内一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标？ 【答案】(1)4；6 (2)①经过2秒或6秒，；②或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，难度适中，运用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用算术平方根和绝对值的非负性，即可求出答案； （2）①先求出点E的坐标为，设运动时间为t秒，然后分两种情况∶当点P在y轴的右侧时，当点P在y轴的左侧时，根据列出方程，即可求解；②设运动时间为t秒，然后分两种情况∶当点P在y轴的右侧时，当点P在y轴的左侧时，根据以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4；6； （2）解：①由（1）得：， ∵轴， ∴点E的坐标为， 设运动时间为t秒， 根据题意得：， 当点P在y轴的右侧时，， ∵， ∴， 解得：； 当点P在y轴的左侧时，， ∴， 解得：； 综上所述，经过2秒或6秒，； ②设运动时间为t秒， 根据题意得：， 当点P在y轴的右侧时，，， ∵以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在y轴的左侧时，，， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$