8.6.3平面与平面垂直的判定定理导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024级高一数学新教材必修二第八章导学案 编制：李俊锋 审核：刘晓静 重视基础 提升素养 科学高效 合力攻坚 编号：8-6-04 8.6.3　平面与平面垂直的判定 导学案 【课程标准】从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系，归纳出平面与平面垂直的判定定理． 【学习目标】1、理解二面角的概念，会求二面角的大小 2、理解平面与平面垂直的判定定理，会判定平面与平面垂直 【学习重点】二面角的概念及用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直、折叠问题的处理方法． 【学习难点】二面角的求法、面面垂直判定定理的综合应用． 【核心素养】1.通过从教材的实例中抽象出二面角的相关概念及平面与平面垂直的定义的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直的过程提升逻辑推理素养. 【新知探究 自主学习】 知识点一　二面角的概念 1．定义及有关概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (3)图形：如图所示． (4)记法：二面角α－AB－β或P－AB－Q或α－l－β或P－l－Q. 2．二面角的平面角 (1)定义：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． (2)大小及范围：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 知识点二　两个平面互相垂直的定义及判定定理 1．两个平面互相垂直的定义 (1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)图形：如图所示． (3)表示：平面α与β垂直，记作. 2．两平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. (2)符号语言：若，则. (3)作用：证两平面垂直. 【合作探究】 题型一　求二面角 例1　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. 求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数； (2)二面角B－PA－D的平面角的度数； (3)二面角B－PA－C的平面角的度数． [跟踪训练1]　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 题型二　证明平面与平面垂直 例2　（1）如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a. 求证：平面ABD⊥平面BCD. [跟踪训练2]　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC. 例3（课本158页例7） 如图8.6-27所示,在正方体中,求证:平面平面. [跟踪训练3] （课本158页例8） 如图8.6-28，是的直径,所在的平面，是圆周上不同于的任意一点,求证:平面平面. 【当堂检测】 1．给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角． 其中正确的命题是(　　) A．①③ B．② C．③ D．①② 2．(2023·广东深圳中学高一下阶段考试)过正方形ABCD的顶点A作AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则二面角P－CD－A的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 3．(多选)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图2)．在折起的过程中，下列说法正确的是(　　) A．AC∥平面BEF B．B，C，E，F四点不可能共面 C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直 4.如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________. 【课堂小结】 【布置作业】 完成练习案 1 学科网（北京）股份有限公司 $$