2025年九年级中考数学复习 构造法搞定中考几何难题

构造法搞定中考几何难题 武汉市第一职教中心 江湖美 2024年全国各地中考数学试卷中,涌现出一批让许多朋友感到为难的几何题.它们都是“不小的小题”.如何迅速有效地搬掉这些“拦路虎”,就成为驾驭整份试卷的制高点. 经过几个月的悉心研究,我们总结出了一套解决这类题的行之有效的方法--------构造法. 依据解题目标,选择最适合解题的知识板块,营造最佳的解题环境,以求最好地达到解题目的.我们称这种解题方法为构造法.大约有如下10种类型:构造轨迹;构造全等;构造相似;构造等积;构造特殊三角形,构造过渡比;构造函数;构造三角比;构造方程;构造四点共圆的条件.现分别举例详述如下. 1.构造点的轨迹(圆弧) 【例1】2024,上海卷.6题 在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.点P在△ABC内.分别以A,B,P为圆心画圆.圆A的半径为1.圆B的半径为2,圆P的半径为3.圆A 与圆P内切.圆P与圆B的关系是( ) A.内含 B.相交 C.外切 D.外离. 【解析】本题考察两圆的位置关系.需紧抓连心线与半径的关系. 首先是圆P与圆A内切,但是圆P的半径3大于圆A的半径1.可知圆A在圆P内,且连心线AP=3-1=2. 但是点P又在△ABC内,所以其轨迹是以A为圆心.2为半径的在△ABC内的一段圆弧(见解图中的) 其次,本题的结论是确定圆P与圆B的位置关系 即考察连心线PB长的范围. 易求:BD=3,点P在△ABC内,故必 圆P与圆B的半径之和为5,差为1.两圆相交必须1<PB<5. 如图所示结论(1)符合这个条件,故两圆的关系为相交,故选B. 2.构造全等形 【例2】2024,江苏南京,5题 四边形ABCD中,AD∥BC.,AD,BC分别 与扇形BAF相切于A,E,若AB=15,AC=17,则 AD=( ) 【解析】∵扇形半径R=15. 故由切割线定理知: 得CE=8.设AD=AE=x. 连BE,则BE⊥CD.且BE=AB=15. 作AG∥DC,交BC于G. 则∠AGB=∠C.且CG=x,BG=17-x由Rt△ABG≌Rt△BEC,得: 即所求AD=9,故选D. 3.构造相似形. 【例3】2024.哈尔滨.20题 如图,矩形ABCD的AC,BD交于O, 延长BC至点G,连结DG, 点E为DG的中点,连OE,CD交于F.若AO=6EF. 则DF的长为 【解析】如解图,设∠CDG=α,则 ∠EOD=2α;设EF=x,则OD=6x, 连CE,Rt△DCG中, ∵E为DG中点,∴EC=EG=ED. 且∠CEG=2α=∠EOD, 又∠OED=∠C,∴△CEG∽△EOD, ,从 而 4.构造等积形. 【例4】2024,陕西.13题 △ABC中AB=AC=13,BC=10.点E在AB上,BF∥AC且BF=AE. 连CF.则四边形CEBF的面积为 【解析】如解图作AP⊥BC于P, 得CP=BP=5,∵AP=3,由勾股定理知 AP=12,∴ ∵AB=AC且BF∥AC,∴ ∠ABC=∠ACB=∠CBF. 故BC为∠ABF的平分线, CM⊥AB于M,CN⊥BF于N,则CM=CN. 已知AE=BF,故 5.构造特殊三角形 【例5】2024.湖北卷.15题 边长为2的正三角形DEF.将各边 分别延长1倍到B,C,A.连结ABC.连 BF并延长交AC于G,则 ∠DBF = FG= 【解析】如解图,由于HB=HF=2, 且∠DEF=60º,∴∠DBF=∠EFB=30º. ∵∠AFB=60º+30º=90º,∴AF⊥BG. 作CH⊥BG延长线于H.∵∠CFH=30º 且CF=2,∴CH=1. ∵CH∥AF.∴ 6.构造过渡比 【例6】2024.浙江金华10题 四个全等的直角三角形拼成如图的 “赵爽弦图.”得到正方形ABCD与 正方形EFGH.连结EG,BD交于O,BD,HG 交于P.若GO=GP,则 A, 【解析】如解图设每个直角三角形边长依次为a<b<c.则大小两正方形的边长分别为 c,b-a.我们需要求之值. 设CP=CO=x,BC=2x. ∵DH=a,BG=b,则由△BPG∽△DPH, 以下需要由比例式(1)向目标式过渡. 由合分比定理得: 两边平方: 故.故选B. 7.构造函数 【例7】2024.江苏连云港.16题 如图,△ABC中,∠C=90º,∠B=30º. AC=2.P为AC上动点,PD⊥AB于D, DF⊥BC于F.E为PF中点.当点P从 A运动到C时,点E运动的路径长为 【解析】建立如解图的平面 直角坐标系,则有A(0,2), 设P(0,m).,由PA=2-m,得: 作DG⊥PA于G,得: 即有点.得PF的中点为 令.(2)代入(1):.这就是点E的轨迹方程,它是位于0≤y=m/2≤1间的一条线段.分别令y=0,1,得: 8.构造三角比 【例8】2024,江苏常州.16题 △ABC中∠ACB=90º,BC=4,AC=6. D为AC中点,E为BC上一点,连DE, 以DE为对称轴将△DEC翻转180º, 点C的对称点恰落在BD上,则 CE= 【解析】如解图,∵CD=3,BC=4,由勾股定理知BD=5. 设∠DBC=α,则 设EF=EC=x,则BE=4-x. Rt△BEF中,, 解得: 9.构造方程 【例9】2024,成都B卷.22题 如图,在Rt△ABC中,∠C=90º, AD是△ABC的一条角平分线,E 为AD中点.连结BE,若BE=BC, CD=2,则BD= 【解析】如图作EF⊥CD于F. 则EF为△ACD中位线.故有CF=DF=1. 设BD=m,则 BE=BC=m+2,BF=m+1. 设EF=n,则AC=2n. 已知AD平分∠A. Rt△BEF中,有: Rt△ABC中,有: (1)代入(2): 化简得: 10.构造四点共圆的条件 【例10】2024.武汉.15题 △ABC中∠ACB=90º. AC=3BC=12. 点D,E分别在AB,AC上.将 △ABC沿直线DE翻折后,点B落在 AC上的点G处.点C的对应点为F.连BG,若CE=3,则折痕DE 的长为 【解析】本题的要点是求得BD之长. 如解图,由条件易得EB=EG=5, 作GH⊥AB于H,则 ∴B,C,G,H四点共圆. 由割线定理: 同理有:D,M,G,H四点共圆. (BD之长已得,以下配置以面积解法更妙) 作DN⊥AC于N 即为所求. 练习题 1.2024.山西济南.15题 如图的矩形ABCD中, E为AD中点. F在CD上,△DEF沿EF翻折180º得△D’EF.已知BD’=2,则DF= 2. 2024.湖北鄂州.10题 如图的四边形ABCD中,BC∥AD, ∠ADC=90º.AB=BC+AD,∠CAD=45º. E为CD上一点,∠BAE=45º.若CD=4. 则△ABE的面积是( ) 3.2024.江西.12题 如图,AB是圆O的直径,AB=2.点 C在线段AB上运动.过点C的弦DE⊥AB,. 将沿DE翻折交直线AB于点F.当DE的长为正整数时,线段BF的长为 4.2024,江苏连云港.15题 如图:将一个矩形纸片ABCD上下对折,使之完全重合.打开后,得到折痕EF,连结BF,再将矩形纸片折叠,使点B落在BF上的点H处,折痕为AG.若点G恰好为线段BC靠近点B的一个五等分点,则BC的长为 5.2024.浙江杭州.16题 如图的矩形纸片ABCD,点E在AB上, 将△CBE沿直线CE对折后,点B的对应点 F落在AC上,且D,F,E在同一直线上,若AE=2,则DF= ,BE= . 6.2024,四川南充,10题 在如图的赵爽弦图中,AB=10,以下3个结论:①若,则EF=2; ②若直角三角形ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍,则点F是AG的3等分点; ③将△ABG绕点A逆时针旋转90º得到△ABG’,则BG’的最大值为其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③. 7.2024.浙江.16题 如图,在菱形ABCD中,AC ,BD交于O, 线段AB与A’B’关于过点O的 直线对称.点B的对应点B’落在AC上, A’B’,CD交于E.则△B’CE与四边形 OB’ED的面积比为 8..2023,四川宜宾.17题. 如图,边长为4的正方形ABCD 中,M为DC中点.P为正方形内一点 且MP=1.连BP.将线段BP绕点B 逆时针旋转90º到BQ.则MQ的最小值为 9.2024.河北19题 如图.△ABC面积为2,D为BC中点.点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点;点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A又是线段BB1的中点 (1)△AC1D1的面积为 (2)△B1C4D3的面积为 10.(竞赛题)△ABC的三边满足 其中,则△ABC的面积= 参考解答 1.(构造全等形)答: 【解析】如解图,延长BA,D’E 交于G,易证 △AEG≌△DEF≌△D’EF. 设DF=D’F=AG=x. 由条件知ED’=ED=1,BD’=2. Rt△AEB中,由勾股定理知 △BED’满足 设∠AEG=∠FED=∠FED’=α.则 ∠BEG=180º-(90º+α)=90ºα-α=∠G.故△BEG为等腰三角形, 从而 也就是所求 2.(构造相似形)选D. 【解析】如解图,△ACD为等腰 直角三角形,当CD=4时,易求 AD=4,BC=1,AB=5. 已知∠BAE=∠CAD=45º,故设 ∠BAC=∠DAE=α.作DH⊥AC于H,则 △BCH也是等腰直角三角形. 令DE=x,则CE=4-x. 由Rt△ABH∽Rt△AED,得: 于是: 故选D. 3.(构造三角比) 答: 【解析】如解图,连结OD, 设∠DOB=α.有3种情况: (1)α=30º时,DE=2sin30º=1为正整数. 此时 (2)α=90º时,DE=2为正整数.此时DE 过圆心,点F,A重合.故BF=2. (3)α=150º时,DE=1为正整数此时DE在圆心O的左边, 4.(构造四点共圆)答: 【解析】如解图设BG=x,则CG=4x. 设AG,BF交于M,易求: 又:.由G,M,F,C四点共圆得: 于是 5.(构造相似形和方程).答: 【解析】如解图,由翻折知必有 AC⊥DE.设EB=EF=x,则CD=x+2.由 由△AFB∽△CFD得: 6.(构造三角比,方程,轨迹).答:D. 【解析】如解图1,设弦图中每个直角三角形两直角边 依次为a,b(a<b).则中间小正方形边长为b-a. 小正方形边长b-a=2.故①真; 由, 由图知有故②真; 以AD为直径向形外作半圆,设AD中点为O,连AO并延长交半圆于即得AG’最大值为故③真. 于是①,②,③均真,故选D. 7.(构造对称图形)答:1/3 【解析】既是线段AB与A’B’关于过点O的直线对称.那么气对称中心就是菱形的中心.故当点B.在AC上时,点A的 对称点A’必在BD延长线上. 由此可知△OEB’≌△OED. 已知,故不妨设OC=5, 则OB’=OD=3.∴CB’=2.于是: 8.(构造轨迹)答: 【解析】如解图,点P的 轨迹是以M为圆心,1为半 径的上半圆.连接BM,将 圆M以P为圆心BM 为半径逆时针旋转90º 圆m’,连MM’交圆M’ 于Q,易求 故所求 9.(等积变换)答:(1)12;(2)7. 【解析】如解图记AB=b,AC=c,AD=d.∠BAD=∠B1AD1=α,∠CAD =∠C1AD1=β,则 于是 10.构造直角三角形.答案:168 【解析】注意到 构造如解图的直角三角形ABD.其中∠ADB=90 º,AD=48,BD=2a. 取AD中点M,在BD上取BN=a+7.则 ND=a-7,作矩形CMDN.连AC,BC.则 即所求△ABC的面积为168. 敬告各位:我群(中学数学竞赛交流群,群号:340744678)长期研究两考及中学数竞,诚邀有兴趣的朋友参与交流,研究,发展,谢谢. 学科网（北京）股份有限公司 $$