专题05 三角函数易错必刷题型专训（96题32个考点）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第二册）

专题05 三角函数易错必刷题型专训（96题32个考点） 【易错必刷一 五点法画函数的图象】 1．（23-24高一·上海青浦·课后作业）画出函数，的简图． 2．（23-24高一下·全国·课后作业），用“五点法”作出函数的简图 3．（23-24高一·全国·课堂例题）（1）作出函数的简图； （2）作出函数的简图． 【易错必刷二 含绝对值的函数的图象】 4．（23-24高一下·全国·课前预习）作函数的图象. 5．（23-24高一·全国·随堂练习）请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 6．（23-24高一下·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【易错必刷三 y=Asinx+B、y=Acosx+B的图象】 7．（2024高一下·上海宝山·模拟预测）利用“五点法”作出函数的简图． 8．（23-24高一·全国·随堂练习）画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 9．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 【易错必刷四 比较正弦值、余弦值、正切值的大小】 10．（23-24高一下·全国·课后作业）不求函数值，比较与的大小． 11．（23-24高一下·全国·课后作业）判断下列每组中两个三角函数值的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与； (3)与，． 【易错必刷五 解正弦、余弦、正切不等式】 13．（23-24高一下·上海·假期作业）求满足下列条件的的集合： (1)； (2)； 14．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知函数， (1)用五点法在平面直角坐标系中画出在上的图象； (2)求函数的值域； (3)求不等式的解集． 15．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 (2)若，求的取值范围. 【易错必刷六 求sinx型三角函数的单调性】 16．（2024高一·上海·模拟预测）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为 ． 18．（23-24高一下·上海·课堂例题）（1）求函数在内的单调增区间. （2）求函数，的单调减区间. 【易错必刷七 求cosx型三角函数的单调性】 19．（23-24高一下·上海宝山·期中）既是区间上的减函数，又是以为周期的偶函数是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的严格减区间为 ． 21．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值. 【易错必刷八 求含tanx的函数的单调性】 22．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下列命题正确的个数为（    ） （1）函数在定义域内单调递增； （2）函数是周期函数，且最小正周期为； （3）函数的一条对称轴为； （4）函数的最小正周期为的充要条件是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（23-24高一下·上海·课后作业）下列各命题中假命题有 （填所有序号） ①函数在第一象限内是严格增函数； ②函数的最小正周期是； ③函数在上是奇函数； ④正切函数是严格增函数. 24．（2024高一·上海·专题练习）求函数的值域 【易错必刷九 求含sinx(型)函数的值域和最值】 25．（23-24高一·全国·课后作业）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·上海·课后作业）函数，的值域是 . 27．（23-24高一下·上海·期中）求下列函数的最大值和最小值，以及取最大值最小值时x的值 (1) (2) 【易错必刷十 求cosx(型)函数的值域】 28．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，则（    ） A．它的定义域是[-1，1] B．它是偶函数 C．它的值域是 D．它不是周期函数 29．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 30．（23-24高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 【易错必刷十一 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数】 31．（23-24高一下·全国·课后作业）设函数的定义域为，值域为，令，则t的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·上海·课后作业）某同学用“五点法”画函数（，）在一个周期内的简图时，列表如下： 0 x y 0 2 0 –2 0 则有 ， ， . 33．（23-24高一下·上海闵行·期末）函数的部分图象如图所示． (1)写出的最小正周期及图中、的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【易错必刷十二 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数】 34．（23-24高一下·上海·课后作业）函数的值域为，则以下不符合条件的a为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 36．（23-24高一下·上海·课后作业）已知函数，其中，若的值域为，求的取值范围. 【易错必刷十三 由余弦（型）函数的奇偶性求参数】 37．（23-24高一下·上海·课后作业）若存在实数，使成立，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 38．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为 . 39．（23-24高一下·上海·课后作业）函数的最大值为3，最小值为，求的值． 【易错必刷十四 由正切（型）函数的奇偶性求参数】 40．（23-24高一下··上海宝山·阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41．（23-24高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为 ． 42．（23-24高一下·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x的集合． (1)； (2)． 【易错必刷十五 求正弦（型）函数的最小正周期】 43．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 44．（23-24高一·上海·课堂例题）函数的最小正周期是 ． 45．（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【易错必刷十六 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心】 46．（23-24高一下·上海普陀·期中）设，.若对任意实数，函数在区间上函数值出现的次数不少于2次且不多于6次，则的值是（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5 47．（2024高一下·上海·专题练习）函数的图象如图所示，则该函数的最小正周期为 ． 48．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）在某次数学课上，小朱老师带大家做函数性质卡片，并提供了一样范例. 函数解析式：； 定义域：； 值域：__________ 是否具有线性：曲线 奇偶性：____________ 最小正周期：__________ 单调区间：______________ (1)请完成对小朱老师制作的卡片填写； (2)根据该卡片格式，在上面方框内绘制函数性质卡片. 【易错必刷十七 利用正弦函数的对称性求最值】 49．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 50．（23-24高一下·上海闵行·期中）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是 . 51．（2024·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，(为参数，且). （1）设直线与曲线的交点为，求的值； （2）记直线与轴，轴分别交于两点，点在曲线上，求的取值范围. 【易错必刷十八 求余弦（型）函数的最小正周期】 52．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高一下·上海杨浦·期中）把函数的图像向右平移（）个单位，使得点成为图像的一个对称中心，则的最小值是 54．（23-24高一下·上海崇明·期末）我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． (1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且的最小值为． （i）求的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 【易错必刷十九 cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系】 55．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）对于函数，下列说法中错误的是（    ） A．该函数的值域是 B．函数的对称轴方程是 C．当且仅当时，函数取得最大值1 D．当且仅当时， 56．（2024·上海青浦·模拟预测）请写出一个同时满足下面三个条件的函数 . ①直线是函数图象的对称轴；②函数是偶函数；③函数的最大值为5. 57．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）求的最小值及此时自变量的取值集合. 【易错必刷二十 利用cosx（型）函数的对称性求最值】 58．（2024·上海静安·二模）已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高一·上海闵行·课后作业）把函数的图象向右平移个单位长度，所得到的图象正好关于轴对称，则的最小正值是 . 60．（23-24高一·全国·课后作业）求函数的最大值和最小值，并分别求出函数取最大值和最小值时x的值. 【易错必刷二十一 求正切（型）函数的周期】 61．（23-24高一下·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高一下·上海·课前预习）由诱导公式 ，知正切函数是周期函数，其最小正周期是 . 63．（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的集合； （2）已知，求：在区间内满足条件的角的集合； （3）已知，求：在区间内满足条件的角的集合； 【易错必刷二十二 求正切（型）函数的对称中心】 64．（23-24高一下·上海黄浦·期中）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 65．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是 .（只填写正确说法的序号） 66．（23-24高一下·上海·单元测试）写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 【易错必刷二十三 由正切（型）函数的值域（最值）求参数】 67．（23-24高一下·上海长宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 69．（23-24高一下·上海·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值． 【易错必刷二十四 相位变换及解析式特征】 70．（23-24高一下·上海嘉定·期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象  （     ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 71．（23-24高一下·上海浦东新·期末）将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得的图像，则 72．（23-24高一下·上海普陀·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求A，，的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. 【易错必刷二十五 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 73．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 74．（23-24高一下·上海杨浦·期末）函数的图象为，现有三个论断： （1）图象关于直线对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确结论的序号为 . 75．（23-24高一·上海·假期作业）已知函数 在一个周期内的简图（如图），求相应的函数表达式，并说明其图象可由的图象经过怎样的变换而得到. 【易错必刷二十六 求图象变化前（后）的解析式】 76．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 77．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则在上的值域为 ． 78．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【易错必刷二十七 由图象确定正（余）弦型函数解析式】 79．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 80．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 81．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）已知函数的图像如图所示，其中，是相邻的最大值和最小值点，且横坐标分别为1和4，且 (1)求的最小正周期和单调递增区间; (2)，求函数的值域. 【易错必刷二十八 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）】 82．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 83．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，若、满足，且的最小值为，则 . 84．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【易错必刷二十九 正弦函数对称性的其他应用】 85．（2024·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 86．（23-24高一下·上海杨浦·期末）若函数的部分图象如图，则 ． 87．（23-24高一下·上海·课后作业）在中，已知，，分别讨论当正数取何值时，满足条件的三角形 （1）有两个？       （2）有一个？     （3）不存在？ 【易错必刷三十 cosx（型）函数对称性的其他应用】 88．（23-24高一下·上海·期中）已知函数满足恒成立，则（　　） A．函数一定是奇函数 B．函数一定是奇函数 C．函数一定是偶函数 D．函数一定是偶函数 89．（2024·全国·模拟预测）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为 ． 90．（23-24高一·全国·课后作业）若函数y＝2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形（如图），求这个封闭图形的面积. 【易错必刷三十一 正切函数对称性的应用】 91．（23-24高一下·上海杨浦·期末）设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 92．（23-24高一下·上海长宁·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 93．（23-24高一下上海普陀·期末）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求的值； (2)分析在区间上的单调性； (3)设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积. 【易错必刷三十二 正、余弦型三角函数图象的应用】 94．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间. （2）当时，求的最值. 95．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图像纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图像，求方程在的解集. 96．（23-24高一下·上海奉贤·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”． (1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围； (2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数易错必刷题型专训（96题32个考点） 【易错必刷一 五点法画函数的图象】 1．（23-24高一·上海青浦·课后作业）画出函数，的简图． 【答案】答案见解析． 【分析】用列表描点法画图． 【详解】列表： 0 1 0 －1 描点连线： 2．（23-24高一下·全国·课后作业），用“五点法”作出函数的简图 【答案】图像见解析 【分析】根据五点作图法，先列表，再描点连线即可得到图象. 【详解】列表： 0 0 1 0 0 0 描点，并用光滑曲线连接起来，如图所示． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）（1）作出函数的简图； （2）作出函数的简图． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】根据列表描点连线作图即可. 【详解】（1）列表： 0 0 1 0 0 0 2 0 0 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：    （2）列表： 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：    【易错必刷二 含绝对值的函数的图象】 4．（23-24高一下·全国·课前预习）作函数的图象. 【答案】图象见解析. 【分析】根据诱导公式化简可得函数解析式，根据余弦函数图象性质，可画出函数图象. 【详解】 故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图 5．（23-24高一·全国·随堂练习）请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 【答案】见解析 【分析】分与两种情况去绝对值，作图后根据图象分析函数的定义域、值域、奇偶性、周期、单调区间与最值即可. 【详解】由题意，当时；当时，故可作图：    由图象可得，函数具有如下性质： ①定义域；②值域；③偶函数；④最小值正周期为； ⑤在上单调递增，上单调递减；在上； ⑥当时函数取最大值0，当时函数取最小值. 6．（23-24高一下·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【答案】答案见解析 【分析】先作出，的图象，然后将x轴下方的部分翻转到x轴上方去可得答案. 【详解】解：作，的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得，的图象，如图所示. 【易错必刷三 y=Asinx+B、y=Acosx+B的图象】 7．（2024高一下·上海宝山·模拟预测）利用“五点法”作出函数的简图． 【答案】答案见解析 【分析】先取，然后计算出对应的值，从而的值可求，然后在平面直角坐标系中描点连线. 【详解】（1）取值列表如下： 0 1 0 －1 0 1 －2 －1 0 －1 －2 （2）描点连线，如图所示：    8．（23-24高一·全国·随堂练习）画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 【分析】利用五点法即可作出函数的图象. 【详解】（1）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （2）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （3）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    9．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 【答案】填表见解析；作图见解析 【分析】根据“五点法”列表，描点作图即可得解. 【详解】补充完整的表格如下： x 0 π 2π 1 3 5 3 1 描点、连线得函数的图象如图所示，    【易错必刷四 比较正弦值、余弦值、正切值的大小】 10．（23-24高一下·全国·课后作业）不求函数值，比较与的大小． 【答案】 【分析】先利用诱导公式化简，再利用在上是增函数判断可得答案. 【详解】， 因为在上是增函数，且， 所以，即． 11．（23-24高一下·全国·课后作业）判断下列每组中两个三角函数值的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小； （2）利用诱导公式化简，然后利用余弦函数的单调性比较大小； （3）利用诱导公式化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小. 【详解】（1）， 在上单调递增，且， ，即． （2），， 在上单调递减，且， ，即． （3）， ． 在上单调递减，且， ，， 即． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与； (3)与，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的单调性进行判断. （2）根据函数的单调性进行判断. （3）利用诱导公式进行判断. 【详解】（1）在区间上单调递增， 而，所以. （2）在区间上单调递减， 而，所以. （3），， 所以. 【易错必刷五 解正弦、余弦、正切不等式】 13．（23-24高一下·上海·假期作业）求满足下列条件的的集合： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出单位圆与临界值的终边，阴影部分即为满足题意的角的终边. （2）由题意画出单位圆与临界值的终边，阴影部分即为满足题意的角的终边. 【详解】（1）由，所以，所以角x终边所在区域如图所示， 所以， 所以满足条件的的集合为：； （2）由，所以， 所以角x终边所在区域如图所示， 所以， 所以，满足条件的的集合为：. 14．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知函数， (1)用五点法在平面直角坐标系中画出在上的图象； (2)求函数的值域； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）用五点作图法即可画出在上的图象. （2）根据，即可求得结果. （3）先求出不等式在一个周期内的解集，进而求出整个实数域上的解集. 【详解】（1）由函数，可得完成表格如下： 0 1 0 0 1 可得在的大致图象：如下图 （2）由，可得得值域为． （3）由，可得，即，当时，由，得． 又由函数的最小正周期为， 所以原不等式的解集为． 15．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据五点作图法求解即可； （2）结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1） 0 x 0 2 0 0 . （2）由，即，得， 则，， 解得，， 所以不等式的解集为 【易错必刷六 求sinx型三角函数的单调性】 16．（2024高一·上海·模拟预测）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换得，再求出其单调区间即可. 【详解】， 令， 解得，所以其单调递增区间为. 故选：A. 17．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海·课堂例题）（1）求函数在内的单调增区间. （2）求函数，的单调减区间. 【答案】（1）和；（2） 【分析】（1）根据题意，由（），结合，求出函数的单调减区间. （2）通过降幂公式及辅助角公式得，由（），结合，求出函数的单调减区间. 【详解】（1）. 由（） 得（）. 当时，； 当时，. 故函数在内的单调增区间为和. （2） ， 由 得，. 当时，，k取其它值时,不合题意， 故函数，的单调减区间为. 【易错必刷七 求cosx型三角函数的单调性】 19．（23-24高一下·上海宝山·期中）既是区间上的减函数，又是以为周期的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的最小正周期为，不符合题意； 对于B中，函数的最小正周期为，不符合题意； 对于C中，函数的最小正周期为， 当时，函数，此时在上单调递增，不符合题意； 对于D中，函数的最小正周期为， 当时，函数，此时在上单调递减，符合题意. 故选：D. 20．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的严格减区间为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】余弦函数的减区间为：， 函数减区间满足即， 解得， 即函数的单调递减区间为， 故答案为：， 21．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值. 【答案】(1)，对称中心为，． (2)单调递减区间为；，． 【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论． （2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论． 【详解】（1）解：根据函数，，的部分图像， 可得，，． 再根据五点法作图，，，故有． 根据图像可得，是的图像的一个对称中心， 故函数的对称中心为，． （2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向右平移个单位，得到的图像， 即， 令，，解得，， 可得的减区间为，， 结合，可得在上的单调递减区间为． 又，故当，时，取得最大值，即； 当，时，取得最小值，即． 【易错必刷八 求含tanx的函数的单调性】 22．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下列命题正确的个数为（    ） （1）函数在定义域内单调递增； （2）函数是周期函数，且最小正周期为； （3）函数的一条对称轴为； （4）函数的最小正周期为的充要条件是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】（1）利用正切函数的单调性进行说明即可；（2）结合的最小正周期即可；（3）令解出即可；（4）利用三角函数的性质及充要条件判断. 【详解】（1）函数在单调递增，不能说在它的定义域上单调递增故（1）错误； （2）函数是周期函数，且最小正周期为，故（2）错误； （3）由， 当时，， 所以函数的一条对称轴为， 符合题意，故（3）正确； （4）由 所以函数的最小正周期为的充要条件是， 故（4）错误； 故选：A. 23．（23-24高一下·上海·课后作业）下列各命题中假命题有 （填所有序号） ①函数在第一象限内是严格增函数； ②函数的最小正周期是； ③函数在上是奇函数； ④正切函数是严格增函数. 【答案】①②③④ 【分析】根据三角函数的性质依次判断. 【详解】①，如与都是第一象限角，且，而，故①为假命题； ②，函数的最小正周期是，故②为假命题； ③，区间不关于原点对称，故在上不是奇函数，故③为假命题； ④，正切函数是的增函数，故④为假命题. 故答案为：①②③④. 24．（2024高一·上海·专题练习）求函数的值域 【答案】 【分析】根据函数与在区间上都是增函数，得到函数是增函数，代入即可求解函数的最值，得到答案． 【详解】由题意，根据正弦函数和正切函数的性质，可得函数与在区间上都是增函数，所以函数在区间上是增函数， 所以，， 所以函数的值域为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了正弦函数与正切函数的图象与性质的应用，其中解答中根据正弦函数和正切函数的单调性，得到函数的单调性是解答的关键． 【易错必刷九 求含sinx(型)函数的值域和最值】 25．（23-24高一·全国·课后作业）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由正弦函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，； 时，； 时，， 所以函数，的值域是. 故选：B. 26．（23-24高一下·上海·课后作业）函数，的值域是 . 【答案】 【分析】根据的范围求出的范围可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 可得的值域为. 故答案为：. 27．（23-24高一下·上海·期中）求下列函数的最大值和最小值，以及取最大值最小值时x的值 (1) (2) 【答案】(1)最大值为1，此时；最小值为，此时. (2)最大值为1，此时；最小值为，此时. 【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化为，再根据正弦函数性质直接求解即可. （2）根据正弦函数性质直接求解即可. 【详解】（1）因为函数， 所以当时，函数有最大值为1， 此时即； 当时，函数有最小值为， 此时即. （2）因为函数为， 所以当时，函数有最大值为， 此时即； 当时，函数有最小值为， 此时即. 【易错必刷十 求cosx(型)函数的值域】 28．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，则（    ） A．它的定义域是[-1，1] B．它是偶函数 C．它的值域是 D．它不是周期函数 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质和复合函数的定义得到定义域，根据偶函数的定义结合三角函数的性质判定为偶函数，根据正弦函数的值域和余弦函数的单调性对称性求得值域；根据正弦函数的周期性得到函数的周期性. 【详解】记，定义域为R,故A错误； , ∴是偶函数，故B正确； ∵,∴,故C错误； , ∴是函数的周期，故D错误. 故选：B. 29．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 30．（23-24高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据偶函数的性质得到对于任意，均有成立，即可求出的值，从而得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）当时，函数 ， 令，， 解得，． 所以此函数的单调递增区间为，； （2）由题意可知函数的定义域为， 又， 因为函数为偶函数， 所以对于任意，均有成立， 即， 即对于任意实数均成立， 只有当时成立，此时． 因为，所以，所以，所以， 即此函数在上的值域为． 【易错必刷十一 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数】 31．（23-24高一下·全国·课后作业）设函数的定义域为，值域为，令，则t的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，利用函数的值域，推出函数的定义域的范围，然后求出，与的值的情况，即可得解； 【详解】解：函数的定义域为，，值域为， 结合正弦函数的图象与性质， 不妨取，， 此时取得最大值为 取，，取得最小值为， 则的最大值与最小值的和为， 故选：． 32．（23-24高一下·上海·课后作业）某同学用“五点法”画函数（，）在一个周期内的简图时，列表如下： 0 x y 0 2 0 –2 0 则有 ， ， . 【答案】 2 3 【分析】根据表格中最大值和最小值，得到振幅，由周期得到的值，代入点得到的值. 【详解】函数（，）， 由“五点法”所列表格，得函数的最大值和最小值为2和，所以， 函数最小正周期，解得， 当时，，解得. 故答案为：2；3；. 33．（23-24高一下·上海闵行·期末）函数的部分图象如图所示． (1)写出的最小正周期及图中、的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)周期为，， (2)最大值是3，最小值是 【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求； （2）首先求的范围，再求函数的最值. 【详解】（1）, 令，， 解得：，由图可知，当时，，此时函数取得最大值； （2）当时，， 此时 所以函数的最大值是3，最小值是 【易错必刷十二 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数】 34．（23-24高一下·上海·课后作业）函数的值域为，则以下不符合条件的a为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值域结合图象确定出的取值范围，由此可知不符合条件的的值. 【详解】因为值域为，当时，， 由对称性可知当时，， 由图象可知：，所以不符合条件， 故选：D. 35．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可得出，再结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，且， 则，解得. 故答案为：. 36．（23-24高一下·上海·课后作业）已知函数，其中，若的值域为，求的取值范围. 【答案】 【分析】由确定出的范围，再由所给值域结合余弦函数的性质确定的取值区间即可得解. 【详解】因，则，而，，且在上单调递减， 要的值域为，必有， 又在上单调递增，其值从-1增到0，最大值不超过，且，则有， 综上得，解得， 所以的取值范围是. 【易错必刷十三 由余弦（型）函数的奇偶性求参数】 37．（23-24高一下·上海·课后作业）若存在实数，使成立，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由，可得，由此不等式求解即得. 【详解】因，而存在实数，等式成立， 于是得不等式有解，即， 因，当且仅当，即时取“=”， 从而得或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：A 38．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为 . 【答案】 【分析】由题意可求，进而利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】函数，当函数值为时，则， 所以，则， 故自变量的取值集合为. 故答案为：. 39．（23-24高一下·上海·课后作业）函数的最大值为3，最小值为，求的值． 【答案】5或． 【分析】分别考虑时的情况，根据已知条件结合余弦函数的取值范围得到关于的方程组，从而求解出的值，则结果可求. 【详解】由题意可知，显然， 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以， 综上可知，的值为或. 【易错必刷十四 由正切（型）函数的奇偶性求参数】 40．（23-24高一下··上海宝山·阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较 【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件 故选：B 41．（23-24高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为 ． 【答案】， 【分析】由正切型函数为奇函数，根据正切函数的对称中心求解即可. 【详解】若函数（，）为奇函数， 则根据正切函数的对称中心可得，． 所以，， 故答案为：， 42．（23-24高一下·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x的集合． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把看成整体角，结合正切函数的图象和函数值，即可求得的范围即得； （2）利用函数奇偶性化简得到，即得，，解之即得. 【详解】（1）， ∴，，， ∴角x的集合是. （2）因正切函数的周期为， 由函数的奇偶性可得， ∴，， ∴角x的集合是. 【易错必刷十五 求正弦（型）函数的最小正周期】 43．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 【答案】C 【分析】求出即可判断选项A；由正弦函数的单调性即可判断B；由正弦函数的性质可得关于的不等式，从而可求出的取值范围，即可判断C；判断，即可判断D． 【详解】对于A，若，则， ，不是最值， 所以不关于直线对称，故A错误； 对于B，若，则， 当时，，因为正弦函数在上不单调， 所以函数在上不是增函数，故B错误； 对于C，，则， 因为函数在上最大值为1， 所以，解得，故C正确； 对于D，若，函数， 因为， 所以函数的最小正周期不是，故D错误． 故选：C． 44．（23-24高一·上海·课堂例题）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】由函数图象的变换性质求解． 【详解】函数的图象为的图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到上方，故周期减半，则函数的最小正周期为：， 故答案为： 45．（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【答案】(1)函数的最小正周期为，最大值为 (2) 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【详解】（1）， 故函数的最小正周期为，最大值为. （2）由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 【易错必刷十六 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心】 46．（23-24高一下·上海普陀·期中）设，.若对任意实数，函数在区间上函数值出现的次数不少于2次且不多于6次，则的值是（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5 【答案】A 【分析】 根据三角函数的性质，表示出其周期，建立不等式，可得答案. 【详解】由，根据函数在每个周期内出现函数值有两次， 而区间的长度为，为了使长度为的区间内出现不少于2次且不多于次的， 必须使不小于个周期长度，小于3个周期长度， 即，且，解得，由，则或. 故选：A. 47．（2024高一下·上海·专题练习）函数的图象如图所示，则该函数的最小正周期为 ． 【答案】8 【分析】 根据函数图象过点可求得的值，继而根据函数过点，可求得的值，进一步计算即可求解. 【详解】由，得， ，， 则， ， ，即， 则函数的最小正周期， 故答案为：. 48．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）在某次数学课上，小朱老师带大家做函数性质卡片，并提供了一样范例. 函数解析式：； 定义域：； 值域：__________ 是否具有线性：曲线 奇偶性：____________ 最小正周期：__________ 单调区间：______________ (1)请完成对小朱老师制作的卡片填写； (2)根据该卡片格式，在上面方框内绘制函数性质卡片. 【答案】(1)[1，]；偶函数； ；单调增区间：[2k，2k]，单调减区间：[2k，2k]， (2)答案见解析 【分析】对于函数，利用可判断奇偶性，利用，分类讨论可求得的值域，单调性，最小正周期；类似可得的性质. 【详解】（1）因为，所以函数是偶函数， 因为，所以是的周期， 当时，， 由，得，所以，所以； 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以是最小正周期；所以的单调增区间为：，；单调减区间为：，； 故答案为：；偶函数；；单调增区间：，；单调减区间：，； （2）因为，所以函数是偶函数， 因为，所以是的周期函数， 当时，， 由，得，所以，所以； 所以在上单调递增， 当时，， 由，得，所以，所以； 所以在上单调递减， 所以是最小正周期；所以的单调增区间为：，；单调减区间为：，； 综上所述：函数的性质卡片如下： 函数解析式：； 定义域：； 值域：； 是否具有线性：曲线； 奇偶性：偶函数； 最小正周期：； 单调区间：单调增区间：，；单调减区间：，. 【易错必刷十七 利用正弦函数的对称性求最值】 49．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用平移变换得出，再由对称轴的性质得出，，结合得出的最小值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象对应的函数为 因为函数的图象的一条对称轴是直线 所以， 解得，，又 所以当时，取最小值，为 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合得出的最小值. 50．（23-24高一下·上海闵行·期中）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是 . 【答案】 【解析】利用对称关系，得，代入即可求解值，再结合辅助角公式化简可求最值 【详解】由对称轴关系得，令得，求得， 从而，当时，取到最大值. 故答案为：. 51．（2024·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，(为参数，且). （1）设直线与曲线的交点为，求的值； （2）记直线与轴，轴分别交于两点，点在曲线上，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，求出点对应的参数分别，根据求解即可； （2）设，求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算公式，可得，再根据正弦函数的性质求解即可． 【详解】（1）由得：，化为直角坐标方程得： 设点对应的参数分别，由参数的几何意义得： 代入消去整理得： 于是，由求根公式得：，. （2）曲线的参数方程为（为参数，且）. 由点在曲线上，设，又由得： 由知：故， 【易错必刷十八 求余弦（型）函数的最小正周期】 52．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件利用的图象变换规律求得平移后的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】解：将函数图象上所有点向右平移个单位长度 得到函数的图象， 令， 得， ， ， 则的最小值为， 故选：C. 【点睛】本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题. 53．（23-24高一下·上海杨浦·期中）把函数的图像向右平移（）个单位，使得点成为图像的一个对称中心，则的最小值是 【答案】 【分析】根据平移变换可得平移后的解析式为，将点的坐标代入该解析式可得，，从而可得的最小值为. 【详解】把函数的图像向右平移（）个单位， 可得， 依题意可得点在函数的图象上， 所以，即， 所以，， 即，， 因为，所以时，取得最小值. 故答案为： 【点睛】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函图象数的对称中心，属于基础题. 54．（23-24高一下·上海崇明·期末）我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且． (1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且的最小值为． （i）求的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值． 【答案】(1)存在， (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据“伴随函数”的概念可得； （2）（i）由的最小值为，结合“伴随函数”的概念可得函数的周期和对称轴进而可得； （ii）先画出函数在区间上的图象，分类为，，，结合函数的对称性可得. 【详解】（1）存在正常数，使得是“伴随函数”． 因为，所以， 因为，所以， 所以一个的值为． （2）（i）由得，， 所以是周期为的函数，且最小正周期为． 所以． 由得，，所以为的一条对称轴， 所以，． 因为，所以，所以． （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象，可知方程在上的根之和为： 当时，； 当时，； 当时，. 【易错必刷十九 cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系】 55．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）对于函数，下列说法中错误的是（    ） A．该函数的值域是 B．函数的对称轴方程是 C．当且仅当时，函数取得最大值1 D．当且仅当时， 【答案】C 【分析】根据题意，结合正弦函数与余弦函数的图象，画出函数的图象，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象，如图所示（图中的实线部分）， 结合函数的图象， 对于A中，函数的值域是，所以A正确； 对于B中，函数的对称轴方程是，所以B正确； 对于C中，当且仅当或时，函数取得最大值，所以C不正确； 对于D中，当且仅当时，满足，所以D正确. 故选：C. 56．（2024·上海青浦·模拟预测）请写出一个同时满足下面三个条件的函数 . ①直线是函数图象的对称轴；②函数是偶函数；③函数的最大值为5. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正余弦函数的性质直接写出结果即可. 【详解】根据正余弦函数的性质可知函数不唯一， 如：设， 函数的最大值为5. 则； 直线是函数图象的对称轴 则：, 是偶函数，则： 所以，，等均满足条件； 故答案为：（答案不唯一） 57．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）求的最小值及此时自变量的取值集合. 【答案】（1）（2）的最小值为1，此时自变量的取值集合为 【分析】（1）化简函数，令可得解； （2）当时，函数有最小值1，利用整体换元可得的取值集合. 【详解】解：（1）（或）. 令（或）， 解得. 故图象的对称轴方程为. （2）由（1）可知，，则. 此时，，即， 解得. 故的最小值为1，此时自变量的取值集合为. 【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式及三角函数的对称轴和最值得求解，用到了整体换元的思想，属于基础题. 【易错必刷二十 利用cosx（型）函数的对称性求最值】 58．（2024·上海静安·二模）已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值. 【详解】∵直线是曲线的一条对称轴. ，又. . ∴平移后曲线为. 曲线的一个对称中心为. . ，注意到 故的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 59．（23-24高一·上海闵行·课后作业）把函数的图象向右平移个单位长度，所得到的图象正好关于轴对称，则的最小正值是 . 【答案】 【分析】根据题意得平移后的函数解析式，因为其图像关于轴对称，所以代入， 得到的表达式，从而得到其最小正值. 【详解】将的图像向右平移个单位长度， 得的图像. 的图像关于轴对称， . 当时，取得最小正值. 【点睛】本题考查函数的平移变换，根据图像的对称轴求参数的范围，属于中档题. 60．（23-24高一·全国·课后作业）求函数的最大值和最小值，并分别求出函数取最大值和最小值时x的值. 【答案】时，最大值，时，最小值 【解析】根据余弦函数的值域以及取最值的自变量表达式求解即可. 【详解】当,,即,时,, 所以当时,函数取得最大值； 当,,即,时,, 所以当时,函数取得最小值. 答案,最大值,,最小值 【点睛】本题主要考查了余弦函数的值域,属于基础题型. 【易错必刷二十一 求正切（型）函数的周期】 61．（23-24高一下·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，并利用整体法验证函数的单调性，得到答案. 【详解】A选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递减，故A正确； B选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故B错误； C选项，的最小正周期为，不合要求，C错误； D选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故D错误； 故选：A 62．（23-24高一下·上海·课前预习）由诱导公式 ，知正切函数是周期函数，其最小正周期是 . 【答案】 【分析】运用正切诱导公式，结合周期函数定义可解. 【详解】根据诱导公式，知道正切函数是周期函数，其最小正周期是. 故答案为：；. 63．（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的集合； （2）已知，求：在区间内满足条件的角的集合； （3）已知，求：在区间内满足条件的角的集合； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用特殊角的正切值与正切函数的周期性即可得解； （2）（3）法一：结合（1）中结论得到关于的不等式，结合求得的值，从而得解； 法二：结合（1）中结论与，直接检验即可得解. 【详解】（1）因为，且的最小正周期为， 所以满足条件的角的集合为：； （2）法一： 由（1）可得，， 又，则或， 当时，；当时，； 所以在区间内满足条件的角的集合为；； 法二： 由（1）可知满足的角的集合为：，又， 当时，，不满足题意； 当时，；当时，； 当时，，不满足题意； 综上：在区间内满足条件的角的集合为；； （3）法一： 由（1）可得，， 又，则或， 当时，；当时，； 所以在区间内满足条件的角的集合为：. 法二： 由（1）可知满足的角的集合为：，又， 当时，，不满足题意； 当时，；当时，； 当时，，不满足题意； 综上：在区间内满足条件的角的集合为：. 【易错必刷二十二 求正切（型）函数的对称中心】 64．（23-24高一下·上海黄浦·期中）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断. 【详解】令， 解得， 所以函数图象的对称中心是， 令,得函数图像的一个对称中心是， 故选：C. 65．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是 .（只填写正确说法的序号） 【答案】①③ 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断. 【详解】对于①，令，解得， 当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确； 对于②，函数的最小正周期为，②错误； 对于③，令，解得， 所以函数图象的对称中心为，③正确. 故答案为：①③ 66．（23-24高一下·上海·单元测试）写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 【答案】定义域，周期，在递增，无递减区间，对称中心. 【分析】由，可求得其定义域，利用整体思想结合正切函数的周期性、单调性及对称性可求得其最小正周期、单调区间、对称中心； 【详解】解：由，得：，． 所以，其定义域为； 由得：其最小正周期； 由，得：，． 所以，函数的单调递增区间为，．无递减区间； 由得：，． 所以的对称中心为； 【易错必刷二十三 由正切（型）函数的值域（最值）求参数】 67．（23-24高一下·上海长宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围. 【详解】∵直线的斜率,， 设直线的倾斜角为，则， 解得. 故选：A. 68．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 【答案】/ 【分析】分析在的单调性，求出的范围，根据最值建立等式，解出即可. 【详解】解：取，解得， 所以在上单调递增， 即在上单调递减， 因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3， 所以，且，， 即，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 69．（23-24高一下·上海·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值． 【答案】 【分析】根据在上单调递增或单调递减，可代入区间端点值，列出关于的等式再求解即可. 【详解】当时，在上单调递增，故 ，即，解得. 当时，在上单调递减，故 ，即，解得. 故 【点睛】本题主要考查了根据正切型函数的单调性与最值求解参数的问题，属于基础题. 【易错必刷二十四 相位变换及解析式特征】 70．（23-24高一下·上海嘉定·期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象  （     ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据平移前后解析式判断图象平移过程即可. 【详解】将向右平移个单位，则，其它平移过程都不满足. 故选：D 71．（23-24高一下·上海浦东新·期末）将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得的图像，则 【答案】 【分析】直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数值. 【详解】函数的图象向下平移1个单位后，得到的图象， 再向右平移个单位，得到的图象， 所以， 故答案为：. 72．（23-24高一下·上海普陀·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求A，，的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）根据函数的部分图象即可求出A，，然后代入点，由即可求出的值； （2）根据三角函数的图象变换先求出函数的解析式，然后利用，结合即可确定的值. 【详解】（1）解：由图可知，，，所以，即，所以. 将点代入得，， 又，所以； （2）解：由（1）知， 由题意有， 所以，即， 因为，所以， 所以或，即或， 所以的值为或. 【易错必刷二十五 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 73．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 74．（23-24高一下·上海杨浦·期末）函数的图象为，现有三个论断： （1）图象关于直线对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确结论的序号为 . 【答案】（1） 【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案. 【详解】（1），，所以（1）正确. （2），， 根据正弦函数的单调性可知，在区间内不是增函数. 所以（2）错误. （3）函数的图象向右平移个单位长度得到， 所以（3）错误. 故答案为：（1） 75．（23-24高一·上海·假期作业）已知函数 在一个周期内的简图（如图），求相应的函数表达式，并说明其图象可由的图象经过怎样的变换而得到. 【答案】，变换过程见解析 【分析】根据图象得到最小正周期和，进而得到，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，图象可由的图象先平移再进行伸缩变换，也可先伸缩变换再平移变换得到. 【详解】设函数的最小正周期为，则， 由，得， 又，故， 将点的坐标代入上式，， 故，解得 又，故当且仅当时，满足要求，故， 因此， 先向左平移个单位长度，得到， 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到， 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到； 也可纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到， 向左平移个单位长度，得到， 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到. 【易错必刷二十六 求图象变化前（后）的解析式】 76．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平移变换法则得，由题意在上有且仅有两个零点，由此可列出关于的不等式组，解出不等式组即可得解. 【详解】将的图象向左平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为 ， 注意到，则当时，， 由题意在上有且仅有两个零点， 这意味着，且显然， 也就是说，解得. 故选：A. 77．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则在上的值域为 ． 【答案】 【分析】直接利用三角函数图象的变换和正弦型函数的性质即可求解. 【详解】函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象， 再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 因为，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 78．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 【易错必刷二十七 由图象确定正（余）弦型函数解析式】 79．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 80．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简后，借助图象结合正弦型函数的周期性、最值计算即可得解. 【详解】， 则由，有，即， 的周期，故，又，故， 则有，解得， 又，故. 故答案为：. 81．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）已知函数的图像如图所示，其中，是相邻的最大值和最小值点，且横坐标分别为1和4，且 (1)求的最小正周期和单调递增区间; (2)，求函数的值域. 【答案】(1)最小正周期为6，单调递增区间为 (2) 【分析】(1)根据函数图象确定函数的最小正周期可求，再根据可求得，再结合点是函数图象的最大值点求得； (2)根据三角函数的图象性质求给定区间的值域. 【详解】（1）由题意可知， 又， 因为点是函数图象的最大值点， 所以， 函数 令，解得， 和单调递增区间为 （2） ， ，， 函数的值域为 【易错必刷二十八 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）】 82．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据已知条件得到，再根据三角函数平移变换求解即可。 【详解】由题意得，所以，故， 因为，，所以，， 即 . 又因为，解得. 即. 将的图像向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 83．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，若、满足，且的最小值为，则 . 【答案】4 【分析】根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可. 【详解】若、满足，则函数在、处取到最值， 的最小值为，所以，解得. 故答案为：4. 84．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）利用周期可求得，利用五点作图法的第二个关键点可求，进而求得解析式可求； （2）由题意可得与的图象在上有两个交点，结合图象可求实数的取值范围. 【详解】（1）根据表中的数据，得， ，又，， 函数的解析式为， 令，解得， 可得， 数据补全如下表： 0 0 1 0 0 则最小正周期为 （2） 关于的方程在上有两个不同的实数解， 则与的图象有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 结合函数图像可知. 实数的取值范围为. 【易错必刷二十九 正弦函数对称性的其他应用】 85．（2024·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得. 【详解】由题知，则， 因为，所以 所以 易知的最小值为. 故选：B 86．（23-24高一下·上海杨浦·期末）若函数的部分图象如图，则 ． 【答案】4 【分析】根据正弦函数图象的对称性求得函数的周期，进而可求得. 【详解】由正弦函数图象的对称性得函数的周期，所以，解得. 故答案为：4. 87．（23-24高一下·上海·课后作业）在中，已知，，分别讨论当正数取何值时，满足条件的三角形 （1）有两个？       （2）有一个？     （3）不存在？ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）本题首先可根据正弦定理得出，然后根据正弦函数性质以及即可得出结果； （2）本题可根据正弦函数性质以及得出结果； （3）本题可根据以及得出结果. 【详解】，，，， （1）由正弦函数性质易知， 当且时，， 满足条件的三角形有两个，此时，. （2）由正弦函数性质易知， 当或时，或， 满足条件的三角形有一个，此时或，. （3）因为，所以， 因为是三角形的内角，所以， 则当时，没有满足条件的三角形，. 【易错必刷三十 cosx（型）函数对称性的其他应用】 88．（23-24高一下·上海·期中）已知函数满足恒成立，则（　　） A．函数一定是奇函数 B．函数一定是奇函数 C．函数一定是偶函数 D．函数一定是偶函数 【答案】D 【分析】由三角函数图象的性质得：函数满足恒成立，得函数的图象关于直线对称，即函数一定为偶函数，得解． 【详解】由函数满足恒成立， 得函数的图象关于直线对称， 即函数一定为偶函数， 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移，熟记性质是关键，属中档题． 89．（2024·全国·模拟预测）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数的性质，由，可知 是周期函数，且为偶函数，以及关于直线对称，结合这些性质即可求解. 【详解】由①知的图象关于直线对称，由②知为偶函数，所以，故为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为． 故答案为：（答案不唯一，只要符合条件即可） 90．（23-24高一·全国·课后作业）若函数y＝2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形（如图），求这个封闭图形的面积. 【答案】4π. 【分析】由余弦函数图象的对称性可将封闭图形的面积转化为矩形的面积. 【详解】观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4. 因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积， 可以等价转化为求矩形OABC的面积. ∵|OA|＝2，|OC|＝2π， ∴S矩形OABC＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π. 【易错必刷三十一 正切函数对称性的应用】 91．（23-24高一下·上海杨浦·期末）设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】运用正切函数的单调性，对称性和周期性可解题. 【详解】当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素. 即为. 当时，由于正切函数关于对称，则，，，， 则当增加时，元素与前面的重复， 当时，元素等于 0， 当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了， 则集合A的元素个数为1013个. 故选：A. 92．（23-24高一下·上海长宁·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据正切函数的对称性计算可得. 【详解】因为的图象关于点中心对称， 所以，解得， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 93．（23-24高一下上海普陀·期末）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求的值； (2)分析在区间上的单调性； (3)设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减 (3) 【分析】（1）根据对称性可得，结合余弦函数性质运算求解即可； （2）由（1）可知，以为整体，结合余弦函数的单调性分析求解； （3）由（2）可知，，令，解方程可得，，即可得面积. 【详解】（1）因为的图象关于点中心对称，则， 即，可得，解得， 且，所以. （2）由（1）可知， 当时，则， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 令，可得，令，可得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （3）由（2）可知，， 令，可得， 即，解得或（舍去）， 又因为，可得或， 因为，，不妨设，， 则，两点关于点对称， 所以的面积. 【易错必刷三十二 正、余弦型三角函数图象的应用】 94．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间. （2）当时，求的最值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2. 【分析】（1）结合三角恒等变换化简函数解析式，进而判断图象性质； （2）利用整体代入法求函数的最值. 【详解】（1）函数 ； ∴的最小正周期为； 令，； 解得，； ∴单调递增区间为，； （2）当时，， ∴； ∴时，取得最小值为1， 时，取得最大值为2. 95．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图像纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图像，求方程在的解集. 【答案】(1)；对称中心为，； (2). 【分析】（1）结合函数的部分图像特征可求的解析式及对称中心； （2）根据图象变换可得的解析式，从而方程可求. 【详解】（1）根据函数的部分图像， 可得，∴. 再根据五点法作图，，∴， 故. 令，解得，此时. 所以函数的对称中心为，. （2）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 令， 所以，解得 故方程在的解集为. 96．（23-24高一下·上海奉贤·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”． (1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围； (2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或或. 【分析】（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围； （2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性； （3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案. 【详解】（1）由已知得存在实数，使得， ∴， ∴实数m的取值范围是. （2）由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于： 对是任意实数，关于的方程都有解， 则对于时有解，即,∴； 反之，当时，,等价于 ，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解. 综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； （3）由已知得，， 化简得，的最小正周期为； 根据函数在上的图象可知： ①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”； ②当时，在有个“跃点”，此时； ③当或时，在上有个“跃点”，故； 综上：或或. 【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$