第五章 一元函数的导数及其应用章末检测-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在处有极大值，则（    ） A．2 B．6 C．1 D． 4．设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知对于都有，则a的最小值为（   ） A．1 B． C．0 D． 8．已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．过点作曲线的切线，若切线有且仅有两条，则实数的值可以是（    ） A．2 B．0 C．4 D． 10．若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（   ） A． B． C． D． 11．帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若函数在处的阶帕德近似为，则，， B．函数在处的阶帕德近似 C． D．函数在处的阶帕德近似为，当时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 13．已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知函数． (1)时，曲线在处的切线与处的切线平行，求的值； (2)若函数是增函数，求实数的取值范围； (3)若，求函数的单调区间与极值． 16.（本小题15分） 已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由； (3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点. 17.（本小题15分） 已知函数（为常数）. (1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由. 18.（本小题17分） 已知函数. (1)当时，求的单调减区间； (2)讨论函数的单调性； (3)函数有两个零点，求证：. 19.（本小题17分） 已知函数 (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数在区间上的所有极值点按从小到大排列，记第个极值点为；请证明： （ⅰ）且 （ⅱ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 故， 故， 故选：A 2．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 两侧平方得，即， 所以， 对于且，有， 上，即在上单调递增， 上，即在上单调递减， 当时有，当时有，当时有， 在上值域为，在上值域为，在上值域为， 当时，，则有三个根，则，满足题设； 当时，，可得或，共有两个零点，不合题设； 当时，或，且， 若，则，即为其中的两个根， 此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有三个零点，满足题设； 若，则为其中的两个根，而且有且仅有一个根为， 此时，一共只有两个零点，不满足题设； 若，则，此时为其中一个根， 此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有两个零点，不满足题设； 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 3．已知函数在处有极大值，则（    ） A．2 B．6 C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意得， 因为函数在处有极大值， 所以，解得或， 当时，， 时，，此时函数在递增， 时，，此时函数在递减， 时，，此时函数在递增， 此时是函数的极小值点，不满足题意； 当时，， 时，，此时函数在递增， 时，，此时函数在递减， 时，，此时函数在递增， 此时是函数的极大值点，满足题意； 故选：B. 4．设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 因此，而，所以. 故选：C 5．已知函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 因为函数在上单调递减， 所以，则， 令，则， 令，则，故当时，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 故，故，则， 故实数a的取值范围为． 故选：A. 6．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 7．已知对于都有，则a的最小值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】对于，由， 可得：， 设，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：B 8．已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设可得 (当且仅当时取等号), 即,由于，均为正实数，即， 设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 因此，故，则， 故，解得,所以, 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．过点作曲线的切线，若切线有且仅有两条，则实数的值可以是（    ） A．2 B．0 C．4 D． 【答案】AD 【详解】由题意，函数，可得 设切点为，则， 所以切线方程为：， 切线过点，代入得，即方程有两个不同解，则有，解得或． 故选：AD. 10．若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以为奇函数， 因为函数都是增函数，所以函数是增函数， 不妨设，则， 所以对，都有，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以为奇函数， 由，得， 所以函数是增函数， 不妨设，则， 所以对，都有，故D正确. 故选：BD. 11．帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若函数在处的阶帕德近似为，则，， B．函数在处的阶帕德近似 C． D．函数在处的阶帕德近似为，当时， 【答案】ACD 【详解】根据题意，，， 则，，，A正确； ∵，则，， 设，则，，， 由题意得：， ∴，解得：， 所以，B错误； 由B可知，函数在处的阶帕德近似， 令，则， 所以，C正确； 令， 则， 所以在内为增函数，又， 时，； 所以时，，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【答案】2 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 13．已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时，，则在上单调递增； 当时，,,,则在上没有最小值； 当时，,,,则在上没有最小值； 故②正确； 对于③，结合①②，当时，在的零点，最大的①中的，， 当时， 当时，存在零点， 所以这两个零点距离大于，故③错误； 对于④，， 因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确. 故答案为：②④. 14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知函数． (1)时，曲线在处的切线与处的切线平行，求的值； (2)若函数是增函数，求实数的取值范围； (3)若，求函数的单调区间与极值． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 由，即， 即，解得或， 由题意可知，，所以，. （2）因为，则， 因为函数在上为增函数， 故对任意的，，可得， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即， 因此，实数的取值范围是. （3）当时，， 则， 令可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为， 极小值为. 16.（本小题15分） 已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由； (3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点. 【答案】(1)； (2)存在，； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）若存在，则，，曲线， 又曲线关于原点对称的函数为， 依题意，，整理得， 所以. （3）函数的定义域为，求导得， 令，依题意，， 方程在上有唯零点，当时，，； 当时，，，函数在上递增，在上递减， 对任意，存在使得，则， 而，对任意， 取，， 由在上递増，得， 又当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 则对任意，任意，使得有两个不同的零点， 所以对任意，存在，使得有两个不同的零点. 17.（本小题15分） 已知函数（为常数）. (1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为，所以， ，， 所以曲线在处的切线为 ，即. 令，则， 若，则，则切点为，切线为，不合题意； 若，则；令，则. 又切线在两坐标轴上的截距相等，即， 故. （2）若函数有3个零点，等价于方程有三个解. 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图象有3个交点. 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 又由时，；当时，且；当时，， 故函数的大致图象如下图所示： 所以，即实数的取值范围为. 18.（本小题17分） 已知函数. (1)当时，求的单调减区间； (2)讨论函数的单调性； (3)函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是. （2）函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的， 当；当， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立， 此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、. （3）， 因为函数有两个零点，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 19.（本小题17分） 已知函数 (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数在区间上的所有极值点按从小到大排列，记第个极值点为；请证明： （ⅰ）且 （ⅱ） 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）， 等价于，即对恒成立. 令， 则， . 当时，， 当时，，此时在上单调递减， 则，满足题意. 当时，函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递减. ， 由函数的连续性可知，使得在上成立， 故在上单调递增， 则，与题意不符，故不满足题意. 综上，的取值范围为 （2）（ⅰ）由可得：. 令，可得 显然，不是方程的根， 故当时，方程可化为. 那么函数的极值点即为方程的变号根. 令， 则. 因为， 所以，即在区间上分别单调递增，在区间上分别单调递增. 因为当时， 所以当时，在区间上，； 当时，在区间上，； 当时，，当时，. 在区间上分别存在唯一零点，即 作出函数的图象：    又由于，函数在上单调递增， 即得证. （ⅱ）由上可知：， 记，则， 因为是方程的变号根， 所以，，. 则 因为， 所以. 要证明， 即证明， 因为在区间上单调递增， 所以只需证明 又因为， 所以， 则. 由于在区间上单调递增 即， 故. 构造函数， 则 因为在区间上单调递增，而， 所以，在上单调递增， 从而， 故， 即证得，也即证得． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$