广东省东莞市第四高级中学高二下学期数学周测试卷（5）2025.3.23

东莞市第四高级中学高二下学期数学周测（5）2025.3.23 考试时间：6:50-7:50（总分90分） 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共35分） 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 3．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（    ） A．72种 B．54种 C．36种 D．27种 5．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 7．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共12分） 8．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B．0是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校的图书馆､食堂､实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（     ） A．总共有12种分配方法 B．总共有36种分配方法 C．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种分配方法 D．若甲､乙均安排在图书馆帮忙，则有2种分配方法 三、填空题（每小题5分，共15分） 10．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 11．在的展开式中，的系数是 . 12．已知为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 答案填这里 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 10. . 11． . 12． . 四、解答题（共15+15=30分） 13（15分）．将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） 14．（15分）已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）若函数有三个极值点，求实数的取值范围． 东莞市第四高级中学高二下学期数学周测（5）2025.3.23参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B B C D D BC BCD 6.【详解】由题意得：， 令，解得：，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增，可排除AB； 当时，恒成立，可排除C.故选：D. 8.∵函数在区间上为单调递增函数， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 由于函数在上单调递减，所以， 即实数的取值范围是，故选：D. 8．BC【详解】由题意可得，当时，， 当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误 9．BCD【分析】四人安排到三个地方，可以选其中2人捆绑为一人，4人变成3人全排列，甲､乙安排在同一个地方帮忙，就把甲乙捆绑为一人，如果没其他要求，就与其他2人全排列，如果有其他要求就先按其他要求处理，再排列．由此计算得到各选项中的方法数，确定结论． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 先将4人分为3组，再将三组安排到三个场馆，有种安排方法，错误，B正确； 若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则甲乙捆绑作为一人，与其他两人一起全排列：＝6种安排方法，C正确； 若甲､乙均安排在图书馆帮忙，将丙､丁安排在食堂､实验室帮忙即可，有种安排方法，D正确； 故选：BCD. 10． 【详解】，， 切线斜率，故切线方程为，即. 11．80 【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而得到，进而求出的系数. 【详解】展开式的通项公式， 令，解得：，则，所以的系数是80. 14.依题意，函数与在上单调递增， 且函数的值域为，，不等式恒成立， 当且仅当函数与有相同的零点，因此， 由得，，由得，于是， 则，，令， ，， 当时，，当时，， 因此函数在上递减，在上递增， 当时，， 从而得的最小值为. 故答案为： 13．【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法， 则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； 14．（1）；（2） 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出； （2）依题意可知有三个不同的实数根，令，即有三个不同的实数根，求出函数的导函数，即可得到函数的极值，依题意可得，即可得解． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以，由于直线方程为的斜率为， 所以，解得． （2）函数有三个极值点，即有三个不同的实数根． 设， 由于， 所以只需满足有三个不同的实数根即可． 所以， 令，解得或． ①当时，，所以在上单调递增． ②当时，，所以在上单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． 所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值． 即，， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《东莞市第四高级中学高二下学期数学周测（5）2025.3.23》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B B C D D BC BCD 1．C 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 2．D 【分析】根据组合数的性质来求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 3．B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 4．B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次排列情况， 故选：． 5．C 【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可 【详解】由球的体积公式可得，得， 所以时，体积关于半径的瞬时变化率为， 故选：. 6．D 【分析】利用导数可求得的单调性，由此排除AB；根据时，可排除C，由此得到结果. 【详解】由题意得：， 令，解得：，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增，可排除AB； 当时，恒成立，可排除C. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．D 【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可． 【详解】∵函数在区间上为单调递增函数， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 由于函数在上单调递减，所以， 即实数的取值范围是， 故选：D. 8．BC 【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误. 故选：BC 9．BCD 【分析】四人安排到三个地方，可以选其中2人捆绑为一人，4人变成3人全排列，甲､乙安排在同一个地方帮忙，就把甲乙捆绑为一人，如果没其他要求，就与其他2人全排列，如果有其他要求就先按其他要求处理，再排列．由此计算得到各选项中的方法数，确定结论． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 先将4人分为3组，再将三组安排到三个场馆，有种安排方法，错误，B正确； 若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则甲乙捆绑作为一人，与其他两人一起全排列：＝6种安排方法，C正确； 若甲､乙均安排在图书馆帮忙，将丙､丁安排在食堂､实验室帮忙即可，有种安排方法，D正确； 故选：BCD. 10． 【分析】根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】，， 切线斜率，故切线方程为， 即. 故答案为： 11．80 【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而得到，进而求出的系数. 【详解】展开式的通项公式， 令，解得：， 则， 所以的系数是80. 故答案为：80 12．0 【分析】先求导求解函数单调性，再结合极值定义求解即可. 【详解】函数的导数， 令，则或， 所以在单调增，在单调递减， 所以的极大值为. 故答案为：0 13．(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 14．（1）；（2） 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出； （2）依题意可知有三个不同的实数根，令，即有三个不同的实数根，求出函数的导函数，即可得到函数的极值，依题意可得，即可得解． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 由于直线方程为的斜率为， 所以，解得． （2）函数有三个极值点，即有三个不同的实数根． 设， 由于， 所以只需满足有三个不同的实数根即可． 所以， 令，解得或． ①当时，，所以在上单调递增． ②当时，，所以在上单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． 所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值． 即，， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$