精品解析：福建省福清第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测（三）数学试题

2024-2025高二下学期数学阶段检测卷（三） 时间：70分钟 满分100分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 2. 若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每人只报一项，每项最多有1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 4. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 5. 在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁.如图，已知矩形的宽为，高为，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，矩形的宽的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数a，b，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数有最小值的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( ) A. 当时，在单调递增 B. 当时，在处的切线方程为 C. 当时，在上至少有一个零点 D. 当时，在上不单调 11. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线在点处的切线可能与直线垂直 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则等于__________． 13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是__________． 14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共2小题，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求的最小值； （2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若在区间上存在唯一零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025高二下学期数学阶段检测卷（三） 时间：70分钟 满分100分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数小于零，解之即可. 【详解】因为，所以，令，得， 又函数的定义域为，所以函数的单调递减区间为， 故选：B． 2. 若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数单调性和奇偶性判断正负，再将不等式转化为.接着结合函数图象和奇函数性质，确定在不同区间的正负情况，最后根据求出不等式解集. 【详解】解：由图可知在上单调递减，且是奇函数， 所以在上也单调递减， 所以对任意的，， 所以当时，， 当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 注意到时，没有定义，， 综上所述，不等式的解集是． 故选：． 3. 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每人只报一项，每项最多有1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报， 由分步乘法计数原理，共有种不同的参赛方法； 故选：A 4. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】 由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 5. 在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁.如图，已知矩形的宽为，高为，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，矩形的宽的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得再求导分析的单调性与取最大值时的值即可 【详解】由题意，，故，故当时，，当时，，故当时取最大值. 故选：D 6. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 7. 已知实数a，b，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的单调性即可判断. 【详解】构造函数 ， ， 显然 时， ，即 时是单调递增的 ， 当 时，是单调递减的，故 的最大值是 ， 当 时 的值域是 ， 由题意，对于 ， ， ， ， 对于 ，即 ，∵， ， ∴必然存在， 使得 ， 由于 ， ，即，由于 是单调递增的， ， 对于 ，即 ，同理 ， ， ， 由于 ， ，即 ， ； 故选：A. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答. 【详解】函数，则， 因，则不等式成立必有，即， 令，求导得，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又， 当时，，于是得，即，令， 当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解， 当时，，于是得，即，此时， 函数在上单调递增，，，不等式解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求某些函数不等式解集，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数有最小值的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】通过求导分析函数的单调性，逐项判断可得答案. 【详解】A.由，得， 由得，，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴有唯一的极小值，也是最小值，最小值为，A正确． B.由得， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递增， ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴有唯一的极小值，也是最小值，最小值为，B正确． C.由得， ∴在上单调递增，故无最小值，C错误. D.由得， ∴在上单调递减，故无最小值，D错误. 故选：AB. 10. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( ) A. 当时，在单调递增 B. 当时，在处的切线方程为 C. 当时，在上至少有一个零点 D. 当时，在上不单调 【答案】ABD 【解析】 【分析】A．代入m＝1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性； B﹒代入m＝1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程； C﹒代入m＝－1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点； D﹒判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调． 【详解】①当时，，， 当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确； ∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确； ②当m＝－1时，，， 令，则， 当x＞0时，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上单调递增， ∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误； 当，时，cosx＜0，＞0，∴＞0， ∴在，单调递增， 又，而， ∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得， 当，时，，单调递减， 当，时，，单调递增， ∴在，上不单调，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线在点处的切线可能与直线垂直 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点，得到导函数有两个变号零点，从而可求参数的取值范围，即可判断A选项； 假设满足条件的切线存在，利用导数的几何意义求出切线的科率，得到的值，结合A项结果推出矛盾，可得B不正确； 由，利用整体替换思想得到，最后根据的范围和二次函数的性质得到，可得C正确； 由，利用整体替换思想可知若D正确，则只需，令，构造函数，利用导数可求得的单调性和最值，由此可证得结论，从而判断D选项． 【详解】对于A，，令，则，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 有两个极值点，有两个变号零点，， 即，，A正确； 对于B，曲线在点处的切线斜率， 若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，B错误； 对于C，由题意知：，即， 则，由A知：， 由二次函数性质知：，C正确； 对于D，由题意知：，即，又， ，即； 要证，只需证，即证， 即证， 设，则只需证， 令，则， 在上单调递增，，， 则，D正确. 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：对于D项，求解这类极值点偏移问题的关键：一是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，再巧妙地把两个极值点通过消参向求证的结论逐渐靠近；二是消“变”，即减少变量的个数，只有把不等式转化为只含有一个“变量”的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题进行求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和求导公式计算即可得答案. 【详解】∵， ∴ 令得，解得. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在上，有极值点表示有零点，由导数可得即可得，从而有，计算可求得的范围. 【详解】由题可知， 当时,, 单调递减， 当时,, 单调递增， 故只有极小值点2. 若在区间上有定义且有极值点，则，解得. 故答案为: 14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可构造函数，结合导数可得在上单调递减，由的性质及，结合所求不等式，可转化为且解，结合单调性即可得. 【详解】，则， 故在上单调递减， 因为， 故有， 即有，则， 即，则，故为周期为8的周期函数， 由，故， 由，故， 即，故， 即有，则， 对，有，即有， 由在上单调递减，故， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在将所求解不等式，通过题目所给条件，构造函数，从而将其转化为解，结合的单调性即可得. 四、解答题：本题共2小题，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求的最小值； （2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解； （2）令，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由已知可得，则， 因函数在上单调递增， 所以对任意的恒成立， 又因为函数在上为增函数， 则，解得，故实数的最小值为. 【小问2详解】 解：，令，可得， 因为函数的图象与有且只有一个交点， 令，则函数的图象与直线只有一个公共点， 则，令，解得或，令，解得， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为， 的图象如下所示：    由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. 16. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若在区间上存在唯一零点，证明：． 【答案】（1） 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 法一：因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需，， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以，即当时，有不等式成立. 法二：由于，由（1）可知且所以， 由泰勒展式可得，解得， 所以． 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则． 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）方法一分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证；方法二利用泰勒展开式，进行放缩证明. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $