第六章 随机变量及其分布章末检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 随机变量及其分布章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】向量，则， 由，得，所以. 故选：A 2．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由题干条件和正弦定理可得， 又因为在中，，所以， 所以上述等式可化为， 即，又，即， 所以，故为直角三角形. 故选：B. 3．已知平面向量满足，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得，则， 由，得，因此， 所以. 故选：A 4．如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，，，因为， 所以， ，    在中，由余弦定理得 ， 因为， 所以， 解得， 所以， ， 扇形OBC的面积为： 所以图中阴影区域的面积为. 故选：B. 5．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 【答案】C 【详解】中，则，而，， 所以，显然满足的三角形恰有两个. 故选：C 6．梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家、天文学家梅涅劳斯的著作《球面学》中，经过不断地研究和推导，发现任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积.即如图所示，若直线分别截三边延长线于点，，，则有，现若发现图中，，则为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】，， ∴，又∵， ∴， 故选：A. 7．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：A 8．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形.    根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．与垂直 C． D． 【答案】BD 【详解】A：向量无法比大小，只有向量的模可以比大小，故A错误； B：， 故与垂直，故B正确； C：假设成立，则， 即， 因，，是任意的非零向量，则， 而均为中的任意数，故不一定成立， 故C错误； D：， 故D正确. 故选：BD 10．已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且，，则（   ） A．A的取值范围为 B．a的取值范围为 C．ac的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为为锐角三角形，， 则，解得， 所以A的取值范围为，故A正确； 对于选项B：由正弦定理， 可得， 因为，则，可得， 所以a的取值范围为，故B正确； 对于选项C：由选项B可得 ， 因为，则， 可得，， 所以ac的取值范围为，故C错误； 对于选项D：由选项B可知， 因为，则， 可得，， 所以的取值范围为，故D错误； 故选：AB. 11．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】由正弦定理及，得， 即，， 整理得，又，， 所以，故，，A错误； 由，得，又为锐角三角形， 所以解得，B正确； （当且仅当，即时取等号），C正确； 由，得，由正弦定理得： 即， 所以 . 又，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为 . 【答案】/ 【详解】因为，则， 所以， 所以当时取最小值，此时， 所以. 故答案为：. 13．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点的坐标为 ，向量在向量上的投影向量为 ． 【答案】 【详解】空：由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点， 则点绕点沿逆时针方向旋转角得到点， 则， ，设，又因为， 所以，解得，所以. 空：向量在向量上的投影向量为， 因为，， 所以. 故答案为：； 14．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为 【答案】 【详解】因为， 又，则， 所以（当且仅当时取等号）. 则， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由和正弦定理得：， 即， ， 又. （2）. ， ， . 所以的面积为. （3）由正弦定理得： . 因为是锐角三角形，则. ， ， ，所以 16.（本小题15分） 在中，满足：，是的中点． (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若点是内一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以， ， ， 所以； （2）因为，，是的中点， 所以， 设，则， 因为是的中点，所以 所以 ， 当且仅当时，的最小值是． （3）设，，则， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，， 所以，所以 17.（本小题15分） 已知中，是角所对的边，.    (1)求角的大小； (2)已知. （i）如图①，在的边上分别取两点，若，求长度的最小值； （ii）如图②，分别在边上，，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，即，又， 因此，解得，所以. （2）①由（1）知，，而，则是正三角形，设， 当时，与重合，为的中点，；当时，与重合，， 当时，在中，， 由余弦定理，得， 即，因此 ，当且仅当时取等号， 而，所以长度的最小值. ②设，则， 在中，由正弦定理得， 则，在中，， 则，，又， 于是∽，，则， 由，得，解得， 因此的面积 ，其中锐角由确定， 而，则当时，，， 所以面积的最小值为. 18.（本小题17分） 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为是中点，， 因为，则. （2）因为、、三点共线，故存在实数，使得， 即，整理得， 由（1）知，， 根据平面向量基本定理，则. （3）因为是边长为的等边三角形，故，， 在中，由余弦定理，， 在中，同法可得， 故， 由（2）知，得， 故， 由基本不等式，，， 当且仅当，即，时，取最小值， 故的取值范围是． 19.（本小题17分） 假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)① 证明见解析；②证明见解析； (3). 【详解】（1）设所求向量为，则， ， ， 联立解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. （2）①， ， . ②由①知，， 当时，， 所以. （3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立仿射坐标系， 设，则，， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 随机变量及其分布章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D．3 2．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．已知平面向量满足，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 4．如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 6．梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家、天文学家梅涅劳斯的著作《球面学》中，经过不断地研究和推导，发现任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积.即如图所示，若直线分别截三边延长线于点，，，则有，现若发现图中，，则为（   ） A． B． C． D．1 7．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 8．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．与垂直 C． D． 10．已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且，，则（   ） A．A的取值范围为 B．a的取值范围为 C．ac的取值范围为 D．的取值范围为 11．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为 . 13．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点的坐标为 ，向量在向量上的投影向量为 ． 14．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围. 16.（本小题15分） 在中，满足：，是的中点． (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若点是内一点，且，，，求的最小值． 17.（本小题15分） 已知中，是角所对的边，.    (1)求角的大小； (2)已知. （i）如图①，在的边上分别取两点，若，求长度的最小值； （ii）如图②，分别在边上，，求面积的最小值. 18.（本小题17分） 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 19.（本小题17分） 假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$