7.4.2 超几何分布（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

7.4.2 超几何分布 教学设计 1、 教学目标 1. 理解超几何分布概念, 能够判定随机变量是否服从超几何分布; 2. 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率; 3. 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值. 2、 教学重难点 重点： 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率;. 难点：能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值． 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 学生在学习《超几何分布》之前，已经掌握了随机变量的基本概念以及离散型随机变量的分布列，并了解了二项分布等相关知识.然而，超几何分布相对于二项分布更为复杂，它涉及有限总体和不放回抽样的概念，学生可能会在这些方面遇到理解上的困难. 本节课的重点是理解超几何分布的定义、概率计算公式及其在实际问题中的应用.难点在于掌握不放回抽样对概率的影响，以及如何准确运用超几何分布的概率公式进行计算.学生需要通过具体实例来加深理解，并学会将实际问题转化为数学模型. 针对学生的学习难点和重点，教师可以采用启发式教学法，通过引导学生分析实际问题，逐步推导出超几何分布的概率公式.同时，结合具体案例进行教学，帮助学生理解超几何分布的应用场景.此外，教师还可以设计一些练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力. 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第七章《随机变量及其分布列》，本节课主要学习《超几何分布》. 《超几何分布》是高中数学概率论部分的重要内容，本节教材在介绍了随机变量、分布列和二项分布等基础知识后，进一步引入了超几何分布的概念.这一内容的安排旨在加深学生对离散型随机变量分布列的理解，并掌握在有限总体和不放回抽样条件下的概率计算方法. 教材首先通过具体实例，如从一批产品中随机抽取若干件来检验次品率，引出了超几何分布的背景和应用场景.接着，详细阐述了超几何分布的定义、概率计算公式及其推导过程.与二项分布相比，超几何分布更注重于有限总体和不放回抽样的特点，这使得其概率计算公式更为复杂. 此外，教材还注重培养学生的实际应用能力，通过引入生活中的实际案例，让学生理解超几何分布在现实生活中的广泛应用.这不仅增强了学生的学习兴趣，也提高了他们解决实际问题的能力.在教学过程中，教师需要充分利用这些案例，引导学生进行探究性学习，培养他们的数学建模能力和创新思维. 4、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 1. 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B(n，p) 2.二项分布的均值与方差： 若X～B(n, p)，则有 2． 探究新知 引言：前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型之超几何分布. 问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 思考1：采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布？ 学生：先独立思考，然后和同桌讨论，尝试得出答案. 预设：采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). 思考2：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？ 学生：先独立思考，然后和同桌讨论，尝试得出答案. 预设：采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 要求： 请根据古典概型求X的分布列. 学生：利用古典概型的知识，求得以上问题中随机变量X的分布列. 预设：由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4. 从100件产品中任选4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有k件次品的结果数为. 由古典概型的知识，得X的分布列为 计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示. 【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生积极思考，也就是利用已学知识来观察这个问题，通过参与互动，说出自己见解.从而引出超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中不放回地随机抽取n件，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 若随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从超几何分布，. 辨析：① 事件“由较明显的两层次组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； ② 不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”； ③ 公式中个字母的含义：N—总体中的个体总数；M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)；n—样本容量；k—样本中的特殊个体数(如次品数). 3． 应用新知 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 预设：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5. 因此甲被选中的概率为. 容易发现，每个人被抽到的概率都. 这个结论非常直观，这里给出了严格的推导. 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 预设：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，，．X的分布列为． 至少有 1 件不合格的概率为 ． 也可以按如下方法求解： 【设计意图】通过两个例题，让学生更加充分的认识超几何分布的概率计算方法，提高他们的数学运算能力.也通过数学抽象和数学建模来达到问题归类，方法统一. 4． 探究新知 思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 学生：通过自主学习教材，理解超几何分布的随机变量的均值 预设：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数． 令，则是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想，即． 实际上，由随机变量均值的定义，令，，由随机变量均值的定义： 当时， ． （1） 因为，所以 ． 当时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立． 【设计意图】通过一个例题的计算，知道结果是满足猜想E(X)=np，接下来将引导学生深知数学结论能否直接使用，必将进行严格的证明，此时鼓励同学们课后去完成.因为课堂上如果去完成这个证明，将会使得课堂教学脱离教学重点，正好也鼓励同学们进行课后思考和同时提升同学们的自学能力. 结论：假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中不放回地随机抽取n件，用随机变量X表示抽取的n件产品中的次品数，则， 5． 应用新知 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率． 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 师生：共同分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布． 预设：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为 ． 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为 ，． （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到 0.00001 )，如表7.4-2 所示． 表7.4-2 k p1k p2k k p1k p2k 0 0.000 04 0.000 01 11 0.070 99 0.063 76 1 0.000 49 0.000 15 12 0.035 50 0.026 67 2 0.003 09 0.001 35 13 0.014 56 0.008 67 3 0.012 35 0.007 14 14 0.004 85 0.002 17 4 0.034 99 0.025 51 15 0.001 29 0.000 41 5 0.074 65 0.065 30 16 0.000 27 0.000 06 6 0.124 41 0.124 22 17 0.000 04 0.000 01 7 0.165 88 0.179 72 18 0.000 00 0.000 00 8 0.179 71 0.200 78 19 0.000 00 0.000 00 9 0.159 74 0.174 83 20 0.000 00 0.000 00 10 0.117 14 0.119 24 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据表7.4-2，计算得 有放回摸球： ． 不放回摸球： ． 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（图7.4-4）看，超几何分布更集中在均值附近． 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似． 【设计意图】通过对二项分布和超几何分布的问题对比分析和研究，以逻辑推理、直观想象的教学方式，让学生充分掌握超几何分布的概念及其特点。通过问题的探究和对比，进一步了解了这两个分布的区别和联系。 思考：二项分布与超几何分布区别和联系 学生：根据自己对二项分布和超几何分布的理解，找出它们之间的区别和联系 预设： 区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样. 联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布. 跟踪练习：老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，求抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； 预设：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则 所以， ，， 所以X的分布列为： 6． 能力提升 类型一：超几何分布的判断 例题1 (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 预设：（1）依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布. 而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 故选：ABD 题型二：求超几何分布的分布列、均值与方差 例题2 从名女生和名男生中任选人参加英语演讲比赛，设随机变量表示所选人中男生的人数． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差． 预设：（1）可能取的值为，，， 且， ，， 所以的分布列为 （2），． 归纳总结：求解超几何分布均值问题的注意事项： (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)如果X服从超几何分布，其均值可以用公式E(X)＝求解，也可以用E(X)的定义求解． 题型三：二项分布与超几何分布的综合应用 例题3 为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 预设：（1）设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件， 则，；所以； （2）设甲教师得分数为，则答对题数为，有， 故，， 设乙教师得分数为，则的可能取值为，，， ，，， 则， ， 由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师. 7． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 8． 随堂限时小练 1．关于超几何分布下列说法正确的是（    ） A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以只有一类物品 C．超几何分布中的参数是，， D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 【详解】由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为（，是和中较小的一个），∴B错误；C、D正确. 故选：ACD 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A． B． C． D． 【详解】由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝．故选：B 3．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝ . 【详解】由题意，，且，，， ∴. 故答案为： 4．箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和. （1）若，求的值； （2）当时，求的分布列. 【详解】（1）由题意得：取出的个球都是白球时，随机变量 ，即：，解得： （2）由题意得：所有可能的取值为： 则；；；. 的分布列为： 5. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数. （1）求的分布列； （2）求的数学期望； （3）求“所选3人中女生人数”的概率. 【详解】（1）可能取的值为0，1，2.. 所以，的分布列为 0 1 2 P （2）由（1），的数学期望为; （3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为 . 9． 课后作业布置 作业1：完成教材：第80页 练习第1,2题. 作业2：配套辅导资料对应的《超几何分布》.  10． 课后作业答案 练习（第80页） 1．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率． 1．【答案】 【解析】因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐， 从24罐中任意抽取2罐，有种结果，且它们是等可能的， 其中抽取的2罐均无奖券，有种， 所以这2罐中有奖券的概率为：． 2．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率． 2．【答案】 【解析】总数有种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为， 则甲班恰有2名同学被选到的概率为． 3．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子． 3．【解析】例1：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布． 例2：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布． 习题7.4（第80页） 1．抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差． 1．【答案】均值，方差． 【解析】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立，所以30次试验中成功次数X服从二项分布，， ，， 所以在30次试验中次数的均值为10，方差为． 2．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大． 2．【答案】 【解析】设恰好有一次未击中目标为事件A，则． 3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置． 3．【答案】（1）；（2）． 【解析】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立，则． （1）质点回到原点，则，，所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则，，所以质点位于4的位置的概率是． 4．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率(精确到0.000 01)． 4．【答案】0.041 68 【解析】从52张扑克牌中任意抽出5张，共有种可能事件， 从52张扑克牌中任意抽出5张，有2张A牌，有中可能事件， 从52张扑克牌中任意抽出5张，有3张A牌，有中可能事件， 从52张扑克牌中任意抽出5张，有4张4牌，有中可能事件， 故至少有2张A牌的概率． 5．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)： （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率． 5．【答案】（1）0.30；（2）0.68． 【解析】（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为． （2）至少有8次击中目标的概率为． 6．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率(精确到0.001)． 【答案】0.191 【解析】记中奖为事件A，概率为， 所以中奖的概率为0.191． 7．一个车间有3台车床，它们各自独立工作．设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列． （1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%； （2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%． 7．【解析】（1），， ，， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 （2）， ， ，． 所以的分布列如下： X 0 1 2 3 P 0.648 0.306 0.044 0.002 8．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%．随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传． 8．【解析】由题意知，若此药治疗某种疾病有效率为90%，则随机选择了10个病人，治愈人数不超过6人的概率为：， 所以概率非常小，因此治愈人数不超过6人是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生，然而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑药厂是虚假宣传． 换另一个角度，治愈人数不超过6人是一个随机事件，在一次试验中可能发生，所以从这个角度看，也可以不怀疑药厂的宣传． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$