期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、根据一元一次不等式（组）的解集求参数 1．（24-25七年级下·上海宝山·课后作业）对于任意实数，规定（为常数）．已知． (1)求的值； (2)已知是实数，若，求的取值范围． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，． (1)求不等式的解集； (2)若关于x的不等式的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围． 4．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； (3)若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 5．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”； (2)若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围． 压轴满分题二、不等式有解、无解的问题 6．（24-25七年级下·上海松江·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 7．（23-24七年级下·上海静安·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 8．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）计算题 (1)解不等式组． (2)把下列各式因式分解： ①； ②． (3)先化简，再求值：，其中． (4)当m为何值时，关于x的方程无解． 9．（2024·上海奉贤·模拟预测）解关于x的不等式． 解：移项、合并同类项，得 ． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不成立，所以原不等式无解； 当，即时，不等式的解集为． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求a的取值范围． 10．（23-24七年级下·上海宝山·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 压轴满分题三、一元一次不等式（组）与数轴压轴题型 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)； (7)； (8)． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在数轴上，点A，B分别表示数1，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数的点应落在______，请说明理由． A．点A的左边    B．线段上    C．点B的右边 13．（23-24七年级下·上海青浦·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_______． 14．（23-24七年级下·上海普陀·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 15．（23-24七年级下·上海崇明·阶段练习）阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于； 点，之间的点表示的数的绝对值小于； 点右边的点表示的数的绝对值大于． 因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是________； ②的解集是___________； (2)求绝对值不等式解集． 压轴满分题四、一元一次不等式（组）的最值问题 16．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 17．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” (1)在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； (2)若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 18．（24-25七年级下·上海·阶段练习）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 20．（23-24七年级下·上海闵行·期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？ 【回顾】 小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：，设y= ，那么y的取值范围是 .（请你直接写出答案） 【探究】 小明想：可以将研学单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目. 由得，则， 由，，得关于x的一元一次不等式组 ， 解该不等式组得到x的取值范围为 ， 则w的取值范围是 . 【应用】 （1）已知a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，设t=a+b，求t的取值范围； （2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，的最大值为 （用含n的代数式表示）； 【拓展】 若，且，，，设，且m为整数，那么m所有可能的值的和为 . 压轴满分题五、一元一次不等式（组）的新定义压轴题型 21．（23-24七年级下·上海金山·期中）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图所示，求k的值． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 23．（23-24七年级下·全国·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 24．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 25．（23-24七年级下·上海闵行·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“关联方程”是_________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 压轴满分题六、相交线综合应用压轴题型 26．（2025七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 27．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，直线相交于点，平分， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 28．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图所示，点B，E分别在上，均与相交，，，求证：． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动，设，在射线AM上取一点C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D． (1)如图1，当时，______°； (2)作∠ABQ的平分线BE，若BE⊥CD，垂足为E，如图2，求的值； (3)作∠ACD的角平分线CF，若CF与AB相交，当CF与AB的夹角是60°时，直接写出的值：______ 压轴满分题七、平行线的性质综合应用压轴题型 31．（2024七年级下·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 32．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 33．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图，梯子的各条横档互相平行． （1）若，求的度数． （2）用足够长的木棍做横档，假定木棍无浪费且恰好用完．已知每一根横档比上一根横长0.1米，若第二根横档与第三根横档长度之和为0.8米，已知最长的横档长为1.25米，求最短的横档长几米，这条木梯有几根横档？ 34．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 35．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 压轴满分题八、平行线的判定综合应用压轴题型 36．（浙江省星光联盟2024-2025学年七年级下学期三月学科素养调查七年级数学）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 37．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知点E在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 38．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 39．（23-24七年级下·上海崇明·期末）小红学习完平行线的证明之后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】（）如图①，平分，点是上任意一点，过点作交于点，请写出一个与相等的角； 【操作思考】（）如图②，为锐角，射线在内部，，点是边上任意一点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接．根据题意补全图形； 【联系拓广】（）在（）的条件下，猜想直线与的位置关系，并证明你的结论． 40．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 压轴满分题九、根据平行线的性质探究角的关系 41．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； 42．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）【问题提出】课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？” 【问题探索】为了解答李老师的问题，小明与小颖分别画出了下面的图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题： (1)如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 (2)请你根据两位同学所画的图形，分别给出你的结论并说明理由； (3)结合李老师提出的问题，我们可以得到一个结论（请你用语言表述） 45．（23-24七年级下·上海长宁·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 压轴满分题十、一元一次不等式（组）的综合实际应用 46．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）为了筹备2025年新年晚会，学校决定给甲、乙两个班级购买演出服，已知甲班需购买的A种演出服每套100元，乙班需购买的B种演出服每套120元，两班共需要演出服100套． (1)若为甲、乙两班购买两种演出服的总价为11200元，则需为甲、乙两班购买演出服各多少套？ (2)若学校打算为文艺表演小组购进A、B两种演出服共180套，其中B种演出服的购买数量不超过A种演出服购买数量的2倍，则至少需要购买A种演出服多少套？ 47．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）45中百草园社团准备带学生种植A、B两种绿色植物共50棵，其中A种绿植数量不超过B种绿植的三倍． (1)社团最多购买A种绿色植物多少棵? (2)已知种植A种绿色植物每棵需要，B种绿色植物种植每棵需要，若种植绿色植物总面积不超过，百草园社团购买绿色植物的方案有几种？哪种方案的占地面积最少？ 48．（2025·上海杨浦·模拟预测）我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要天，若由甲队先做天，再由甲、乙合作天，共完成总工作量的三分之二． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)甲队施工1天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 49．（23-24七年级下·上海闵行·期末）某商店用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少10元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件45元，商品售价为每件60元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求的值． ②已知是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则的值为_____．（直接写出结果） 50．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 压轴满分题十一、平行线中的动点问题 51．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 52．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)䒴点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：． (2)若将沿折叠，使顶点落在点处． ①若点刚好在直线上，求：的度数． ②若点落在两平行线之间，且，求：的度数． 53．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，已知． (1)如图1，M是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，M是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，点M，N分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有几种？分别是哪些？（不要证明） 54．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 55．（23-24七年级下·上海普陀·期末）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，. (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若于点，平分，求证：； (3)如图，若点是直线、之间的动点，连接、，若，请探究、和之间的数量关系（直接写出结论，不需要说理由）. 压轴满分题十二、平行线中的翻折问题 56．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图1，在一张白纸上画直线，点在直线外；如图2所示，翻折白纸使直线重合，折痕经过点，记折痕为直线；再次如图3所示，翻折白纸，使图2中的直线重合，经过点的新的折痕记为直线；如图4，请根据以上操作说明直线，的位置关系，并证明你的结论．    57．（23-24七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 59．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 60．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 压轴满分题十三、平行模型问题压轴题型 61．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）（1）计算： （2）如图是一辆婴儿车模型，其中，，，求∠2的度数． 62．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 63．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）已知三角形，点G在的延长线上． (1)【模型探究】 如图1，试探究：． 证明如下：过点A作，（请你按此思路继续完成证明过程） (2)【尝试应用】请用上面的模型解决下面问题： ①如图2，分别过B，C两点作射线，与交于点E，试猜想写出与，间的数量关系，并说明理由； ②如图3，分别作，的一条三等分线，，与交于点D，若，求的度数．（用含的式子表示） 64．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 65．（23-24七年级下·上海虹口·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 1．（2025·上海松江·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2．（24-25七年级下·全国·周测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．     C．     D．   3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 5．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 7．（2025·上海虹口·一模）举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 8．（23-24七年级下·上海崇明·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 9．（23-24七年级下·上海青浦·期中）如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．    10．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（在的左侧），伸展主臂，支撑臂构成，在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行，当时， 度 11．（24-25七年级下·上海金山·阶段练习）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年度下学期第一次月考试卷七年数学）如图，已知，垂足为B，，垂足为D，．与平行吗？为什么？ 13．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 14．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 15．（23-24七年级下·上海金山·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、根据一元一次不等式（组）的解集求参数 1．（24-25七年级下·上海宝山·课后作业）对于任意实数，规定（为常数）．已知． (1)求的值； (2)已知是实数，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，能根据新运算得出方程组是解此题的关键． （1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可； （2）根据已知新运算得出，再解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得， 故． （2）解：由（1），得． 依题意，得， 解得． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）表示出不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，确定出a的范围即可； （2）根据不等式组有解表示出解集，由解集中的任何一个x值均不在的范围内，确定出a的范围即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得 ， 因为该不等式组有且只有4个整数解， 所以， 所以，整数解为， 所以， 解得， 所以满足条件的整数a的值为； （2）解：因为该不等式组有解， 所以， 所以． 因为解集中的任何一个x值均不在的范围内， 所以， 解得， 所以a的取值范围为． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，． (1)求不等式的解集； (2)若关于x的不等式的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一次不等式，熟练掌握不等式的解法是关键． （1）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解答即可； （2）根据题意解出，再根据条件列出，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得式， 解不等式得：； （2）∵， 即， ， ∵关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解， ， ． 4．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； (3)若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提供的信息列出关于x的不等式，解不等式即可； （2）先根据关于x的不等式的解集是，求出，然后把代入求不等式的解集即可； （3）解关于x的不等式组得出，根据关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，得出，求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， 解得：， 又∵关于x的不等式的解集是， ∴， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：， 解得：； （3）解：关于x的不等式组可变为： ， 解得：， ∵关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了新定义计算，解不等式和不等式组，根据不等式组解集清楚求参数，解题的关键是理解题意，列出相应的不等式或不等式组． 5．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”； (2)若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解不等式组，熟练掌握一元一次方程及不等式组的解法，读懂题意，理解“友好方程”的定义，是解题的关键． （1）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再根据“友好方程”的定义即可得到答案； （2）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，根据“友好方程”的定义即可得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，最后根据不等式组有3个整数解，以及“友好方程”的定义进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集为：， 的解为，且， 是不等式组的“友好方程”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∴的解集为：， 关于的方程的解为：， ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， ∴在范围内， ∴， 解得：； （3）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∴的解集为：， ∵此时不等式组有3个整数解， ∴， 解得： 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， ∴在范围内， ∴， 解得：， 综上所述，． 压轴满分题二、不等式有解、无解的问题 6．（24-25七年级下·上海松江·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 7．（23-24七年级下·上海静安·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)不等式组无解 (3) 【分析】（1）先求出两个不等式的解集，再代入m的值利用夹逼原则求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求出两个不等式的解集，再根据该不等式组有解，但无整数解，列出关于m的不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组无解； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式有解，但没有整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集，然后利用夹逼原则求出不等式组的解集是解题的关键． 8．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）计算题 (1)解不等式组． (2)把下列各式因式分解： ①； ②． (3)先化简，再求值：，其中． (4)当m为何值时，关于x的方程无解． 【答案】(1) (2)①；② (3)，4 (4) 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，继而得到不等式组的解集； （2）①先提公因式，再利用完全平方公式分解；②先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解； （3）先通分，计算括号内的减法，将分子分母因式分解，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，再将代入计算即可； （4）去分母，求出解，再根据方程无解，得到解为增根，即，解之即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：； （2）① ； ② ； （3） ， 当时，原式； （4）， 去分母得：， 解得：， ∵方程无解， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，因式分解，分式的化简求值，分式方程无解问题，解题的关键是掌握相应的运算法则，注意要细心计算． 9．（2024·上海奉贤·模拟预测）解关于x的不等式． 解：移项、合并同类项，得 ． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不成立，所以原不等式无解； 当，即时，不等式的解集为． (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集是，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为． (2) 【分析】本题考查了含有参数的不等式的解法，以及给出解集求参数的取值范围，结合不等式的性质合理分类讨论是解决问题的关键． （1）先对不等式化简，提取未知数x，再对x前的系数进行分类讨论，再系数化1，解不等式； （2）先对不等式化简，提取未知数x，发现解集中的符号与不等式的符号相反，且不等号两侧互为相反数，问题就转化为解的不等式． 【详解】（1）解：解：移项、合并同类项，得 ． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，恒成立，不等式的解集为全体实数； 当，即时，不等式的解集为． ∴当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为． （2）解： ， ， ， ∵解集是， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·上海宝山·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 【答案】(1)③④ (2) (3)当或时，不等式被覆盖 【分析】本题主要考查不等式的性质，解不等式（组）的方法，理解题目中的含义，掌握解不等式（组）的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质，分别求出①②③④的解集，再根据材料提示的信息即可求解； （2）先解不等式得，再根据覆盖的定义即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当有解时，； 当无解时，；根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得，； ②， 解得，； ③， 解得，； ④， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得，， ∴不等式组无解； ∴被不等式覆盖的是③④， 故答案为：③④； （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵不等式被覆盖， ∴， 解得，； （3）解：∵不等式被覆盖， ∴当有解时，， 解得，； 当无解时，， 解得，； 综上所述，当或时，不等式被覆盖． 压轴满分题三、一元一次不等式（组）与数轴压轴题型 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)；数轴表示见解析 (2)；数轴表示见解析 (3)；数轴表示见解析 (4)；数轴表示见解析 (5)；数轴表示见解析 (6)；数轴表示见解析 (7)；数轴表示见解析 (8)；数轴表示见解析 【分析】题目主要考查解不等式．熟练掌握不等式的解法步骤，在数轴上表示不等式的解集，是解题关键． （1）合并同类项，即得； （2）移项，合并同类项，系数化成1，即得； （3）去分母，移项，合并同类项，即得； （4）移项，合并同类项，系数化成1，即得； （5）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即得； （6）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即得； （7）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，即得； （8）移项，合并同类项，系数化成1，即得． 【详解】（1）解：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （2）解：， 移项得：， 化简得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （3）解：， 去分母得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （4）解：， 移项得：， 合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：    （5）解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：；解集在数轴上表示如下： （6）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下： （7）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下： （8）解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下： 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在数轴上，点A，B分别表示数1，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数的点应落在______，请说明理由． A．点A的左边    B．线段上    C．点B的右边 【答案】(1) (2)B，理由见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，用数轴比较有理数大小，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得，然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据不等式的性质可得，从而可得数轴上表示数的点在点A的右边，然后利用作差法比较大小可得，从而可得数轴上表示数的点在点B的左边，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得， 解得， 即的取值范围为． （2）解：B，理由如下： 由（1），得，所以， 所以，即， 所以数轴上表示数的点在点的右边． 作差，得． 由，得，所以， 所以， 所以， 所以数轴上表示数的点在点的左边． 综上所述，数轴上表示数的点应落在线段上． 13．（23-24七年级下·上海青浦·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_______． 【答案】(1) (2) (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集； （3）定方向，定边界，在数轴上表示出不等式的解集即可； （4）根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ， ∴； 故答案为：； （2） ∴； 故答案为：； （3）数轴表示解集，如图：    （4）由数轴可知：不等式组的解集为：； 故答案为：． 14．（23-24七年级下·上海普陀·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】杭杭的解答过程错误，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：有错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 15．（23-24七年级下·上海崇明·阶段练习）阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于； 点，之间的点表示的数的绝对值小于； 点右边的点表示的数的绝对值大于． 因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是________； ②的解集是___________； (2)求绝对值不等式解集． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查利用数轴解绝对值不等式，解题的关键是理解题意，根据题目中，解题的方法，进行解答，学会数形结合解题，即可． （1）根据绝对值不等式的解集为或，进行解答，即可； （2）先化简，则，再根据小明解法，即可． 【详解】（1）∵绝对值不等式的解集为或 ∴数轴如下： ∴的解集为：或； 数轴如下： ∴的解集为：． 故答案为：或；． （2）∵， 移项得：， 系数化为得：， ∴的解集表示为：或， ∴的解集为：或． 压轴满分题四、一元一次不等式（组）的最值问题 16．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】（1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得， ∵， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” (1)在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； (2)若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 【答案】(1)②③ (2)①；②7 【分析】（1）分别解方程和不等式，根据结果判断即可； （2）①求出各方程和不等式的解和解集，根据伴随方程和非伴随方程列出不等式组，解之即可；②根据a的范围，利用绝对值的意义，可得结果． 【详解】（1）解：解不等式得：， 解①得：，不在范围内，故不是的“伴随方程”； ②得：，在范围内，故是的“伴随方程”； ③得：，在范围内，故是的“伴随方程”； 故答案为：②③； （2）①解得：， 解得：； 解得：， 解得：， 由题意可得：， 解得：； ②表示数轴上与0和3的距离之和， ∵， ∴当时，最大，且为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式（组），绝对值的意义，解题的关键是理解伴随方程的意义，列出相应不等式． 18．（24-25七年级下·上海·阶段练习）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 【答案】(1) (2)，的最大值为25 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）先根据，可得①，同理可得②，将①与②相加即可得； （2）先根据，可得③，同理可得④，将③与④相加即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得：②， 由①②得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴③， 同理可得：④， 由③④得：， ∴， ∴的最大值为25． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． 信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为； 3．脂肪所占的百分比为； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的倍 (1)求这份快餐中所含脂肪质量； (2)若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 【答案】(1)这份快餐中所含脂肪质量为； (2)这份快餐所含蛋白质的质量为； (3)所含碳水化合物质量的最大值为． 【分析】（）快餐中所含脂肪质量快餐总质量脂肪所占百分比； （）设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，列出不等式求解即可； 此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：这份快餐中所含脂肪质量为； （2）解：设这份快餐所含矿物质的质量为，根据题意，得， 解得：， ∴， 答：这份快餐所含蛋白质的质量为； （3）解：设所含矿物质的质量为，则所含蛋白质的质量为，所含碳水化合物的质量为， ∴， 解得：， ∴， 答：所含碳水化合物质量的最大值为． 20．（23-24七年级下·上海闵行·期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？ 【回顾】 小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：，设y= ，那么y的取值范围是 .（请你直接写出答案） 【探究】 小明想：可以将研学单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目. 由得，则， 由，，得关于x的一元一次不等式组 ， 解该不等式组得到x的取值范围为 ， 则w的取值范围是 . 【应用】 （1）已知a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，设t=a+b，求t的取值范围； （2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，的最大值为 （用含n的代数式表示）； 【拓展】 若，且，，，设，且m为整数，那么m所有可能的值的和为 . 【答案】0＜y＜3；；-2≤x＜3；-4≤w＜6；（1）-2＜t＜8；（2）2n+3；6 【分析】回顾：利用不等式的基本性质求出0＜x+1＜3，即可求解； 探究：根据所给材料的过程进行解题即可； （1）由题意得t＝4+2b，则关于b的一元一次不等式组 ，求出﹣3＜b＜2，即可求﹣2＜t＜8； （2）由题意可得关于a的一元一次不等式组 ，解得1＜a≤n+1，设t＝2a+b＝3a﹣n，求出3﹣n＜t≤2n+3，即可求t的最大值； 拓展： 由题意分别求出x＝2y+4，z＝3y+6，则关于y的不等式组为 ，解得﹣2＜y≤1，可得m＝﹣y+2，求出1≤m＜4，可知m＝1，2，3，则m所有可能的值的和为6． 【详解】【回顾】∵﹣1＜x＜2， ∴0＜x+1＜3， ∵y＝x+1， ∴0＜y＜3， 故答案为：0＜y＜3； 【探究】由题意可得 ， 解不等式组可得：﹣2≤x＜3， ∵w＝2x， ∴﹣4≤w＜6， 故答案为：，﹣2≤x＜3，﹣4≤w＜6； （1）由a﹣b＝4得a＝4+b， ∴t＝a+b＝4+b+b＝4+2b， ∵a＞1，b＜2， ∴关于b的一元一次不等式组， 解该不等式组得﹣3＜b＜2， ∴﹣2＜t＜8； （2）∵a﹣b＝n， ∴b＝a﹣n， ∵a＞1，b≤1， ∴关于a的一元一次不等式组 ， 解得1＜a≤n+1， 设t＝2a+b＝2a+a﹣n＝3a﹣n， ∴3﹣n＜t≤2n+3， ∴2a+b的最大值为2n+3， 故答案为：2n+3； 【拓展】∵3x＝6y+12， ∴x＝2y+4， ∵6y+12＝2z， ∴z＝3y+6， ∴关于y的一元一次不等式为 ， 解得﹣2＜y≤1， ∵m＝2x﹣2y﹣z＝2（2y+4）﹣2y﹣（3y+6）＝﹣y+2， ∴1≤m＜4， ∵m为正数， ∴m＝1，2，3， ∴m所有可能的值的和为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，理解阅读材料，并能灵活应用阅读材料的方法解题是关键． 压轴满分题五、一元一次不等式（组）的新定义压轴题型 21．（23-24七年级下·上海金山·期中）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图所示，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提． 根据新定义的运算可得，解得，再由数轴所表示的解集可得即可． 【详解】解：不等式，由新运算的定义可得，， 所以， 由数轴所表示的解集可知，， 解得：． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据的定义，可得，求解即可； （2）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：． （2）解：分情况讨论： ①当，即时， ， 解得：； ②当，即时， ， 解得：， 综上，的取值范围是或； 23．（23-24七年级下·全国·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得， ， ， ， 的最小整数值是． 24．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用新规定，得出关于a、b的方程组，解方程组即可； （2）利用新运算，代数求解即可； （3）利用不等式的解集，求符合题目要求的m的取值范围即 【详解】（1）∵， ∴2a-2b=2（a-b）=4， ∴a-b=2． ， ∴a+4b=7， 解方程组：， 得：； （2） ∴ （3） 由得 由得 ∴解集为 ∵三个整数解 ∴整数解为－1，0，1 ∴ ∴． 【点睛】本题考查的是新运算问题，解题关键就是理解新运算法则，熟练运用法则进行计算． 25．（23-24七年级下·上海闵行·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“关联方程”是_________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式组． （1）分别解两个方程和不等式组，根据“关联方程”的定义，即可判断求解； （2）解不等式组和方程，将方程的解代入不等式组的解集，即可求解； （3）解不等式组和方程，根据“不等式组有4个整数解”，的到的范围，将方程的解代入不等式组的解集，得到的范围，两者取公共部分，即可求解， 【详解】（1）解：①， 解得：； ②， 解得：； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“关联方程”是：①． 故答案为：①． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ， 解得：， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：； （3）解：由关于的方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4， ∴， ∴， ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， ∴m的取值范围：． 压轴满分题六、相交线综合应用压轴题型 26．（2025七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平面内的相交线，反证法，解题的关键是用反证法证明． 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多． 【详解】解：如图，在平面上任取一点O，过点O分别作这6条直线的平行线，则由平行线的特性，知直线之间互成的角与原来的6条直线之间互成的角相等． 现在我们考虑直线的情况，观察直线与，与与与所成的角，由图不难发现这6个角合成一个平角，即这6个角的和为． 假设这6个角没有一个小于，则这6个角都大于或等于，从而这6个角的和至少为，这是不可能的，所以这6个角中至少有一个角小于． 不妨设与所成的角小于， 则原来的直线与所成的角也必小于． 27．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，直线相交于点，平分， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可求得，根据对顶角的定义可得，然后根据，即可求得结果； （2）根据平分，可得，再结合可得，最后利用平角的定义及对顶角求出，再根据互余即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ∵， ， ． （2）解：平分， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平角的定义、垂直的定义，对顶角的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 28．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图所示，点B，E分别在上，均与相交，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质以及平行线的判定，注意等量代换的运用，属于基础题，难度不大．根据对顶角的性质和已知条件得到的条件，然后根据平行线的性质得到，已知，则得到满足的条件，再根据两直线平行，内错角相等得到． 【详解】证明：如图，∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动，设，在射线AM上取一点C，作∠ACD＝52°，CD交PQ于D． (1)如图1，当时，______°； (2)作∠ABQ的平分线BE，若BE⊥CD，垂足为E，如图2，求的值； (3)作∠ACD的角平分线CF，若CF与AB相交，当CF与AB的夹角是60°时，直接写出的值：______ 【答案】(1)36 (2)76° (3)94° 【分析】（1）根据平行线的性质及邻补角定义求解即可； （2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； （3）根据平行线的性质、三角形内角和及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：∵MN∥PQ， ∴∠MAB=∠ABQ=， ∵∠MAB+∠BAN=180°， ∴∠BAN=180°-， ∵∠BAN=108°+， ∴=36°， 故答案为：36； （2）解∶ ∵MN∥PQ， ∴∠CDB=∠ACD=52°， ∵BE⊥CD， ∴∠BED=90°， ∴∠EBD=90°-∠CDB=38°， ∵BE是∠ABQ的平分线， ∴∠ABQ=2∠EBD=76°， 即=76°； （3）如图，作∠ACD的角平分线CF，CF与AB相交于点G，∠AGC=60°， ∵∠ACD=52°，CF为∠ACD的角平分线， ∴∠ACG=∠ACD=26°， ∵MN∥PQ， ∴∠GFB=∠ACG=26°， ∵∠FGB=∠AGC=60°， ∴∠GBF=180°-∠FGB-∠GFB=180°-60°-26°=94°， 即∠ABQ=94°， ∴=94°， 故答案为：94°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 压轴满分题七、平行线的性质综合应用压轴题型 31．（2024七年级下·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 32．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 33．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图，梯子的各条横档互相平行． （1）若，求的度数． （2）用足够长的木棍做横档，假定木棍无浪费且恰好用完．已知每一根横档比上一根横长0.1米，若第二根横档与第三根横档长度之和为0.8米，已知最长的横档长为1.25米，求最短的横档长几米，这条木梯有几根横档？ 【答案】（1）100°；（2）0.25米，11根 【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1=∠3，根据∠1=∠2+20°，即可得到∠2=∠3-20°，再根据邻补角即可得到∠3=100°． （2）根据题意算出第二、三根横档的长，再分别列式求出结果． 【详解】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠1=∠3， 又∵∠1=∠2+20°， ∴∠3=∠2+20°，即∠2=∠3-20°， 又∵∠3+∠2=180°， ∴∠3+∠3-20°=180°， ∴∠3=100°； （2）∵第二根横档与第三根横档长度之和为0.8米， 且每一根横档比上一根横长0.1米， 则（0.8-0.1）÷2=0.35米， ∴第二根长0.35米，第三根长0.45米， 则最短的横档长为0.35-0.1=0.25米， （1.25-0.25）÷0.1+1=11根， ∴这条木梯共有11根横档． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的混合运算的实际应用，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 34．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45° 【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数； （2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°． 【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H， 则l∥m， 根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°， 又∠HDE=90°， ∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°． （2）如图所示， 设∠DMN=x，∠CDM=y， 由于DE∥FN， ∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x， 又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°， 则x-y=45°， 即∠DMN-∠CDM=45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键． 35．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 压轴满分题八、平行线的判定综合应用压轴题型 36．（浙江省星光联盟2024-2025学年七年级下学期三月学科素养调查七年级数学）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据对顶角相等得出根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知点E在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答． （1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴． 38．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 39．（23-24七年级下·上海崇明·期末）小红学习完平行线的证明之后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】（）如图①，平分，点是上任意一点，过点作交于点，请写出一个与相等的角； 【操作思考】（）如图②，为锐角，射线在内部，，点是边上任意一点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接．根据题意补全图形； 【联系拓广】（）在（）的条件下，猜想直线与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（）或；（）补图见解析；（）当在线段上时，；当在射线上时，，证明见解析 【分析】（）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解； （）根据题意补全图形即可； （）分在线段上和在射线上两种情况，分别画出图形解答即可． 【详解】解：（）∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或； （）如图所示，点即为所求； （）当在线段上时，；当在射线上时，，理由如下： 第一种情况： 如图③，延长交于点， 设，则， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ； 第二种情况： 如图④，由题知， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 40．（23-24七年级下·上海宝山·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题九、根据平行线的性质探究角的关系 41．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 42．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出． 【详解】（1）． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）【问题提出】课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？” 【问题探索】为了解答李老师的问题，小明与小颖分别画出了下面的图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题： (1)如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 (2)请你根据两位同学所画的图形，分别给出你的结论并说明理由； (3)结合李老师提出的问题，我们可以得到一个结论（请你用语言表述） 【答案】(1)C (2)见解析 (3)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质； （1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据平行线的性质证明即可； （3）由（1）可得，结论为：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【详解】（1）解：根据小明所画的图形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据小颖所画的图形： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：C． （2）小明：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 小颖：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 45．（23-24七年级下·上海长宁·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 压轴满分题十、一元一次不等式（组）的综合实际应用 46．（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）为了筹备2025年新年晚会，学校决定给甲、乙两个班级购买演出服，已知甲班需购买的A种演出服每套100元，乙班需购买的B种演出服每套120元，两班共需要演出服100套． (1)若为甲、乙两班购买两种演出服的总价为11200元，则需为甲、乙两班购买演出服各多少套？ (2)若学校打算为文艺表演小组购进A、B两种演出服共180套，其中B种演出服的购买数量不超过A种演出服购买数量的2倍，则至少需要购买A种演出服多少套？ 【答案】(1)需为甲班购买A种演出服40套，为乙班购买B种演出服60套 (2)至少需要购买A种演出服60套 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，用不等式解决实际问题，能够根据题意分析出等量关系与不等关系是解决本题的关键． （1）设需为甲班购买A种演出服x套，根据购买两种演出服的总价为11200元列方程求解； （2）设至少需要购买A种演出服a套，根据B种演出服的购买数量不超过A种演出服购买数量的2倍列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设需为甲班购买A种演出服x套，则需为乙班购买B种演出服套． 由题意可得， 解得， ∴（套）， 答：需为甲班购买A种演出服40套，为乙班购买B种演出服60套． （2）解：设至少需要购买A种演出服a套，则需购买B种演出服套． 由，得， 答：至少需要购买A种演出服60套． 47．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）45中百草园社团准备带学生种植A、B两种绿色植物共50棵，其中A种绿植数量不超过B种绿植的三倍． (1)社团最多购买A种绿色植物多少棵? (2)已知种植A种绿色植物每棵需要，B种绿色植物种植每棵需要，若种植绿色植物总面积不超过，百草园社团购买绿色植物的方案有几种？哪种方案的占地面积最少？ 【答案】(1)社团最多购买A种绿色植物37棵 (2)百草园社团共有3种购买绿色植物的方案，方案3的占地面积最少 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式为解题关键． （1）设购买A种绿色植物x棵，则购买B种绿色植物棵，根据A种绿植数量不超过B种绿植的三倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据种植绿色植物总面积不超过，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合（1）的结论及x为正整数，即可得出各购买方案，再求出各方案的占地面积，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买A种绿色植物x棵，则购买B种绿色植物棵， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为37， 答：社团最多购买A种绿色植物37棵； （2）依题意得：， 解得：， 又，且x为正整数， 可以为35，36，37， ∴百草园社团共有3种购买绿色植物的方案， 方案1：购买A种绿色植物35棵，B种绿色植物15棵； 方案2：购买A种绿色植物36棵，B种绿色植物14棵； 方案3：购买A种绿色植物37棵，B种绿色植物13棵， 选择方案1时，种植绿色植物的占地面积为， 选择方案2时，种植绿色植物的占地面积为， 选择方案3时，种植绿色植物的占地面积为， ， ∴方案3的占地面积最少． 48．（2025·上海杨浦·模拟预测）我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要天，若由甲队先做天，再由甲、乙合作天，共完成总工作量的三分之二． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)甲队施工1天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 【答案】(1)乙队单独完成这项工程需要天； (2)甲、乙两队最多合作天． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，列出方程和不等式是解题的关键． （）设乙队单独完成这项工程需要天，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设甲、乙两队合作天，根据题意得，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：乙队单独完成这项工程需要天； （2）解：设甲、乙两队合作天， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两队最多合作天． 49．（23-24七年级下·上海闵行·期末）某商店用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少10元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件45元，商品售价为每件60元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求的值． ②已知是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则的值为_____．（直接写出结果） 【答案】(1)每件商品进价为30元，购进商品的数量为200件 (2)①；②5或10 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意后设每件商品进价为元，则商品进价（元），然后列出分式方程，即可作答． （2）①读懂题意后列出一元一次方程，解出的值，即可作答． ②先由题意列式化简得，因为是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，整理得或，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设每件商品进价为元，则商品进价（元） ∵用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，购进、商品数量恰好相等． ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴每件商品进价为30元， 则（件）， ∴购进商品的数量为200件 （2）解：①依题意， 解得， ②依题意， ， 解得， ∵是不小于100的正整数， ∴， ∴， ∵是不大于10的正整数， ∴， ∴或， ∴的值是或． 故答案为：或． 50．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 压轴满分题十一、平行线中的动点问题 51．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义； （1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）先证明，，，再进一步可得结论. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于点C、平分交于点D， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵BD平分， ∴， ∴． 52．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)䒴点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：． (2)若将沿折叠，使顶点落在点处． ①若点刚好在直线上，求：的度数． ②若点落在两平行线之间，且，求：的度数． 【答案】(1)见解析； (2)①；② 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角的和差倍分的计算，掌握平行线的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． （1）根据，可得，根据，即可求解； （2）①根据折叠可得，根据平行线的性质及，可得，由此即可求解；②由折叠可知，根据题意可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明， ， ， ， ； （2）解：①如图2，由折叠可知， ， ， ， ， ； ②如图3，由折叠可知，， ， ， ， ， ， ． 53．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，已知． (1)如图1，M是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，M是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，点M，N分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有几种？分别是哪些？（不要证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，证明见解析； (3)4种，见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据“两直线平行，内错角相等”推出，，即可求解； （2）根据“两直线平行，同旁内角互补”推出，，即可求解； （3）根据点M、N的位置，分四种情况作图，然后根据平行线的性质写出关系式即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ，， ； （2）解：，证明如下： ，， ； （3）解： 如图①，由（2）同理可证：； 如图②，， ，，， ， ， 即； 如图③，， ，，， ， ， 即； 如图④，， ，，， ． 即． 54．（24-25七年级下·上海长宁·阶段练习）数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案； （2）根据，即可得到答案； （3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； 同理可得 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 55．（23-24七年级下·上海普陀·期末）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，. (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若于点，平分，求证：； (3)如图，若点是直线、之间的动点，连接、，若，请探究、和之间的数量关系（直接写出结论，不需要说理由）. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或． 【分析】（）利用平行线的性质即可求解； （）过作，则，再根据平行线的性质和角度和差即可求证； （）分当点在左侧时，当点在右侧时两种情况分析即可； 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，过作， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）如图，当点在左侧时， 过作， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 如图，当点在右侧时， 过作， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 压轴满分题十二、平行线中的翻折问题 56．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图1，在一张白纸上画直线，点在直线外；如图2所示，翻折白纸使直线重合，折痕经过点，记折痕为直线；再次如图3所示，翻折白纸，使图2中的直线重合，经过点的新的折痕记为直线；如图4，请根据以上操作说明直线，的位置关系，并证明你的结论．    【答案】，理由见解析． 【分析】设点的对应点为，直线为对称轴，与直线交于点；设点的对应点为，直线为对称轴，与直线交于点；根据折叠的性质可求得，即可判断直线，的位置关系． 【详解】． 理由如下： 设点的对应点为，则直线为对称轴，与直线交于点． 设点的对应点为，则直线为对称轴，与直线交于点．    根据折叠的性质，得 ， 又， ∴． 同理可得． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的判定，牢记折叠的性质和平行线的判定定理是解题的关键． 57．（23-24七年级下·上海静安·期中）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答： ． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）结合已知先证，利用平行线和平角的性质得到可求解； （2）当点Q在边上时，利用（1）中关系可求解，当点Q在的延长线上时，如图，由（1）可知，可求得，结合已知利用同旁内角互补可求解； （3）由翻折和已知可求得，从而得到，再由翻折可求得，最后结合（1）中的关系可求解． 【详解】（1） （2）当点Q在边上时， 由（1）有，， ∵， ∴，， ； 当点Q在的延长线上时，如图， 由（1）可知， ， ∵， 解得： 即为或． （3）∵， ， ∵， ， 由（1）可知， 由翻折可知 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明并灵活应用平行线的性质求解． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析 【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答； （2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答； ②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答． 【详解】（1）解：， 理由如下： 由平移性质可得，， 过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示： ，， 的面积为，的面积为，的面积为， ，，， ， ， ， （2）解：①如图，由平移性质可得， ， 直线， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ； ②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分， 理由如下： 由平移性质可得， ， ， 直线， ， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、把三等分， 时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分． 【点睛】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键． 59．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用． （1）利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行分析即可； （2）利用同位角相等，两直线平行进行分析即可； （3）由题意可得，则有，，再由角平分线的定义可得，则可求得． 【详解】（1）解：，， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）解：，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）证明：于点，于点， ∴， ，， 又平分， ． ． 60．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①90；②正确，证明见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）①根据折叠的性质求解即可； ②同①理可得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解． 【详解】解：（1）①由题意可知，点、、、共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 故答案为：90； ②王玲的说法正确，证明如下： 由①得：， 同①理可得，， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ， ， 压轴满分题十三、平行模型问题压轴题型 61．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）（1）计算： （2）如图是一辆婴儿车模型，其中，，，求∠2的度数． 【答案】（1）27；（2） 【分析】（1）利用负整数指数幂，有理数的乘除法法则计算即可； （2）作，得到，，因为，即可得到的度数． 【详解】（1）解： （2）解：如图，作， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查负整数指数幂，有理数的乘除法法则，平行线的性质，熟练掌握负整数指数幂的运算，正确作出辅助线MN是解答本题的关键． 62．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线． 请补全下述证明过程： ∵， ∴______． ∵，， ∴______． ∵，______． ∴______． ∴（本空填依据：______）． 【答案】；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定和性质，结合已知证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；内错角相等，两直线平行． 63．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）已知三角形，点G在的延长线上． (1)【模型探究】 如图1，试探究：． 证明如下：过点A作，（请你按此思路继续完成证明过程） (2)【尝试应用】请用上面的模型解决下面问题： ①如图2，分别过B，C两点作射线，与交于点E，试猜想写出与，间的数量关系，并说明理由； ②如图3，分别作，的一条三等分线，，与交于点D，若，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)证明见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的相关计算． （1）过点A作，由平行线的性质可得出，，进一步可得出，即． （2）①由（1）可得，由平行的性质可得出，即可得．②由（1），，可得出，进而可得出 【详解】（1）证明：过点A作， ∴，， ∴， 即． （2）①猜想：， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 即． ②设，， 由（1），， ∴，， ∴， ∴． 64．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 65．（23-24七年级下·上海虹口·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    1．（2025·上海松江·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】 本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·周测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．     C．     D．   【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 先分别求出每个不等式的解集，然后再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如下：    故选D． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）已知，下列图形中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行，解决本题的关键是判断和是由哪两条直线被截形成的角． 【详解】解：A选项：和是直线、被直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行可证，不能证明，故A选项不符合题意； B选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，当时，根据内错角相等，两直线平行可证，故B选项符合题意； C选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故C选项不符合题意； D选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故D选项不符合题意． 故选：B ． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设该校足球队获胜了场，则平了场，根据最后的积分不少于分可列不等式，解不等式可得获胜的场次最少是多少． 【详解】解：设该校足球队获胜了场，则平了场， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的最小值为． 故应选：B． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，过作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解；能熟练利平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 6．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组无解进行计算即可解答．熟练掌握不等式组无解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 由不等式②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 7．（2025·上海虹口·一模）举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理，，，则，，满足，不满足，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，，则，，满足，不满足， ∴命题“若， 则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 8．（23-24七年级下·上海崇明·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海青浦·期中）如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．    【答案】71 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识. 根据, 得, 所以, 再根据,得, 即可得. 【详解】∵, ∴, ∵, ∴ ∵, ∴, ∴. 故答案为：. 10．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（在的左侧），伸展主臂，支撑臂构成，在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行，当时， 度 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长，，相交于点，由平行线的性质可得，再利用，可得的度数，从而可求的度数；解答的关键是作出正确的辅助线． 【详解】解：在图2中，延长，，相交于点，如图所示： ，， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海金山·阶段练习）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去分母，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可； （4）先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； （4）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 12．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年度下学期第一次月考试卷七年数学）如图，已知，垂足为B，，垂足为D，．与平行吗？为什么？ 【答案】与平行，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定，垂直的定义．根据垂直的定义得到，，进而根据角的和差得出，由同位角相等，两直线平行即可得到与平行． 【详解】解：与平行， 理由如下： ，， ，， 即，， ， ， ． 13．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】 （1）根据，得到，从而得到的度数，利用角平分线，得到结果即可； （2）根据，得到，结合对顶角相等，以及角平分线的定义，得到，利用同角的余角相等，得到结果即可． 本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2） 解：，理由如下： 过B点作的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同 (3)当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解． （1）根据两种购买方案即可求解； （2）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解； （3）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解． 【详解】（1）解：， 在甲商场购买x元的金额时，实际花费是（元）； （元）， 在乙商场购买x元的金额时，实际花费是． 故填表为： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 560 乙商场实际花费 410 550 （2）解：根据题意，得， 解得， 当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同． （3）解：由，得． 由，得， 当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同． 15．（23-24七年级下·上海金山·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$