7.3.2 离散型随机变量的方差（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

7.3.2 离散型随机变量的方差 教学设计 1、 教学目标 1. 通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2. 会求离散型随机变量的方差、标准差. 3. 掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法． 4. 会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 2、 教学重难点 重点： ①会求离散型随机变量的方差、标准差； ②掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法 难点：会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 本节课面对的学生群体已经具备了一定的数学基础，特别是已经学习了离散型随机变量及其均值（数学期望）的概念.学生对随机变量的基本概念和概率分布有了初步的认识，这为学习离散型随机变量的方差打下了坚实的基础. 在学习本节课之前，学生可能会对方差的概念感到陌生，但已经熟悉了数据波动和稳定性的概念.因此，在教学过程中，可以通过引入实际生活中的例子，如射击比赛的成绩分析，来帮助学生理解方差是衡量数据离散程度的重要指标.同时，学生也需要掌握方差的计算公式，并能够运用公式解决简单的实际问题. 由于本节课涉及较为抽象的概念和计算，部分学生在理解和应用上可能会遇到困难.因此，在教学过程中，教师需要注重启发式教学，通过问题引导和小组讨论等方式，激发学生的学习兴趣和探究欲望，帮助他们更好地理解和掌握离散型随机变量的方差.同时，还需要提供足够的练习机会，让学生在实践中巩固所学知识. 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第七章《随机变量及其分布列》，本节课主要学习《离散型随机变量的方差》. 本节课内容选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，是在学生学习完随机变量及其分布列的基础上进行的深入学习.教材通过引入离散型随机变量的方差概念，旨在帮助学生理解并掌握衡量随机变量取值波动大小的数字特征. 本节课的重点在于理解离散型随机变量的方差和标准差的概念及其求解方法.难点则在于利用这些概念解决实际问题，特别是当问题涉及多个随机变量或复杂概率分布时，学生需要能够灵活运用所学知识进行分析和计算. 教材通过具体实例和图形演示，帮助学生直观理解方差的计算过程和实际意义.同时，也注重培养学生的抽象思维和数学建模能力，使学生能够运用所学知识解决实际问题，进一步加深对概率论和数理统计的理解.在教学过程中，教师需要注重启发式教学，引导学生主动思考、积极探索，以达到更好的教学效果. 4、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 1. 离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 2.均值的性质： 3.随机变量X服从两点分布，则有 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得，E(X)=8，E(Y)=8. 因为两个均值相等， 思考：均值已不能区分这两名同学的射击水平，那么我们将如何评价这两名同学的射击水平呢? 提示：评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 教师：这就是本节课要学习的离散型随机变量的另一个数字特征：方差 2． 探究新知 引导： 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 【设计意图】通过谈话直接点明本节课题，让学生感受数学源于生活，学习数学是有用的. 问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 思考：下图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，你可以发现什么？ 学生：观察图形，得出结论：可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 预设：我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．类比，一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？答案是肯定的 定义：的偏离程度．我们称 为随机变量的方差（variance），有时也记为，并称为随机变量的标准差（standard deviation），记为． 思考：随机变量X的方差和标准差的意义是什么？ 学生：思考并得出答案，随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度， 反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 . 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. 学生：根据方差的定义，进行计算并评价. 预设：由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为 ，； ，． 因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定． 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化． ． 【设计意图】让学生利用方差和标准差的定义求解探究1提出的问题，提高学生的应用意识. 思考：方差的计算可以简化吗？ 预设：方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质． 3． 应用新知 例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差． 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 预设：随机变量的分布列为． 因为，． 所以． 即该运动员罚球1次得分X的均值是0.8． 4． 探究新知 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 学生：小组讨论，尝试着得出结论 预设：离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即 一般地，可以证明下面的结论成立： 归纳总结：关于方差性质的四点说明 (1)当a=0时，D(aX+b)=D(b)=0，即常数的方差等于0. (2)当a=1时，D(X+b)=D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时，D(aX)=a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a，b均为非零常数时，随机变量η=aX+b的方差D(η)=D(aX+b)=a2D(X). 5． 应用新知 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示． 表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 学生：小组交流与讨论，尝试着得出答案. 师生共同分析：股票投资收益是随机变量, 期望收益就是随机变量的均值. 投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下, 可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低, 方差越大风险越高, 方差越小风险越低. 预设：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为 ，． 因为，所以投资股票A的期望收益较大． （2）股票A和股票B投资收益的方差分别为 ， ． 因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高． 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 要求：随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释，请举例说明 预设：如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性； 如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度； 如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低. 【设计意图】例6是综合利用均值和方差比较投资两种股票收益的问题，目的是使学生了解在实际问题中均值和方差的意义.在这个问题中，均值表示平均收益，方差表示风险(不确定性).在教学中，可以提供更多不同背景的实际问题，帮助学生了解均值、方差的意义. 归纳总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤： （1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高. （2）在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. （3）下结论.依据均值和方差给出结论. 跟踪练习：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)=____. 学生：先独立思考，然后同桌交流，尝试得出答案，为分享答案做准备. 预设：ξ的所有可能取值为0，1，2， 归纳总结：求离散型随机变量ξ的方差的一般步骤 (1)理解ξ的意义，明确其可能取值； (2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤； (3)求ξ取每个值的概率； (4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验； (5)根据方差定义求D(ξ). 6． 能力提升 类型一：求离散型随机变量的方差 例题1 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 预设：由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 题型二：利用离散型随机变量的方差定义和性质求参 例题2 已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 预设：依题意，由分布列可得，解得，A正确； ， ， 因为， 所以，， 解得，，B错误，C正确； 所以随机变量的分布列为： 由分布列可知D正确； 故选：ACD 总结：利用离散型随机变量的均值、方差的定义和性质，建立方程（组），解方程（组）即可得解. 题型三：离散型随机变量的均值和方差的综合应用 例题3已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 预设：由题意知，解得，因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 题型四：离散型随机变量方差在决策问题中的应用 例题4 为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 预设：（1）依题意，，解得，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高，又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论. 7． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 8． 随堂限时小练 1．已知随机变量的分布列如表，则的标准差为（    ） 1 2 5 P 0.4 0.1 x A．3.56 B． C．3.2 D． 【详解】由分布列的性质得：，解得：，∴， ∴， ∴的标准差为．故选：D． 2．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 【详解】由题意得，， ，故选A. 3．已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】设，依题意得，则， 即另一组数据，，，，，的方差是. 故选：D 4. 随机变量的分布列如下表， 0 1 2 P 2a a 2a b 则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 【详解】由题意得，，得，故A错误；，故B正确； 0 1 4 P a 4a b 所以，故C错误； 因为，所以， 当且仅当时，取得最大值，故D正确. 故选：BD 5. 某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， （1）求的概率即 （2）求取出白球的数学期望和方差 【详解】（1）因为，所以 （2）的可能取值为 ，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以 9． 课后作业布置 作业1：第121页 练习 第1,2,3,4题 第127 页 习题3.2 第1,2,5,6,7题； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的方差》.  10． 课后作业答案 练习（第70页） 1．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求和． 1．【解析】由题意，得， ， ， ． 2．若随机变量满足，其中为常数，求． 2．【解析】，． 3．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差和(单位：)的分布列如下： 甲班的目测误差分布列 乙班的目测误差分布列 X -2 -1 0 1 2 Y -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断． 3．【解析】由分布列，估计X的分布离散程度大． 由题意，得，． ，． 且，的分布离散程度大． 习题7.3（第71页） 1．某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1．求每部手机获利的均值和方差． 1．【解析】设每部手机获利为X元，则X可能为100，0，-300， 且，，． X的分布列为 100 0 -300 0.6 0.3 0.1 ， ． 2．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是多少元? 2．【解析】设X表示一张彩票的中奖金额， 则，，， ，， 所以X的分布列为： X 0 2 10 50 100 1000 P 0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005 其均值为． 即1张彩票可能中奖金额的均值是2元． 3．随机变量X的分布列为，，，若，求a和b． 3．【解析】由题意知，， 解得，，即a和b分别为，． 4．在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0． 4．【解析】设选对得分为a，选错得分为b，则得分X的分布列为 X P 0.25 0.75 ，，不妨设，则． 选对可赋予3分，选错可赋予分(答案不唯一，合理即可)． 5．证明：． 证明：设离散型随机变量X的分布列为： … … … … 设（a，b为常数），则Y也是离散型随机变量，Y的分布列为： Y … … … … 由均值的性质可得， ． 6．有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？ 6．【解析】设先猜A谜语奖金为X元，则X的分布列为 X 0 10 30 P 0.2 0.4 0.4 （元） 设先猜B迷语奖金为Y ，则Y的分布列为 Y 0 20 30 P 0.5 0.1 0.4 （元），∴应选择先猜A谜语． 7．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列 X 0 1 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 试比较甲、乙两种品牌手表的性能． 7．【解析】， ， ， ， 由于，故甲的质量更稳定些． 8．设，是不等于的常数，探究相对于的偏离程度与相对于的偏离程度的大小，并说明结论的意义． 8．【解析】设，则由， 得相对于的偏离程度为；相对于的偏离程度为 ． ，，． ． 即相当于的偏离程度小于相对于的偏离程度． 结论意义：相对于的偏离程度（即的方差），是相对于任意常数的偏离程度中最小的，从而方差能很好地反映一组数据的离散程度． 解法二：设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以当时，取得最小值．因此当时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$