10.2.1 代入消元法 课时2 用代入消元法解复杂的二元一次方程组 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 课时2 用代入消元法解复杂的二元一次方程组 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 用代入法解复杂的二元一次方程组 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 代入消元法解一元二次方程组的简单应用2 9. 拓展与延伸 8. 对接中考 2. 知识回顾 1. 进一步利用代入消元法解较复杂的二元一次方程组. 2. 初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程. 学习目标 知识回顾 消元思想 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想 方法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 代入 消元法 新课导入 观察下列二元一次方程组： 这个方程组未知数x，y的系数都不是1或-1，那么如何用代入法解这个二元一次方程组呢？ 新课讲解 知识点1 用代入法解复杂的二元一次方程组 1. 用代入法解方程组 消元思想 用一个未知数来表示另一个未知数. 用y表示x？还是用x表示y？ 分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②. 例 解：由，得 ③ 把 ③ 代入②，得 解这个方程，得 y=3. 把y=3代入③，得 x=2. 所以这个方程组的解是 新课讲解 例 2. 整体代入法就是把某些部分看成一个整体，这样能使复杂的问题简 单化 . 例如在解方程组 时，把①变形为 x－y=1 ③， 把③代入②中，解得 y=－1，进而求得 x=0. 请用“整体代入法”解方程组 解： 由①，得 2x－3y=2 ③， 把③代入②，得 +2y=9， ∴ y=4. 把 y=4 代入③，得 2x－12=2， ∴ x=7. 原方程组的解为 新课讲解 整体代入法 在代数运算中，如果一个表达式中含有某些复杂的部分，而这个复杂的部分又与另一个已知的表达式相同或相似，就可以将这个复杂的部分看成一个整体进行代入，从而简化计算 . 方法点拨 新课讲解 代入消元的技巧 1. 若方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的形式的方程，则选择直接代入消元; 2. 若方程组中含有未知数的系数为1，-1或常数项为0的方程，则选择将此方程进行变形再代入消元； 3. 若方程组中某一未知数的系数成整数倍关系，则选择整体代入消元； 4. 若方程组中的方程无以上三种情况，则选择系数绝对值较小的方程变形，再代入消元. 归纳 新课讲解 例 3. 对于二元一次方程组把①代入②消去 y后所得到的方程为 3x－x－5=8，则①可以是（ ） A. y=x+5 B. y=x－5 C. x=y+5 D. x=3y+5 A 新课讲解 练一练 1. 解方程组 (1) (2) ① ② 所以这个方程组的解是 把 y=2 代入③，得 . 把③代入②，得 . 解：(1)由①，得 .③ 解这个方程，得 y=2. 解得 x=3. 把 y=2 代入③，得 2x=16-5×2=6. 把③代入②，得 4(16-5y)-7y=10. (2)由①，得 2x=16-5y. ③ 解这个方程，得 y=2. ① ② 所以这个方程组的解是 新课讲解 练一练 2. 用代入法解下列方程组： 解：原方程组整理，得 由①，得2x＝19＋3y.③ 把③代入②，得3（19＋3y）＋4y＝57，解得y＝0. 把y＝0代入③，得x＝ . 所以原方程组的解为 新课讲解 练一练 3. 已知关于 x， y 的二元一次方程 ax+by=5 的部分解如下表所示： 则 a－b 的值为_________ . －3 x 1 9 5 y 1 －1 0 新课讲解 练一练 4. 用代入法解方程组 错解： 由①，得 y=，③ 将③代入①，得 7x－2× =3， 整理，得 3=3. ∴ x 可取一切实数，故原方程组有无数个解 . 正解： 由①，得 y= ，③ 将③代入②，得 x－2× =12， 整理得 －6x=9，解得 x=－1.5， 将 x=－1.5 代入③，得 y=－6.75. ∴ 原方程组的解为 【易错点】循环代入导致错误 新课讲解 运用代入法解方程组时，不要将由① ( 或 ② ) 变 形 得到的方程③，再代回到变形前的方程① ( 或 ② ) 中， 否则就会出现“没有未知数的恒等式” 的情况，无法确定未知数的值 . 应该代入没有变形的另一个方程中求解 . 方法点拨 新课讲解 知识点2 代入消元法解一元二次方程组的简单应用2 4. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件,报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元? 例 送件 揽件 报酬 星期一 星期二 120 45 90 25 270 185 解：设 这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元. 根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系， 列得方程组 新课讲解 列得方程组 由，得 把代入，得 9025y 解这个方程，得 y=2 把y=2代入，得 x=1.5 所以这个方程组的解是 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是 2 元. 新课讲解 例 5. 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为 2︰5. 某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 例题中有哪些未知量？ 未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数. 例题中有哪些等量关系？ 大瓶数︰小瓶数＝2︰5； 大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5(t). 解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶. 由①，得 . ③ 把③代入②，得 . 解这个方程，得 x=20 000. 根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得 ① ② 把 x=20 000代入③，得 y=50 000. 答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶. 所以这个方程组的解是 新课讲解 练一练 1. 某天，蔬菜经营户老李用145元从蔬菜批发市场批发了一些黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示.当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元.这天老李批发的黄瓜和茄子分别有多少千克? 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg) 3 4 零售价/（元/kg) 4 7 解：设这天老李批发的黄瓜有x kg，茄子有y kg. 由题意，得 整理方程，得 由②得，x=90-3y. ③ 把代入， . 解这个方程，得 y=25 把 y=25 代入，得x=15. 所以这个方程组的解是 答：这天老李批发的黄瓜有15 kg，茄子有25 kg. 新课讲解 练一练 2. 小敏和小红玩拼图游戏，小敏用 8 个同样的小长方形拼成了一个如图(1)所示的大长方形，小红用同样的 8 个小长方形拼成了如图(2)所示的大正方形，不过中间留下一个空白，而这个空白地方恰好是一个边长为 2 cm 的小正方形.求小长方形的长与宽. x y 5x 3y 2x+y 2y+2 5x=3y 2x+y=2y+2 解：设小长方形的宽为 x cm，长为 y cm， 由题意，得 由②，得 y=2x-2. ③ 将③代入①，得 5x=3(2x-2) . 解这个方程，得 x=6. 将 x=6 代入③，得 y=10， 所以这个方程组的解是 答：设小长方形的宽为 6 cm，长为 10 cm. 课堂小结 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想 消元思想 方法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 代入 消元法 应用 解决实际问题 当堂小练 1. 用代入消元法解方程组时，把②代入①，代入正确的是（ ） A. 2x-5(3x+1)=4 B. 2x-5(1-3x)=4 C. 2x-5(3x-1)=4 D. 2x-5(-1-3x)=4 C 当堂小练 2. 用代入法解下列方程组：（1） （2） 解：(1) 由①得x=- . ③ 把③代入②，得5（ - ）+4y=13. 解得y=2. 把y=2代入③,得x=1. 所以这个方程组的解是 (2) 由②得m= n-3. ③ 把③代入①，得3( n -3)+2n=17. 解得n=4. 把n=4代入③,得m=3. 所以这个方程组的解是 当堂小练 2. 用代入法解下列方程组：（3） 解：(3)原方程组整理，得 由②，得x＝－ － y.③ 把③代入①，得4（－ － y）＋9y＝－12， 解得y＝－2.把y＝－2代入③，得x＝ . 所以原方程组的解为 当堂小练 3. 一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶，大、小包装盒每盒各装多少瓶？ 解：设大包装盒与小包装盒每盒分别装x瓶和y瓶. 依题意，得 解得 答：大包装盒与小包装盒每盒分别装20瓶和12瓶. 当堂小练 4. 若关于x，y的二元一次方程组 的解x，y互为相反数，则n＝ 　23　. 23　 当堂小练 5. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3x+2y=30 x和y均为正整数 B 当堂小练 6. 方程组 的解满足x＋y＋a＝0，则a的值是______. 解：把①代入②，得2(y+5)-y=5， 解得y=-5. 把y=-5代入①，得x=0. 所以x+y=-5. 因为x+y+a=0, 所以-5+a=0， 所以a=5. 5 当堂小练 7. 对于有理数，规定新运算：x※ y=ax+by+xy，其中 a，b 是常数. 已知 2※1=9，(－3)※3=－6，求 4※6 的值 解： ∵ 2※ 1=9，(－3) ※ 3=－6， ∴ 解得 ∴ x※ y=2x+3y+xy. ∴ 4※ 6=2× 4+3× 6+4× 6=50. 当堂小练 8. 【情境题 过程辨析型】我们曾用代入法解方程组 小安和小佳两位同学运用了“整体代 入法”，具 体 的 解法分别如下： (1)小安的解法 _____，小佳的解法 _____（填“正确” 或“不正确” )； 正确 正确 (2)如果你认为两种解法都正确，请选择其中一种解法 解方程组如果你认为两种解法只有一 种正确，请用你认为正确的解法解方程组 并说明另一种解法不正确的理由； 如果你认为两种解法都不正确，请分别说明理由 . 当堂小练 当堂小练 9.下列是学习方程组的应用时，老师的板书和两名同学所列的方程（组） . 古代问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和 17 枚银币，但他干满 7 个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和 2 枚银币 . 这件衣服值多少枚银币？每月报酬是多少枚银币？ 小刚所列的方程组为 小强所列的方程为=x+2. 根据以上信息，解答下列问题 . (1)以上两个方程(组)中 x 的意义是_______________ ；小刚所列的方程组中 y 的意义是___________________ ； 一件衣服的价值 每个月所得的报酬 (2)小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含 x 的代数式表示 y，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程 . 请完成这一推导过程； 当堂小练 (3) 请从以上两种方法中任选一种解答该题 . 对接中考 若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于x、y的方程组 的解是 　 ． 分析：将方程组 整理得 ，然后结 合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可. 拓展与延伸 1. 已知 |a+2b+3|+(3a-b-5)2=0，则(3a+2b)2022=___. 1 解：∵|a+2b+3|≥0，(3a-b-5)2 ≥0， |a+2b+3|+(3a-b-5)2=0. ∴ 解这个方程组，得 ∴(3a+2b)2022= (-1)2022 =1. 根据“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都为0”得到关于a, b的方程组，然后解方程组即可. 拓展与延伸 2. 已知 x，y 满足方程组 ， 求 x2+4y2的值. 把③代入④，得 ， 解:由① 得 3(x2+4y2)=47+2xy，即 .③ 由②得 2(x2+4y2)=36-xy.④ 解得 xy=2， 把 xy=2 代入③，得 x2+4y2=17. 解： 由②可得2x＝13－5y， ③将③代入①，得 2(13－5y)－7y＝－8， 解得y＝2， 把y＝2代入③，得2x＝3， 解得x＝， ∴原方程组的解为 解：由②，得y＝； 将y＝代入①，得＝x＋2. 解：(两种方法选择其中一种即可) 选择小刚的方法： 由①，得x＝7y－2，③ 把③代入②，得12y＝7y－2＋17， 解得y＝3， 把y＝3代入③，得x＝7×3－2＝19， ∴原方程组的解为 ∴每月的报酬为3枚银币． 选择小强的方法：＝x＋2， 去分母，得7(x＋17)＝12(x＋2)， 去括号，得7x＋119＝12x＋24， 移项、合并同类项，得5x＝95， 系数化为1，得x＝19，即这件衣服值19枚银币， ∴每月的报酬为＝3(枚)银币． $$