精品解析：新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2024-2025学年高一下学期开学分班考试数学试卷

2025年2月高一分班考试数学试卷 考试时间：120分钟；共150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. = D. 2. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象为（ ） A B. C. D. 6. 碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 7. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法错误的是（　　） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为3 C. 和表示同一个函数 D. 是奇函数且最小正周期是π 10. 已知函数的图象经过，且相邻的两条对称轴之间的距离是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的对称轴为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数方程有四个不同的实数根，，，，满足则（ ） A. 时，符合题意 B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，＝______________ 13. 已知是幂函数，且在上单调递增，则________. 14. 已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知关于一元二次不等式的解集为或. （1）求实数、的值； （2）若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 17. 已知为锐角，为钝角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． （1）求，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称“局部奇函数”. （1）已知函数，判断否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年2月高一分班考试数学试卷 考试时间：120分钟；共150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. = D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接求两集合的交集、并集，即可得解. 【详解】根据题意，=，. 故选：C. 2. 已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，即可得到结果. 【详解】根据题意，由三角函数的定义可得， 则. 故选：D 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知在内单调递增，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为， 因为函数与函数在内单调递增，可知在内单调递增， 且， 所以函数仅在中存在一个零点. 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式判断出函数奇偶性可得结论. 详解】易知，即或； 即函数定义域为，显然定义域关于原点对称；可排除B，C； 且满足，即为偶函数，图像关于轴对称，排除D； 故选：A 6. 碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为年，即生物死亡年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知代入数据，根据指数与对数的运算式化简运算. 【详解】由题意知，所以， 所以， 所以可推断该生物死亡的时间约为公元前年, 故选：A． 7. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数在上单调递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】由题意，对任意实数，都有成立， 所以函数在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，即可得解出即可. 【详解】因为，因为在区间上恰有2个零点， 所以，所以的取值范围为， 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法错误的是（　　） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为3 C. 和表示同一个函数 D. 是奇函数且最小正周期是π 【答案】CD 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域计算判定A，换元应用基本 不等式 判断B，根据函数定义域判定同一函数判断C，应用诱导公式计算化简得出奇函数及周期判断D. 【详解】A、由的定义域为，得，则的定义域为，故A正确； B、因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为3，故B正确； C、的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，故C错误； D、是奇函数，根据公式求得其最小正周期，D错误. 故选：CD 10. 已知函数的图象经过，且相邻的两条对称轴之间的距离是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 对称轴为 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据条件依次确定的值，推得，再根据正弦函数的图象和性质，根据选项内容判断即可. 【详解】对于A，由题可知，故因，则， 由得，则， 因，则得，故，故A错误； 对于B，令，解得，故B正确； 对于C，令解得的对称轴为，故C错误； 对于D，由得图象可得，当且仅当时，， 故由可得：， 解得，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数方程有四个不同的实数根，，，，满足则（ ） A. 时，符合题意 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】数形结合求出的范围，可判断A为真；根据韦达定理可判断B为真；根据函数的解析式及对数的运算可判断C为真；举反例可说明D错误. 【详解】画出函数图象如下： 对A：方程有四个不同的实数根，则函数与有四个不同的交点， 由图可知，，所以时，符合题意，正确； 对B：由题意为方程的两个负根， 所以，，正确； 对C：因为，所以，正确； 对D：由图象可知，， 由， 又，，所以， 当时，，此时，错误. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，＝______________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正切公式展开，求得，再把所求式转化为齐次式，分子分母同除以后，代入计算得答案. 【详解】, 因此，. 13. 已知是幂函数，且在上单调递增，则________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：27. 14. 已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的单调性和对称性，解出不等式即可 【详解】因为，定义域为关于原点对称，， 所以偶函数，当时，为减函数，为减函数， 所以为减函数，所以在上单调递减， 在上单调递增； 则有不等式等价为, 即有 解得， 故答案为： 四、解答题 15. 已知关于的一元二次不等式的解集为或. （1）求实数、的值； （2）若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，且关于的方程的两根为、，结合韦达定理可得出、的值； （2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，根据题意可得出关于的不等式，即可解出的取值范围. 【小问1详解】 因为关于的一元二次不等式的解集为或，则， 所以关于方程的两根为、， 由韦达定理可得，可得，由，可得， 综上所述：，. 【小问2详解】 因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即取得最小值， 因为恒成立，所以恒成立，即，解得. 所以，的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）最小正周期为π，单增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，再用整体思想进行求解单调区间即可； （2）利用好平移变换和伸缩变换，再利用整个思想求值域即可. 【小问1详解】 的最小正周期为π； 令，则， 的单增区间为. 【小问2详解】 的图象向左平移个单位长度得到 的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小到原来得到图象， 得到的图象，， 当则， 当即时，单调递增 当即时，单调递减， 又， 在的值域为. 17. 已知为锐角，为钝角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦二倍角公式以及齐次式的方法即可求解； （2）先由，可求得，再由两角差的正切公式，即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦二倍角公式，得， 又，所以； 【小问2详解】 因为为锐角，且，可得， 由，可得， 所以， 所以. 18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有． （1）求，； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值； （2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数； （3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数满足对一切实数、都有成立， 令可得，可得， 令可得. 【小问2详解】 函数在上单调递减，证明如下： 设，则，又， 所以，可得， 所以当时，， 任取、且，则，， 则 ，即， 因此，函数在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知，函数在上为单调递减函数， 令，可得，所以， 因为， 令， 由 得，即，解得， 可得， 因为，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递减，则， 对于不等式，即显然成立， 对于不等式，即，解得， 因此，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，判断是否为“局部奇函数”； （2）若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【答案】（1）不是局部奇函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出即可判断是否为“局部奇函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得， 所以不是“局部奇函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即， 故； 【小问3详解】 由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为. 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$