7.4.2 超几何分布（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布列 7.4.2 超几何分布 ·选择性必修第三册· 学习目标 1. 理解超几何分布概念, 能够判定随机变量是否服从超几何分布; 2. 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率;（重点） 3. 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值.（难点） 情景导入 7.4.2 超几何分布 01 复习回顾 引入新知 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B(n，p) 2.二项分布的均值与方差： 1.二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 若X～B(n, p)，则有 超几何分布 02 7.4.2 超几何分布 探究新知 前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型之超几何分布. 探究新知 问题1 已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 思考1： 采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布？ 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). 探究新知 思考2： 如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？ 若不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布. 探究新知 可以根据古典概型求的分布列.由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任选4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识，得的分布列为 计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示. 探究新知 定义 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中不放回地随机抽取件,用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 若随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从超几何分布. 探究新知 公式中个字母的含义 N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 辨析 事件“由较明显的两层次组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； 不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”； 应用新知 例4： 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解析 设表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则服从超几何分布，且，，. 因此甲被选中的概率为. 容易发现，每个人被抽到的概率都是. 这个结论非常直观， 这里给出了严格的推导. 应用新知 例5： 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解析 超几何分布的均值 03 7.4.2 超几何分布 探究新知 思考： 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 探究新知 探究新知 结论 假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中不放回地随机抽取件,用表示抽取的件产品中的次品数,则： 应用新知 例6： 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 分析 因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，X～B(20,0.4)； 而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布． 应用新知 解析 (2) 利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下 表所示. 应用新知 解析 应用新知 解析 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近． 应用新知 解析 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同． 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似． 探究新知 二项分布与超几何分布区别和联系 1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的 模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样. 2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可 视其为二项分布. 应用新知 跟踪练习 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，求抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； 解析 设抽到他能背诵的课文的数量为，则 所以， ，， 所以的分布列为： 2 3 能力提升 04 7.4.2 超几何分布 能力提升 题型一 超几何分布的判断 例题1 能力提升 题型一 超几何分布的判断 解析 能力提升 题型二 求超几何分布的分布列、均值与方差 例题2 解析 能力提升 题型二 求超几何分布的分布列、均值与方差 例题2 解析 能力提升 题型二 求超几何分布的分布列、均值与方差 例题2 总结 求解超几何分布均值问题的注意事项： (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)如果X服从超几何分布，其均值可以用公式E(X)＝求解，也可以用E(X)的定义求解． 能力提升 题型三 二项分布与超几何分布的综合应用 例题3 能力提升 题型三 二项分布与超几何分布的综合应用 解析 能力提升 题型三 二项分布与超几何分布的综合应用 解析 课堂小结+限时小练 05 7.4.2 超几何分布 课堂小结 超几何分布 随堂限时小练 ACD 解 随堂限时小练 B 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 随堂限时小练 解 作业布置与课后练习答案 06 7.4.2 超几何分布 作业布置 巩固作业 作业1：完成教材：第80页 练习第1,2题. 作业2：配套辅导资料对应的《超几何分布》.  课后作业答案(练习第80页) 1．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2 罐，求这2罐中有奖券的概率． 解： 因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐， 课后作业答案(练习第80页) 2．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲 班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选 到的概率． 解： 课后作业答案(练习第80页) 3．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子． 解： 例1：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布． 例2：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布． 课后作业答案(第80页习题7.4) 1．抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验 中成功次数X的均值和方差． 解： 课后作业答案(第80页习题7.4) 2．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则 在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大． 解： 课后作业答案(第80页习题7.4) 3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向 左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． (1)质点回到原点；(2)质点位于4的位置． 解： 课后作业答案(第80页习题7.4) 3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向 左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． (1)质点回到原点；(2)质点位于4的位置． 解： 课后作业答案(第80页习题7.4) 4．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率 (精确到0.000 01)． 解： 课后作业答案(第80页习题7.4) 5．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)： (1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率． 解： 课后作业答案(第80页习题7.4) 6．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色 外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的 概率(精确到0.001)． 解： 课后作业答案(第80页习题7.4) 7．一个车间有3台车床，它们各自独立工作．设同时发生故障的车床数为X， 在下列两种情形下分别求X的分布列． (1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20% (2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%， B型车床发生故障的概率为20%． 解： 所以X的分布列如下： X P 0 0.512 1 0.384 2 0.096 3 0.008 课后作业答案(第80页习题7.4) 7．一个车间有3台车床，它们各自独立工作．设同时发生故障的车床数为X， 在下列两种情形下分别求X的分布列． (1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20% (2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%， B型车床发生故障的概率为20%． 解： X P 0 0.648 1 0.306 2 0.044 3 0.002 所以X的分布列如下： 课后作业答案(第80页习题7.4) 8．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%．随机选择了 10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂 的宣传． 解： 所以概率非常小，因此治愈人数不超过6人是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生，然而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑药厂是虚假宣传． 换另一个角度，治愈人数不超过6人是一个随机事件，在一次试验中可能发生，所以从这个角度看，也可以不怀疑药厂的宣传． 课后作业答案 探究与返现 二项分布的性质 对不同的n和p的值，绘制的概率分布图如图 1 所示． 课后作业答案 观察图形,类比函数性质的研究,你能发现二项分布的哪些性质?提出你的猜想． 课后作业答案 课后作业答案 对你发现的二项分布的其他性质，你能给出证明吗? THANKS 感谢您的聆听