精品解析：四川省内江市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

绝密★启用前 内江一中高2026届高二下学期3月月考试题 数 学 1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上． 3、考试结束后，监考人将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案． 1. 若可导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为可导函数满足， 所以. 故选：D 2. 写出数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式. 【详解】数列， 则其分母为，分子为，则其通项公式为. 故选：B 3. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项化简计算即得解. 【详解】解：由题得. 故选：B 4. 若数列满足，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系求数列的前几项，归纳数列满足关系，由此确定结论. 【详解】因为，， 所以， ， ， ，…， 可得， 则． 故选：A. 5. 若数列的通项公式是，则等于（ ） A. B. 30 C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，结合并项求和，即可求解. 【详解】由题意，数列的通项公式是， 则， 所以． 故选：B. 6. 两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由两个等差数列，的前项和分别为，且， 根据等差数列的求和公式，可得. 故选：C. 7. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（ ） A. 4052 B. 2047 C. 2048 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】由没有去掉“1”之前，第行的和为，可求得前n行所有数的和，再得到前n行的数的所有个数，再由时，去掉“1”后为45个数求解. 【详解】解：因为没有去掉“1”之前，第行的和为， 所以每一行的数的和构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 所以前n行所有数的和为， 又因为每一行的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 所以前n行的数的所有个数为：， 当时， ，所以去掉“1”后的所有数的个数为 ， 所以数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……的前45项和为： ， 故选：D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B. 在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】AC 【解析】 【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可. 【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误； 对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误. 故选：AC 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误； ，故B错误； 当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB，直接求出对应项及求和； 对CD，由得，∴即可化简； 即可化简. 【详解】对A，，A对； 对B，，，B对； 对C，由得，∴，C错； 对D，，D对. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的斜率等于切点横坐标的导数计算即可. 【详解】, , , 切线方程为， 即， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题. 13. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】∵，由，解得， ∴有， 是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，∴. 故答案为：. 14. 已知递增数列共有项，前三项成等差数列，后七项成等比数列，且，，，则_________；数列所有项的和为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求，进而求出，再求出公比，求出等比数列中的所有项，即可利用等差数列求出，最后利用等比数列求和公式求和. 【详解】数列为递增数列，且，则恒成立， 由题意可知，成等差数列，成等比数列， 则， ，， 故等比数列的公比为，可得，， ， 则数列所有项的和为 故答案为：； 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各函数的导数： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数，导数的四则运算以及复合函数求导法则求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以 【小问3详解】 因为，所以 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的前项和公式计算即可. 【小问1详解】 设公差为， 由，， 得，解得， 所以； 【小问2详解】 . 17. 已知数列满足，， （1）设，证明：是等差数列； （2）设数列的前项和为，求，并判断是否为中的项，若是，是第几项？若不是，说明理由． 【答案】（1）证明：由题意，，则， 又，则， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. （2），是中的项，是第119项.理由如下： 由（1）知：，即，则， 故， 所以， 令，解得，所以是中的项，是第119项. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干的递推公式即可证明； （2）根据等差数列的通项公式求得，再利用裂项相消法求，进而判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， （1）求，，，及的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，，. （2）①，；②不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【小问1详解】 因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为， 则，，，，. 【小问2详解】 ①由，得. 当时，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 当时，，， 由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以． 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即．化简得． 又因为，所以， 得，所以， 又因为，所以， 即，所以，即，这与题设矛盾． 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列． 19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）若选①，利用与的关系即可求解；若选②，利用累加法结合等比数列前项和公式即可求解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）对于不等式（），分离常数后构造新数列，先判断数列的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【小问1详解】 若选①，因为， 当时，，两式相减得， 当时，，即， 又，所以，故，满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； 若选②，因为， 所以 ，又，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则① ② 两式相减得： ， 所以. 【小问3详解】 由，得，， 化简得，. 设，，则，， 因为，所以，又，所以，. 故， 因为，所以，则，， 则，所以数列为递增数列. 又因为， ， 因此，使得不等式（）成立的最小整数为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 内江一中高2026届高二下学期3月月考试题 数 学 1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上． 3、考试结束后，监考人将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案． 1. 若可导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 写出数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 若数列满足，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若数列的通项公式是，则等于（ ） A. B. 30 C. D. 20 6. 两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（ ） A. 4052 B. 2047 C. 2048 D. 2026 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B. 在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为________. 13. 已知数列满足，则__________. 14. 已知递增数列共有项，前三项成等差数列，后七项成等比数列，且，，，则_________；数列所有项的和为_________． 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各函数的导数： （1）； （2）； （3）． 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为. 17. 已知数列满足，， （1）设，证明：是等差数列； （2）设数列的前项和为，求，并判断是否为中的项，若是，是第几项？若不是，说明理由． 18. 已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， （1）求，，，及的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $