6.4.3.2 正弦定理（一）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 正弦定理 A B C 一、创设情境 提出问题 引入 数学问题 小王到大明湖,他发现在他所在位置北偏东60 方向的湖中岛的历下亭,当他向正东方向走了5百米后,发现历下亭在他的北偏西45 的位置。此时,历下亭离小王多远? 实际问题 二、探寻特例 提出猜想 sinA= sinB= sinC= 1 在直角三角形中 A B C a c b 猜想 在任意三角形中,都有 成立 二、探寻特例 提出猜想 证明 方法 作高法 问题2:如何证明猜想? 三、逻辑推理 证明猜想 (1)当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? D 如图:作AB上的高是CD,根椐 三角形的定义,得到 B A C a b c E (2)当 是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立? B A C b c a D A B C C1 a b c O 如图: 外接圆法: R C c 2 sin 1 = R A a R B b 2 sin 2 sin = = , 同理: ( ) 为外接圆半径 即得: R R C c B b A a 2 sin sin sin = = = R C c C c 2 sin sin 1 = = 所以 8 三、正弦定理的应用 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他 的边和角) 四、定理形成 概念深化 在一个三角形中,各边的长和它所对角 的正弦的比相等, 解三角形:一般地,我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 正弦定理: 问题3:利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素? 问题4:正弦定理可以解决哪类解三角问题? 四、定理形成 概念深化 正弦定理: 由正弦定理 五、范例教学 题型一:已知三角形的两角,一边 解决本课引入中提出的问题。 小王到大明湖,他发现在他所在位置北偏东60 方向的湖中岛的历下亭,当他向正东方向走了5百米后,发现历下亭在他的北偏西45 的位置。此时,历下亭离小王多远? A B C 五、范例教学 变式训练: (1) 在 ABC中,已知b= ,A= ,B= ,求a。 (2) 在 ABC中,已知c= ,A= ,B= ,求b。 解: ∵ ∴ = = 解: ∵ = 又 ∵ ∴ 五、范例教学 B=60 或120 B=30 题型二:已知三角形的两边,一对角 例题讲解 解:由 得 ∵ 在 中 ∴ A 为锐角 例2 在 中,已知 ,求 . (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他 的边和角) 唯一解? 变式训练: 在例 2 中,将已知条件改为 求A。 60 A B C b (3) b=20,A=60 ,a=15. (1) b=20,A=60 ,a= ; (2) b=20,A=60 ,a= ; 判断有几组解? 解:由 得 (3) b=20,A=60 ,a=15. (1) b=20,A=60 ,a= ; (2) b=20,A=60 ,a= ; 一解 无解 一解 以未知边所对的角为圆心 已知角所对的边为半径画圆,与未知边交点的个数 半径为直角边;或者半径大于等于另外已知边 半径夹中间为2个解 半径最小为无解 那么这个k值是什么? 它与三角形外接圆的半径有什么关系? 探 究: 如图,在 角平分线定理 B C D 六、归纳小结 1、数学知识: 2、思想方法: 3、了解了实际生活中简单的三角度量方法。 三角形中的边角关系正弦定理 本节课你学到了哪些知识? 有什么收获? _ _ _ _ _ 分类讨论 转化与化归 数形结合 方程的思想 从特殊到一般 1、在 中,一定成立的等式是( ) C 随堂检测 2、在 ABC中 已知a=18,B=60 ,C=75 , 求b= 作业:1、请至少有三种方法证明正弦定理。 2、必做:课本练习A 选做:同步训练基础巩固 谢谢 $$