第07讲 余弦定理（知识点+9大题型+过关测试）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第07讲 余弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握余弦定理及其推论．(重点) 2．掌握余弦定理的综合应用．(难点) 3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点) 正弦定理刻画了三角形中边与角的正弦之间的关系. 那么，三角形中边与角的余弦之间存在什么关系呢？ 如图，，，由两点间的距离公式，得 两边平方，得 即 . 同理可得， ， . 这样，我们就得到了余弦定理：在中，设角、及所对边的边长分别为、及，则有 ， ， . 余弦定理也可以表示成如下形式： ， ， . 将余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理. 因此，勾股定理可视为余弦定理的特例. 正弦定理和余弦定理都定量刻画了三角形的边角关系，是求解三角形的基本工具. 题型一：余弦定理及其辨析 1．（24-25高一上·上海·课前预习）余弦定理 余弦定理 公式表达 ， ， 语言叙述 三角形中任意一边的平方等于 推论 ， ， 2．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 题型二：余弦定理解三角形 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求a． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知三边之比为．求该三角形的最大角的余弦值． 3．（23-24高一下·上海·开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且. (1)求角B的度数； (2)若，，且，求a、c的值. 题型三：正余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 2．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 题型四：余弦定理与三角形面积公式综合 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，若，，且其面积为，求a及b． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知的面积为3，，．求c． 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知的面积，求． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，其面积为，求b． 6．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点.已知点为的费马点，角A、B及C的所对边的边长分别为a、b及c，若，且，则的值为 . 题型五：余弦定理的实际应用 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，为了测定对岸A、B两点之间的距离，在河的一岸定一条基线CD，测得，，，，．求A、B间的距离．（结果精确到0.01m） 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A、B、C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°、60°、45°，且米，求滕王阁的高度. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，河对岸有两棵树A、B，由于缺少渡河工具，无法过河直接测得A、B之间的距离.假定可测得从本岸上的任意一点出发的两条射线之间的夹角，以及本岸上任意两点之间的距离，请你利用解斜三角形的方法，设计测量距离的方案，并给出具体的计算方法. 题型六：面积最值问题 1．（24-25高一下·上海·单元测试）在△ABC中，，则角B的大小是 ；若，则△ABC的面积的最大值是 . 2．（24-25高一·上海·随堂练习）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示，在中，分别为角所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，. (1)求； (2)求四边形面积的最大值. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设半圆O的直径为2，而A为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点B，以AB为一边作等边三角形ABC，使和在AB的两侧（如图所示）.求四边形OACB面积的最大值，并求使四边形OACB面积取得最大值时的的大小.    题型七：正弦定理边角互化的应用 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 2．（2024高一下·全国·专题练习）在中，已知，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 4．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 5．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，a、b、c分别是的内角A、B、C所对的边，，则 ． 7．（22-23高一下·上海奉贤·期中）在中，若，则 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 9．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 题型八：正余弦定理判定三角形形状 1．（22-23高一下·上海青浦·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 2．（2023高一·上海·专题练习）在中，已知. (1)求； (2)若，判断的形状. 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 题型九：正余弦定理与外接圆 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知的内角，，的对边分别为，，，其中，，__________，求和的外接圆半径． 2．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.    (1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点． (1)如果A点的纵坐标为，B点的横坐标为，求的值； (2)若角的终与单位圆交于C点，设角的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形； (3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 4．（2024高一下·上海·专题练习）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径. (1)，求的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知内角的对边分别是，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，，则 . 6．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为 ． 7．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在钝角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则边长的取值范围是 8．（23-24高一下·上海金山·期末）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 9．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 10．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 11．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 12．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 三、解答题 13．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知， (1)求的值； (2)求的值． 14．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 15．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 16．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 17．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 18．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 19．（2024高一下·上海·专题练习）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． (1)求海域的面积； (2)现海面上点处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 20．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米．（已有两面墙的可利用长度足够大）    (1)若，求的周长（结果精确到0.01米） (2)如因实际需要，在墙角C的正上方5.5米高的位置，安装一照明灯源D，且要使得仰角，求此时角的大小．（结果精确到0.1度） (3)如为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室即的面积尽可能大，如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积． 21．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 22．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 23．（23-24高一下·上海·阶段练习）假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 余弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握余弦定理及其推论．(重点) 2．掌握余弦定理的综合应用．(难点) 3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点) 正弦定理刻画了三角形中边与角的正弦之间的关系. 那么，三角形中边与角的余弦之间存在什么关系呢？ 如图，，，由两点间的距离公式，得 两边平方，得 即 . 同理可得， ， . 这样，我们就得到了余弦定理：在中，设角、及所对边的边长分别为、及，则有 ， ， . 余弦定理也可以表示成如下形式： ， ， . 将余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理. 因此，勾股定理可视为余弦定理的特例. 正弦定理和余弦定理都定量刻画了三角形的边角关系，是求解三角形的基本工具. 题型一：余弦定理及其辨析 1．（24-25高一上·上海·课前预习）余弦定理 余弦定理 公式表达 ， ， 语言叙述 三角形中任意一边的平方等于 推论 ， ， 【答案】 其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍 2．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理及辨析 【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 题型二：余弦定理解三角形 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求a． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可得到答案. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知三边之比为．求该三角形的最大角的余弦值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】借助余弦定理可解. 【详解】不妨设，边的对角为， 由已知， 设，则， 根据大边对大角，可得最大角为， 由余弦定理可得， 所以最大角余弦值为. 3．（23-24高一下·上海·开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理及辨析、余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解． 【详解】在中，，， 则，即， ，，， 则角为钝角或角为钝角， 若角是钝角， 则，即， 故， 若角是钝角， 则，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且. (1)求角B的度数； (2)若，，且，求a、c的值. 【答案】(1)； (2)，. 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）运用三角恒等变换和解一元二次方程解题即可； （2）运用余弦定理，结合已知条件联立方程即可. 【详解】（1）在中，由， 得. 又由， 得， 即，，. （2）由余弦定理，得， 又，， ∴，∴. ∵，∴解得，. 题型三：正余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据给定条件的，利用正弦定理，二倍角的余弦公式化简计算即得. （2）利用余弦定理、正弦定理化简计算即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，即， 所以. （2）在中，由余弦定理得，， 则 ， 由由正弦定理得，即， 所以. 题型四：余弦定理与三角形面积公式综合 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，若，，且其面积为，求a及b． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形面积公式得，再利用余弦定理得，联立即可. 【详解】，即， 所以， 又由余弦定理，即， 所以，所以，所以， 结合有. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知的面积为3，，．求c． 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形面积公式求出或，再利用余弦定理进行分类讨论即可. 【详解】因为的面积为， 解得，因为，则或， 当，则，由余弦定理可得： ， 当，则，由余弦定理可得: ，所以. 综上，或. 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由余弦定理结合已知得即可求解； （2）由三角形面积公式得，进一步由余弦定理得即可求解. 【详解】（1）根据余弦定理得， 则，而，从而； （2）， 则， 由余弦定理得 ， ∴，∴． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知的面积，求． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】运用面积公式结合余弦定理可解. 【详解】，即， 余弦定理知道，则， 则，又， 则. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，其面积为，求b． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可． 【详解】在中，已知，，其面积为， 则，即， 则由余弦定理可得：， 即． 6．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点.已知点为的费马点，角A、B及C的所对边的边长分别为a、b及c，若，且，则的值为 . 【答案】8 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由可得，由可得，借助等面积法可得，结合面积公式计算即可得. 【详解】由， 即， 即，又，故， 即，即，故， 由，又， 故，即， 由， 则有， 即， 即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，结合面积公式计算即可得. 题型五：余弦定理的实际应用 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】距离测量问题、角度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，为了测定对岸A、B两点之间的距离，在河的一岸定一条基线CD，测得，，，，．求A、B间的距离．（结果精确到0.01m） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】在中，中，由正弦定理可求得，，最后在中，利用余弦定理即可求得． 【详解】中，已知m，，，所以由正弦定理可得．① 在中，由正弦定理可得．② 在中，已经求得和，又因为， 所以利用余弦定理可以求得、两点之间的距离为 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A、B、C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°、60°、45°，且米，求滕王阁的高度. 【答案】米. 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】设，结合直角三角形可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解，进而得解. 【详解】设，因为，，， 所以，，. 在中，， 即.① 在中，， 即.② 因为， 所以①②两式相加可得， 解得，则. 所以滕王阁的高度为米. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，河对岸有两棵树A、B，由于缺少渡河工具，无法过河直接测得A、B之间的距离.假定可测得从本岸上的任意一点出发的两条射线之间的夹角，以及本岸上任意两点之间的距离，请你利用解斜三角形的方法，设计测量距离的方案，并给出具体的计算方法. 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】在本岸上任选两个点，测出两点间的距离，及，，，；的大小，然后分别在和中利用正弦定理求出，最后在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】解：①在本岸任意选取C、D两点，测得的距离a； ②测得，，，； ③在中，由正弦定理，得； ④同理，在中， 由正弦定理，得. ⑤在中，，由余弦定理，得 . 题型六：面积最值问题 1．（24-25高一下·上海·单元测试）在△ABC中，，则角B的大小是 ；若，则△ABC的面积的最大值是 . 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据条件，结合余弦定理得，再由基本不等式变形求出的最大值，最后利用三角形面积公式表示出，代入的最大值即可求三角形的面积最大值. 【详解】因为，由余弦定理得，所以. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以， 面积，所以三角形面积的最大值为. 故答案为：； 2．（24-25高一·上海·随堂练习）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示，在中，分别为角所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、余弦定理解三角形 【分析】由已知条件等式，结合余弦定理可得，进而有，将其代入公式，应用二次函数的性质求最值即可． 【详解】由题设，结合余弦定理知： ， 即，而， 所以， 则 ， 所以当时，． 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，. (1)求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数可得； （2）设，，根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）， 由同角三角函数关系式可得， 则， 所以， 所以. （2）设，，，, 在中，由余弦定理可得， 代入可得. 由基本不等式可知，即， 当且仅当时取等号，由三角形面积公式可得. 在中，由勾股定理可得， 所以， 所以四边形面积的最大值为. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设半圆O的直径为2，而A为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点B，以AB为一边作等边三角形ABC，使和在AB的两侧（如图所示）.求四边形OACB面积的最大值，并求使四边形OACB面积取得最大值时的的大小.    【答案】当时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】根据余弦定理表示，即可表示四边形的面积，结合三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解函数的最大值. 【详解】在中，由余弦定理得： 四边形的面积： ， 因为，则，所以当，时， 四边形的面积取得最大值，最大值为． 所以，当时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 题型七：正弦定理边角互化的应用 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 2．（2024高一下·全国·专题练习）在中，已知，则 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】由余弦定理，得. 故答案为：2 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.94 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角推理即得. （2）利用余弦定理推理即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，其中为外接圆半径， 所以. （2）在中，由余弦定理得，即， 同理，， 所以， 即. 4．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理得到三边之比，再利用余弦定理即可. 【详解】由正弦定理得， 不妨设，根据大边对大角知，该三角形最小角为边长为2的边所对的角， 则根据余弦定理知该三角形最小角的余弦值为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【详解】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，a、b、c分别是的内角A、B、C所对的边，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正、余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 且，可得. 故答案为：. 7．（22-23高一下·上海奉贤·期中）在中，若，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出． 【详解】由正弦定理，且，则，设， 由余弦定理，可得. 故答案为：. 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】设的内角的对边分别是， 且边上的高分别为, 则,令，则， 故，故A为钝角， 又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形， 故选：C 9．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）先求出 的面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积； （2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值； （3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，在 中，且 ， 则 ， 又由余弦定理，得 ， 解得 ， 又在 中，， 得 ， 所以 ， 所以 的面积为 ， 所以花卉布展区域的总面积为 （2）在 中，因为 ，所以 ， 在 中，，由余弦定理，得 ， 所以 ，则 ， 得 ，所以 为一个定值1. （3）因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c， 因为 ， 所以 ，则， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 则 ， 则 ， 故 所以的取值范围为. 题型八：正余弦定理判定三角形形状 1．（22-23高一下·上海青浦·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 【答案】(1) (2)△ABC是等腰三角形 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、正、余弦定理判定三角形形状、特殊角的三角函数值、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而确定其大小； （2）由余弦边角关系可得，整理化简即可确定形状. 【详解】（1）由，而，故， 又，故. （2），故，即， 所以△ABC是等腰三角形. 2．（2023高一·上海·专题练习）在中，已知. (1)求； (2)若，判断的形状. 【答案】(1) (2)等腰的钝角三角形 【难度】0.65 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角的余弦值. （2）利用三角形内角和关系计算出B、C角，根据角度判断三角形形状. 【详解】（1）由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 所以，而为三角形内角，所以； （2）由（1）知，且， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以，所以是等腰的钝角三角形. 3．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【详解】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 题型九：正余弦定理与外接圆 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知的内角，，的对边分别为，，，其中，，__________，求和的外接圆半径． 【答案】任选一条件，都有， 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】若选择①：由余弦定理和三角形的面积公式得到，利用正弦定理即可求解； 若选择②：由正弦定理边化角得到，进而，求得，由正弦定理得和； 若选择③：由，得，求得，由正弦定理得和． 【详解】若选择①： ，， 又， ，所以，由，，， 又，， ， ，，则， ，； 若选择②：，则由正弦定理得， 因为，所以， 因为，所以； 由正弦定理，得， ，； 若选择③：，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以； 由正弦定理，得， ，． 2．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.    (1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理计算作答. （2）由三角形的边角关系，结合余弦定理推理作答. （3）按与的大小关系分类讨论，结合三角恒等变换、余弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，，，由正弦定理得， 所以 . （2）因为是钝角，则不过圆心，于是， 由余弦定理知，即， 所以. （3）当或时，所求的不存在； 当且时，直径所对的圆周角是直角，因此，所求的只存在一个，且； 当且时，，且都是锐角，由， 确定，所求的只存在一个，且； 当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，则所求的存在两个， 由，得当时，，， ， 因此， 当时，，， 所以. 【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形. 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点． (1)如果A点的纵坐标为，B点的横坐标为，求的值； (2)若角的终与单位圆交于C点，设角的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形； (3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，定值为 【难度】0.4 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）由三角函数的定义和两角和的余弦公式即得结果； （2）先由三角函数的定义得三条线段长度，再证明任意一边小于另两边之和，即得三条线段能构成一个三角形； （3）利用余弦定理和正弦定理解三角形，可求得外接圆半径，即得外接圆面积为定值. 【详解】（1）由已知得，，， 则， 则 . （2）由已知得， ① ∴② 同理③ 由①②③可知，线段MA、NB、PC能构成一个三角形. （3）设（2）中的三角形为，角所对的边长为由余弦定理可得， 设外接圆半径为R，则由正弦定理可得， ， ， . 故（2）中三角形的外接圆面积为定值. 4．（2024高一下·上海·专题练习）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径. (1)，求的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解； （2）利用余弦定理，结合角为钝角证明有关结论； （3）先确定边长大于外接圆直径时，无解；再分别讨论最长边小于或等于外接圆直径时，三角形的解及解的个数. 【详解】（1）由正弦定理得 所以 所以或（舍去）. 所以的长为：. （2）因为，是钝角， 所以. 因此. （3）当时， 不存在， 当时，不存在， 当时，存在一个， 此时 当时，存在一个， 此时， 当时，存在两个， 当A为锐角时， 当A为钝角时， 【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据，两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知内角的对边分别是，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理得到关于的关系式，再利用余弦定理表示出，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，又， 所以， 又，则. 故选：A. 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定A，B两地之间的距离. 【详解】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离； ③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离； ④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离. 综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④. 故选：C 3．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, 故答案为：. 6．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求得最大角与最小角的和的补角即可. 【详解】解：设边长为10，14，16分别对应边a，b，c， 由余弦定理得：, 因为， 所以，则， 故三角形中最大角与最小角的和为， 故答案为： 7．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在钝角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则边长的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理分类求解即得. 【详解】在钝角中，，，显然 当角为钝角时，且，则，解得， 当角为钝角时，且，则，解得， 所以边长的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海金山·期末）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 【答案】 【分析】设的角的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值. 【详解】设的角的对边分别为、、， 在内取点，使得， 设，，， 由余弦定理得，， ，∴， ，∴， 则，即角B为直角，则， 由， 得， 即，所以. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【详解】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 【答案】 【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案. 【详解】因为，则， 所以，即， 即，因为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以由可得：，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接 因为在圆内接四边形中，，，，，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以在中，由余弦定理可得：， 化简可得，解得或(舍去)， 所以，则圆内接四边形的面积公式为 故答案为： 三、解答题 13．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用余弦定理进行求解即可； （2）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 由余弦定理可知：； （2）因为，所以， 于是有， 因此， ， . 14．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 15．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 16．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，为钝角 【分析】（1）根据两次余弦定理并结合角互补即可即可证明； （2）同（1）得到，，再利用合理变形即可得到m、n、t之间关系式，再通过作差法即可得到的大小关系，则得到为钝角. 【详解】（1）因为， 则， 则在和利用余弦定理得， 化简得. （2）由（1）知①， 同理可得②，③， ①②③得④， 则m、n、t满足④式， ④①得， 同理可得，， 因为，则 则，则， ，则， 则，则，根据大边对大角，则为钝角. 17．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解； （2）根据题意结合余弦定理分析求解； （3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. （3）由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 18．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 【答案】(1) (2)汽车先到达C处，理由见解析 【分析】（1）由余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案； （2）由正弦定理求出，得到汽车所需时间，由余弦定理求出，进而得到快递小哥出发25分钟的路程和剩余时间，作差比较后得到结论. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，负值舍去， 故 （2）在中，由正弦定理得， 又，故， 因为，所以， ， 故汽车所需时间为h， 因为，由余弦定理得 ， 故， 故， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为， 剩余路程为，到达C处所需时间为， 其中， 故，所以汽车先到达C处. 19．（2024高一下·上海·专题练习）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． (1)求海域的面积； (2)现海面上点处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 【答案】(1) (2)未进入海域，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得，，然后利用扇形的面积公式可求得结果； （2）根据题意结合余弦定理可求得，再利用余弦定理求出，与150比较可得结论. 【详解】（1）连接， ∵，，， ，， ， ； （2）由题意知，，， ， ∵， ， ∴， ， ， ， 则该船只未进入海域． 20．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米．（已有两面墙的可利用长度足够大）    (1)若，求的周长（结果精确到0.01米） (2)如因实际需要，在墙角C的正上方5.5米高的位置，安装一照明灯源D，且要使得仰角，求此时角的大小．（结果精确到0.1度） (3)如为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室即的面积尽可能大，如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)米； (2)或； (3)为正三角形，最大面积为平方米. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算即得. （2）利用直角三角形边角关系求出，再利用正弦定理求解即得. （3）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得： ，， 所以的周长为（米）. （2）在中，由，得，， ，又，则， 在中，由正弦定理得，而， 所以或. （3）在中，由余弦定理得：， 则，即，当且仅当时取等号， ， 所以当，即是正三角形时，，面积取得最大值平方米. 【点睛】 思路点睛：解三角形应用题的一般步骤： ①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； ②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； ④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 21．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)千米 (2)千米． 【分析】（1）在中，利用余弦定理得到； （2）设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 所以千米． （2）设，因为，所以 在中，由正弦定理得，． 因为， 所以，， 因此， ， 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值． 故两条观光线路距离之和的最大值为千米． 22．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 23．（23-24高一下·上海·阶段练习）假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 【答案】(1)第10排；理由见解析 (2)第4排，理由见解析 【分析】（1）设表示第排座位眼睛离地高度，求出眼睛离地高度接近的值即可. （2）先由题设表示第n排座位的位置、表示第n排座位的水平方向视角，则在中利用勾股定理求出即可利用余弦定理去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角. 【详解】（1）设表示第排座位眼睛离地高度， 则由题意，接下来的每一排座位与前一排作为高度均相差 ， 所以， 令即，， 所以小致想要得到更好的直方向视角建议小致坐第10排的座位. （2）如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角. 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是依据三角模型图，将第n排座位T的水平方向视角设为，接着利用勾股定理将用n表示起来，再在中利用余弦定理即可去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角对应的n值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$