第24章隐圆问题填空练习题【困难20题】2024-2025学年 人教版 数学九年级上册

2024-2025学年人教版初中数学九年级上册第24章隐圆问题填空练习题【困难20题】【解析版】 1．如图，在边长为4的正方形中，点E、点F分别在边、上，分别从A、C同时出发以相同的速度向终点D、B移动，连接，O是中点，过点D作于点G，连接，则线段长的最小值是_______． 2．如图，正方形边长为4，动点E、F分别从D、A两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点G，则线段的最小值是______． 3．如图，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结．则的最小值为_____． 4．如图，在，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是__________． 5．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，连接，线段长的最小值为______． 6．如图，正方形的边长为2，点E为正方形内部一点，连接，且，点F是边上一点，连接，则长度的最小值为___________． 7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且，点F是AB边上一动点，连接FD，FE，则的长度最小值为______． 8．在矩形 中，，点E在边上，，点P为矩形内一点且，点M为边上一点，连接，则的最小值为 _____． 9．如图，在等边△ABC中，，点D在△ABC内部或其边上，AD＝2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE． （1）CE的最小值为______； （2）当ED的延长线经过点B时，∠DEC＝______°． 10．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是___，点到线段的最短距离是___． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 12．如图，在中，，，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是____________． 13．如图，已知以为直径的，为弧中点，为弧上任意一点，交于，连．若，则的最小值为______． 14．如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为______． 15．如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为___． 16．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC=BC=6，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为___________. 17．如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________． 18．如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______． 19．如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是________． 20．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且，，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持，则线段PN的最小值为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．或 【分析】先根据确定G点运动轨迹，再根据正方形的性质求出，根据勾股定理求出，最后求最小值即可． 【详解】连接、， ∵， ∴， ∴G在以为直径的半圆上，作出半圆， 取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．或 【分析】证明得到，推出，故点P在以为直径的圆上运动，取中点H，连接，交（直径为）于点G，则此时最小，据此求解即可． 【详解】∵动点E，F分别从D，A两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， 取中点H，连接，交圆H（直径为）于点G，则此时最小， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，正确得到点G在以为直径的圆上运动是解题的关键． 3． 【分析】根据得是不会随着点的运动改变的，所以点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，因此当O、G、C在同一条直线上时，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，取得中点O，连接， 根据题意，G点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，所和的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，取最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够发现题目中动点的轨迹是圆，利用求点到圆上一点距离最小的方法求线段的最小值． 4． 【分析】首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：取的中点，以点为圆心，为直径作， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， 连接与交于点，此时最小， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆位置关系，圆周角定理，最短问题等知识．解题的关键是确定点位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离． 5． 【分析】利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，从而得出点P的路径是一段以为直径的弧，连接的中点和C的连线交弧于点P，此时的长度最小，然后根据勾股定理求得，即可求得的长． 【详解】解：四边形 是正方形， ， 在和中， ∴（） ∴， ∵+， ∴， ∴， 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 取的中点Q，连接，此时的长度最小， 则， 在中，根据勾股定理得，， 所以，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 6． 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点E在以为直径的半圆上运动，设点O为的中点，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对称点为M，连接，交于点F，交半圆于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上运动， 如图，设点O为的中点，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对称点为M，连接，交于点F，交半圆于E，则线段的长即为的长度最小值，， ∵，， ∴， ∴长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决问题，多数情况要作点关于直线的对称点． 7． 【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P，连接PO交AB于F交圆O于E，则线段EP的长即为FD+FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABE+ ∠CBE= 90°， ∵∠ABE=∠BCE， ∴∠BCE+∠CBE= 90°， ∴∠ BEC= 90°， ∴点E在以BC为直径的半圆上移动， 如图，设BC的中点为O，正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P， 连接PO交AB于F，交半圆O于E，线段EP的长即为FD+ FE的长度最小值，OE=4， ∵∠G=90°，PG=BG=AB=4， ∴ OG= 6， ∴ОP=， ∴EP=， ∴FD+ FE的长度最小值为， 故答案为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 8． 【分析】可得出点P在以为直径的圆O上运动，作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，则的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴点P在以为直径的圆O上运动， 作点D关于的对称点G，连接交 于点P，交于M，的最小值是的长, ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, ∴P， ∴的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最小值，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质等等，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 9．     2﹣2；     60° 【分析】（1）先判断点E在以A为圆心，2为半径的圆上，利用三角形三边的关系得到CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），从而得到CE的最小值； （2）当ED的延长线经过点B时，如图，先证明△ABD≌△ACE得到∠ADB＝∠AEC，再证明∠AEC＝120°，从而得到∠DEC＝60°． 【详解】解：（1）∵△ADE为边长为2的等边三角形， ∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上， ∴CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号）， ∴CE的最小值为 AC﹣2＝2﹣2； 故答案为：2﹣2． （2）当ED的延长线经过点B时，如图， ∵△ADE为等边三角形， ∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，AD＝AE， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， 而∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°， ∴∠AEC＝120°， ∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°． 即∠DEC＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定和性质、圆的基本性质． 10．          2 【分析】如图：连接，作于，由可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，再由勾股定理可得，然后根据的最小值；然后证明四边形是矩形可得，进而求得点到线段的最短距离． 【详解】解：连接，作于， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 在中，由勾股定理得，， 的最小值为， ， 四边形是矩形， ， 点到线段的最短距离是2． 故答案为：，2． 【点睛】本题主要考查了辅助圆问题、矩形的性质、勾股定理等知识点，正确画出辅助圆是解答本题的关键． 11．或 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 12． 【分析】以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点，此时，BD的长度最小，即的周长最小，过点E作于点M，通过含30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】 在中，，，， ， 由勾股定理得， 如图，以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点， 此时，BD的长度最小， 将沿对折得到，点E是的中点， ， 的周长， 此时，的周长最小， 过点E作于点M， ， 由勾股定理得， ， 由勾股定理得， ， 的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形周长的最小值问题，涉及含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．或 【分析】如图所示，连接，，以为斜边作等腰直角三角形，则，得出点在以点为圆心，A长为半径的上运动，因为两点之间线段最短，即为最短，连接，因为，所以，由勾股定理有，． 【详解】解：如图所示，连接，，以为斜边作等腰直角三角形，则， ∵为直径的，为弧中点， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的上运动， 连接交为点，此时为最短， ， ， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的综合问题，求动点最值时，首先找到动点轨迹，再结合两点之间线段最短找出最小值是解题的关键． 14．或 【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小, 当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，然后求得最大值与最小值的差即可求解． 【详解】解：，，， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点， ，， 点在以为圆心，为半径的圆上， 如图，当点，点，点共线，且时，长度最小， ， ， 最小值为． 当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大， 则最大值为 长度的最大值与最小值的差为 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、圆的基本认识，确定点的轨迹是本题的关键． 15． 【分析】首先作出点D关于的对称点，当点E与点D重合，点F与点C重合时，最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：，，最后由勾股定理即可求得的长，从而可求得的最小值． 【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知：， ∴， 过点P作垂直，垂足为G， 由题意得， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故可知P的轨迹为以为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时， 此时，最短． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P的位置是解题的关键． 16．或 【分析】以为直径作圆, 点在圆上，当点三点共线时，AH最小，根据勾股定理计算出，最后通过作差，即可求出AH最小值． 【详解】 解：如图以为直径作圆， ∵CH⊥BD，, ∴点在圆上, ，, 当点三点共线时，AH最小为, 故答案为： 【点睛】本题考查求线段最小值、圆的直径所对圆周角是直角、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关键． 17．或 【分析】连接AC，以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，再求得BE＝AE＝2，CE＝AE＝1，则MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案． 【详解】解：连接AC，以BE为直径作， ∵BG⊥EG， ∴∠BGE＝90°， ∴点G在上， 连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，如图， ∵AD＝BC， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD， ∴AE＝BE， ∵AB为的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴AC＝AB＝×2＝，在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，∠ACE＝90°，AC＝ ∴BE＝AE＝2，CE＝AE＝1， ∵MG＝MB＝ME＝BE＝1， ∴CM＝CE＋ME＝2， ∴AM＝， ∴AG＝AM－MG＝， 即AG的最小值为， 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键． 18．或 【分析】作的外接圆，得到点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于，分析得到当M与重合时，AM取得最小值．分别过点O作于点H，过点O作于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解． 【详解】∵， ∴， 如图，作的外接圆，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于， 当M与重合时，AM取得最小值． 过点O作于点H， ∵ ∴， ∴，， 过点O作于点G， ∴，，AG=6-2=4， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M的轨迹． 19． 【分析】先证明△ECM≌△DCO（SAS），得到EM＝OD＝4，点E在以点M为圆心，半径为4的圆上，当A、E、M三点共线时，AE取最小值AM－EM，过点M作MN⊥AO交AO的延长线于点N，证明四边形COMN是正方形，得到MN＝OC＝ON＝2，用勾股定理求出AM，得到答案． 【详解】解：过点C作MC⊥OB，且使得CM＝OC，连接EM，OD，则∠OCM＝90°， ∵点C是OB中点， ∴OC＝BC＝OB＝2， ∴CM＝OC＝2， ∵CD绕点C逆时针旋转90°得到CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴∠OCM＝∠DCE， ∴∠OCM＋∠OCE＝∠DCE＋∠OCE， ∴∠ECM＝∠DCO， 在△ECM和△DCO中， ， ∴△ECM≌△DCO（SAS）， ∴EM＝OD＝4， ∴点E在以点M为圆心，半径为4的圆上， ∴当A、E、M三点共线时，AE取最小值， 作M作MN⊥AO交AO的延长线于点N， ∴∠MNO＝∠MCO＝∠CON＝90°， ∴四边形COMN是矩形， ∵CM＝OC， ∴四边形COMN是正方形， ∴MN＝OC＝ON＝2， ∴AN＝AO＋ON＝6， ∴AM＝， ∴AE的最小值为AM－EM＝， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆的基本性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，构造辅助圆是解决此题的关键． 20． 【分析】先证C、E、P、F四点共圆，取EF的中点为O，以EF为直径作⊙O，连接OP，ON，根据三角形三边关系可知：PN≥ON-OP，因为OG为定值，根据垂线段最短，得出当O、P、N三点共线，且ON⊥AD时，ON最小，则PN最小，根据垂径定理和勾股定理求出OH长，最后根据线段间的和差关系求P’N’长，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵∠PEB＝∠PFC，∠PEC+∠PEB=180°， ∴∠PEC+∠PFC＝180°， ∵四边形为正方形， ∴ ∵△EFC和△EPF为直角三角形， 取EF的中点为O， ∴OP=OE=OF， ∴C、E、P、F四点共圆， ∵PN≥ON-OP， ∵OP为定值， ∴当且QN最小，且O、P、N三点共线时，PN最小， 过O作OH⊥BC于H，延长HO交⊙O于P’，交AD于N’， ∴， ∵∠ECF=90°， ∴ ， ∴， ∵∠OHE=90°， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识点，解题的关键是根据题意作出辅助圆，利用垂线段最短找出GQ最小值时GQ的位置． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版初中数学九年级上册第24章隐圆问题填空练习题【困难20题】【原卷版】 1．如图，在边长为4的正方形中，点E、点F分别在边、上，分别从A、C同时出发以相同的速度向终点D、B移动，连接，O是中点，过点D作于点G，连接，则线段长的最小值是_______． 2．如图，正方形边长为4，动点E、F分别从D、A两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点G，则线段的最小值是______． 3．如图，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结．则的最小值为_____． 4．如图，在，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是__________． 5．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，连接，线段长的最小值为______． 6．如图，正方形的边长为2，点E为正方形内部一点，连接，且，点F是边上一点，连接，则长度的最小值为___________． 7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且，点F是AB边上一动点，连接FD，FE，则的长度最小值为______． 8．在矩形 中，，点E在边上，，点P为矩形内一点且，点M为边上一点，连接，则的最小值为 _____． 9．如图，在等边△ABC中，，点D在△ABC内部或其边上，AD＝2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE． （1）CE的最小值为______； （2）当ED的延长线经过点B时，∠DEC＝______°． 10．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是___，点到线段的最短距离是___． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 12．如图，在中，，，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是____________． 13．如图，已知以为直径的，为弧中点，为弧上任意一点，交于，连．若，则的最小值为______． 14．如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为______． 15．如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为___． 16．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC=BC=6，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为___________. 17．如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________． 18．如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______． 19．如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是________． 20．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且，，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持，则线段PN的最小值为________． 第1页，共2页 第1页，共2页 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