4.2.1等差数列的概念 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列 的概念 一 【 问 题 导 思 】 观察下列数列的特点，用适当的数填空 (1)1,5,9,13, ( 17 ),21; (2)8,5,2, ( -1 ),-4; (3)-5,-9,-13,( -17 ),-21; (4)5.5,8,10.5, (13 ),15.5. 思考：以上四个数列有什么共同特点? 1 从第二项起每一项与前一项的差等于同一个常数 等差数列 【 新 课 导 学 】 等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 (1)1,5,9,13,17,21; (2)8,5,2,-1,-4; (3)-5,-9,-13,-17,-21; d=4 d=-3 d =-4 等差数列的公差，公差通常用d表示. (4)5.5,8,10.5,13,15.5.d=2.5 公差? 不是等差数列 (6)9,6,3,0,-3,…. (1)3,7,11,15,19,.. (3)0,2,0,2,0,2,.. (2)1,2,3,4,5,… 等差数列 (5)15,13,10,7,4,.. (4)3,3,3,3,3,. 【 新 课 导 学 】 等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差，公差通常用d表示. 思 考： 符号语言： an-an-1=d (n≥2) 或 an+1-an=d(n∈N*) 思 考： 你觉得等差数列由哪些基本量确定? a₂=a₁+d a₃=a₂+d=a₁+2d a₄=a₃+d=a₁+3d ● ● ● an =a₁ +(n - 1)d 如果等差数列{an} 的首项是a₁, 公差是d, 则通项公式为an=_ 【新课探究】 等差数列通项公式的推导 迭 代 法 (1)1,5,9,13,17,21; (2)8,5,2,-1,-4; (3)-5,-9,-13,-17,-21; (4)5.5,8,10.5,13,15.5. (1)an=4n-3 (2)an=-3n+11 (3)an=-4n-1 (4)an=2.5n+3 通项公式? 【记忆强化】 【新课讲授】 等差数列的通项公式剖析 角度一：方程思想 在等差数列通项公式an=a₁+(n-1)d 中有四个量a₁,d,n,an 知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一. ∵am=a₁+(m-1)d,∴an-am=(n-m)d 公式的拓展： an=am+(n-m)d 公式的变形： 【新知应用】 例1 (1)求等差数列8,5,2, … 的第20项 . 解：∵ a₁=8,d=5-8=-3,n =20, ∴a20=8+(20-1)×(-3)=-49 (2)-401是不是等差数列-5,-9,- 13, … 的项?如果是，是第几项? 解 ： 由a₁=-5,d=-13-(-9)=-4, 得这个数列的通项公式为 an=-5-4(n-1)=-4n-1. 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n, 使得 -401=-4n-1 成立. 解得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项. 解 ： (4)在等差数列{a} 中，已知 ,a₇=8, 求a₁ . (5)在等差数列{a} 中，已知d=3,a₅=10, 求a₁0 · 解：a₁0=a₅+5d=10+5×3=25 【 新 知 应 用 】 (3)在等差数列{a} 中，已知a₁=12,a₆=27, 求d. 【 新 知 应 用 】 (6)在等差数列{a} 中，已知a₅=10,a₁2=31, 求a₂0 · 解： ∴a₂0=a₁2+8d=31+8×3=55 (7)在等差数列{an} 中，已知a₂+a₅=17,a₄=10, 求a₁0 解：设等差数列{a} 的公差为d, ∴a₁0=a₁+9d=1+9×3=28 依题意，可得 【新课讲授】 等差数列的通项公式剖析 角度二：函数思想 由an=a₁+(n-1)d, 得an=dn+(a₁-d) 对于一个确定的等差数列， a₁ 和d 是常数， 则an 是关于n的一次函数或常数函数。 反之，若数列{a} 的通项公式为an=pn+q(p,q 不为常数), 那么这个数列一定是等差数列吗? 若数列{a} 的通项公式为an=pn+q(p,q 不为常数), 判断数列{an}是否是等差数列? 如果是，首项与公差分别是多少? 解：an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=p ∵p是常数，∴{an} 是等差数列 公差是p,首项是p+q 数列{am}是等差数列⇔an=pn+qp.q 为常数) 通项公式法是判断数列是等差数列的一种方法 定义法是判断与证明数列是等差数列的最常用的方法 例2.判断下列数列是否是等差数列? (1)an=4;(2)an=4n;(3)an=-4n+4;(4)an=4n² 定义法 判断方法 通项公式法 a,=pn+ q = 函数思想 基本量运算(知三求一) 方程(方程组)思想 题 型 判断或证明等差数列 【课堂小结】 等差数列 从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数 a,-an-1=d(n>1) 或an+1-a,=d an=a₁+(n-1)d an=am+(n-m)d 定义 通项公式 文字语言 符号语言 叠加法 迭代法 $$