18.2.2（第2课时）菱形的判定（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

18.2.2(第2课时) 菱形的判定 第18章 平行四边形 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 一组 邻边 相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形 菱形的性质 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 思考： 菱形的判定1 AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 例1 例2 （1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程 可得AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF为菱形. 如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 例2 （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． 解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4， ∴AE=2AO=8． 思考： 用 4 支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？ 把上述问题抽象出来就是： 四条边都相等的四边形是菱形吗？ 你能写出该命题的“已知”和“求证”吗？ 尝试证明之. 已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：在四边形 ABCD 中， AB = BC = CD = DA. ∵ AD = BC， AB = DC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又 AB = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 菱形的判定2 四条边都相等的四边形是菱形 AB=BC=CD=AD 几何语言： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 四边形ABCD A B C D 例3 已知：如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1 =∠2.求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明 ∵线段 BD 垂直平分AC ， ∴ BA = BC，DA = DC，OA = OC. 在△AOB 和△COD 中， ∵∠1 =∠2，∠AOB =∠COD，OA = OC. ∴△OAB≌△OCD. ∴ AB = CD. ∴BA = BC = CD = DA. ∴四边形 ABCD 是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). 例4 思考： 菱形的两条对角线互相垂直且平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 由画法可知，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 思考： 菱形的两条对角线互相垂直且平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 证明： ∵ 在 □ ABCD中，AC⊥BD，OA= OC， ∴BD 所在的直线是 AC 的垂直平分线. ∴ DA= DC. ∴ □ ABCD 是菱形. 菱形的判定3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 例5 例5 例6 例6 例7 例7 1.菱形的判定方法： (1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)(边)：四边相等的四边形是菱形．   平行四边形 四边形 2.判定菱形的常见思路：  四条边都相等 判定条件 对角线互相垂直 一组邻边相等 菱形 定义 判定1 判定2 有一组邻边相等的 平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定 1.下列命题中正确的是 （ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C 2.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线相等且互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分 D 3.如图,在□ ABCD 中, 对角线 AC, BD相交于点 O, 添加下列条件不能判定 □ ABCD 是菱形的是（ ） A. AC⊥BD B. AB＝BC C. AC＝BD D. ∠1＝∠2 C 4.如图，在 ABCD中，AC,BD交于点O，AB=13，AC=24，DB=10，则四边形ABCD是 (　　) A．一般的平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．不能确定 C 5.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 重合部分构成四边形ABCD.测得AB=3,AC=2, 则BD=( ) A. B.C. D. D 6.小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 B 7.如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． A B C D E F O 1 2 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形. 解：四边形 ABCD是菱形. 理由如下： ∵△ABC 为等腰三角形，∴AB=BC. ∵△CDA为等腰三角形，∴CD=AD. 而△CDA是△ABC的像，∴AB=BC=CD=DA. ∴四边形 ABCD 是菱形. 8.如图，把等腰三角形 ABC 绕它的底边 AC 上的中点 O 旋转180°，得到三角形 CDA，试问： 四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？ 证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形CDEF是菱形. 2 10.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC, EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 1 $$