解三角形中的边、角问题 导学案-2025届高三数学二轮专题复习

微专题　解三角形中的边、角问题 【高考·定位】 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算． 【知识储备】 1、正弦定理：_________________________________ 边化角变式：_________________________， 角化边变式：_______________________. 应用：①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、余弦定理：________________________________ 变式：_________________________ ________________________________ 变式：__________________________ ________________________________ 变式：__________________________ 3、三角形面积公式：______________________________________________________________ 4、内角和定理： ①sin(A+B)=____________ cos(A+B)=____________ tan(A+B)=____________ ②斜三角形中： ③； ④在中，内角成等差数列． 5、解三角形常用结论： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 【典例剖析】 例1 （2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 对点训练1： （2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 对点训练2：(2024·浙江嘉兴二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosA－3cos 2A＝3. (1)求cos A的值； (2)若△ABC为锐角三角形，2b＝3c，求sin C的值． 【课后练习】 1、（2023年北京高考数学真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2、（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3、（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)求； (3)求的值． 4、(2024·山东日照一模)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A＝0且a＝5，c＝4. (1)求角B及边b的大小； (2)求sin (2C＋B)的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题　解三角形中的边、角问题 【高考·定位】 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算． 【知识储备】 1、正弦定理：_________________________________ 边化角变式：_________________________， 角化边变式：_______________________. 应用：①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、余弦定理：________________________________ 变式：_________________________ ________________________________ 变式：__________________________ ________________________________ 变式：__________________________ 3、三角形面积公式：______________________________________________________________ 4、内角和定理： ①sin(A+B)=____________ cos(A+B)=____________ tan(A+B)=____________ ②斜三角形中： ③； ④在中，内角成等差数列． 5、解三角形常用结论： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 【典例剖析】 例1 （2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 对点训练1： （2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 对点训练2：(2024·浙江嘉兴二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosA－3cos 2A＝3. (1)求cos A的值； (2)若△ABC为锐角三角形，2b＝3c，求sin C的值． 解：(1)由题可得2cos A－3(2cos2A－1)＝3，即3cos2A－cosA＝0，解得cos A＝或cos A＝0. (2)法一：因为2b＝3c，由正弦定理得2sin B＝3sin C，即2sin (A＋C)＝3sin C，即2sin A cos C＋2sin C cos A＝3sin C，因为cos A＝，所以sin A＝；所以cos C＋sin C＝3sin C，又sin2C＋cos2C＝1，且△ABC为锐角三角形，解得sinC＝. 法二：由余弦定理得cos A＝，因为2b＝3c，所以，即c2＝所以c＝a，所以sin C＝sin A，又cos A＝，所以sin A＝，所以sin C＝sin A＝. 【课后练习】 1、（2023年北京高考数学真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 2、（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 3、（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)求； (3)求的值． 【解析】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 4、(2024·山东日照一模)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A＝0且a＝5，c＝4. (1)求角B及边b的大小； (2)求sin (2C＋B)的值． 解：(1)依题意，a－2b sin A＝0，由正弦定理得sin A－2sin B sin A＝0，由于锐角三角形中0<A<，sin A>0，所以－2sin B＝0，sin B＝，而B是锐角，所以B＝.由余弦定理得b＝ ＝. (2)由余弦定理得cos C＝，而C是锐角，所以sin C＝，所以sin(2C＋B)＝sin ＝(sin 2C＋cos 2C) ＝(2sin C cos C＋2cos2C－1) ＝sinC cos C＋cos2C－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$