18.1.1 平行四边形的性质 课件-2024-2025学年人教版八年级数学下册

平行四边形的性质 人教版八年级下册 教学目标 （1）探究并掌握平行四边形对角线互相平分的性质. （2）能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题. 知识与技能 能发现平行四边形对角线互相平分这一结论并形成猜想，会利用三角形全等证明猜想。 过程与方法 能发现平行四边形的边、角、对角线等基本要素间的关系，会运用等量代换等进行线段长、图形面积等的计算，掌握简单的逻辑论证. 情感态度和价值观 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 老大 老二 老三 老四 你来评一评 复习 A D B C 定 义 表示方法 性 质 两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。 平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”, 其中线段AC, BD称为对角线。 1.平行四边形的两组对边分别平行; 2.平行四边形的对边相等。 3.平行四边形的对角相等， 相邻两角互补。 叙述平行四边形的性质 A B D C O 知识回顾 ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴ AB∥CD；AD∥BC. AB=CD；AD=BC. ∠BAC= ∠BCD; ∠ABC= ∠ADC. 还有其它性质吗? A C D B O 猜一猜: 线段OA与OC、OB与OD长度有何关系？ 你能证明你的结论吗？ ● 如图:线段AC、BD就是 ABCD的对角线. 结论：平行四边形的对角线互相平分. 知识点 平行四边形的对角线的性质 你能证明这个猜想吗？　 拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确? 这个方法准确吗？ 量一量： A B C D O 动手试一试 A B D C O A B D C O 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么? ● A D O C B D B O C A 再看一遍 看一看 ● A D O C B D B O C A 看一看 结论 你能证明 它吗? 平行四边形的对角线互相平分. ● ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。 A C D B O 已知：如图： ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD. 3 2 4 1 谁先会，谁先讲. 平行四边形的对角线互相平分. 符号语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）. 或 或 AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO. ∵在　 ABCD中 ∴ OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）. 平行四边形的性质 B O D A C 定理3：平行四边形的对角线互相平分 解：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm. 又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm. 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC , BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 考点 利用平行四边形对角线的性质求线段的值 提示：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差. C B A D O 如图，□ABCD的两条对角线相交于点O, 已知AB=8cm,BC=6cm, △AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是 . C B A D O 16cm 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ DO=BO，AD∥BC. ∴ ∠ODE=∠OBF. ∴ △DOE≌△BOF（ASA）. ∴ OE=OF. ∵ ∠DOE=∠BOF 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E,F， 求证：OE=OF. 例 平行四边形的对角线互相平分 考点 议一议： 在上述问题中，若直线EF与边DA,BC的延长线交于点E,F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由． ● O D C B A E F ● O D C B A E F (1) (2) ● ● ● ● 17 ● O D C B A E F (4) 议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图（3）的位置时，上述结论是否仍然成立？ F E F ● O D C B A E (1) ● O D C B A E F (3) (3) (4) ● ● ● ● 18 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积． 归纳总结 结论 19 （1）△ABO ≌ △CDO △AOD ≌ △COB △ ABD ≌ △CDB △ ABC ≌ △CDA （2）△ABO, △AOD, △DOC, △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一. 重要结论： A C D B O 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积. 8 10 B C D A ● O 解： ∴△ABC是直角三角形 又∵AC⊥BC ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD=8，CD=AB=10. 又∵OA=OC ∴ ∴ ∴S = BC×AC=8×6=48 ABCD 谁先会，谁展示. 知识点 平行四边形的面积 已知: □ ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，AC =16cm，BD =12cm，BC =10cm，则□ABCD 的周长是__________，□ABCD的面积是__________. 40cm 96cm2 16 12 10 10 6 8 10 10 B O D A C A C D B O ● 老大 老四 老三 老二 M 老人分地合理吗？ 故四人的土地面积相同，老人分地合理。 小明家有一块平行四边形的菜地，妈妈想在中间留一条小路，把它分成面积相等的两块，请你帮小明的妈妈想想办法，可以怎么分？ A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D ● ● 方案一 方案二 方案四 方案五 方案三 方案六 总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 在上述问题中，小明看到菜地中间有一水井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修小路，一样可以把菜地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？ 引申思考 B M C ● D A O 平行四边形的两条对角线把它分成的四个三角形（ ） A.都是等腰三角形 B.都是全等三角形 C.都是直角三角形 D.是面积相等的三角形 D A 基础巩固题 ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC长为（ ）。 A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm 1＜AD＜9 O D B A C ● 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 . 把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积． 解：（9+12）×2 =21×2 =42（cm2） 答：平行四边形的面积是42cm2． 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积. 解：设AB=x，则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得,5x=10(24-x)， 解得x=16． 则平行四边形ABCD的面积为5×16=80． 如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:BE=DF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC,OD=OB. ∵AF=CE,∴OE=OF. 在△BEO和△DFO中 ∴△BEO≌△DFO. ∴BE=DF. ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F. 求证:OE=OF ● O F A B C D E ● ● 巩固新知 1 3 4 2 1 3 平行四边形对角线的性质 平行四边形对角线互相平分 两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形。 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等。 课堂小结 谢 谢 再 见 34 月光（放松轻音乐纯音乐钢琴曲） 心灵解压屋 唯美/放松/减压/舒缓/哄睡轻音乐 101148.18 XXX - 酷我音乐 $$