第4章 平行四边形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第4章 平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、多边形的概念与分类 【解惑】下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的概念，线段的有关概念，定量数据与定性数据的区别等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据两点之间的距离，线段的性质，正多边形的概念以及定量数据与定性数据的概念分析即可． 【详解】解：A、两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故错误，不合题意； B、学生上学采用的交通方式是定性数据，故错误，不符合题意； C、两点之间线段最短，正确，符合题意； D、各边都相等，各角也相等的图形叫正多边形，故错误，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 3．将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，全等三角的判定以及性质，根据正六边形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图1正六边形形中，O为正三角的中心， ∴， ∵为正三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴图 1中，实线画出的6个三角形的面积都相等，为正六变形的， 在下图2中，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 类型二、中心对称图形 【解惑】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【融会贯通】 1．抚顺剪纸文化以满族剪纸为主，承载着深厚的历史底蕴和民族特色，其发展脉络可追溯至200多年前．以下图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形、中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．正八边形 （填是或不是）中心对称图形． 【答案】是 【分析】本题考查中心对称图形的识别（把一个图形绕一个定点旋转180度后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）．根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵将正八边形绕着中心旋转180度后，能与初始图形重合， ∴正八边形是中心对称图形． 故答案为：是． 3．蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【答案】中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． 类型三、关于原点对称的坐标 【解惑】点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：A． 【融会贯通】 1．若点与点关于原点对称，则点的纵坐标为（   ） A．4 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征， 根据两个点关于原点对称，这两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是， 所以点B的纵坐标是． 故选：D． 2．已知和关于原点对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 3．在平面直角坐标系中，点A与点关于原点对称，且点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是可以直接写出答案． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称的点的坐标变化规律． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 类型四、添加一个条件证平行四边形 【解惑】如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，A符合题意；添加条件后，证明，根据，进而可得结论，B不符合题意；添加条件，根据，从而证明结论，C不符合题意；添加条件，可证，根据根据进而证明结论，D不符合题意． 【详解】解：A、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A．如， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴A选项不符合题意， B．如添加，无法证明四边形是平行四边形， ∴B选项不符合题意， C.如， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴C选项不符合题意， D．如， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴D选项不符合题意， 故选：B． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 3．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 类型五、反证法中的假设类型覆盖 【解惑】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于 【答案】C 【分析】本题考查了反证法的运用，找出题设，结论，结合反证法的方法进行假设是关键． 反证法，首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，根据反证法的定义进行变形即可求解． 【详解】解：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于， 题设是：三角形，结论是：至少有一个内角小于或等于， ∴与“至少有一个”意义相反的是“每个都”， ∴反证法的第一步是先假设：三角形中每个内角都大于， 故选：C ． 【融会贯通】 1．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（    ） A．一个三角形中有两个内角为钝角 B．一个三角形中三个内角都是钝角 C．一个三角形中至少有一个内角为钝角 D．一个三角形中至少有两个内角为钝角 【答案】D 【分析】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可． 【详解】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设， ∴证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角． 故选：D． 2．用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法得到第一步假设即可得到答案． 【详解】解：“如果，那么”的第一步应假设， 故答案为：． 3．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ． 【答案】三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质． 使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立． 【详解】使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”． 故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角. 类型六、多边形的内角和与外角和问题 【解惑】若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了边形的内角和与外角和定理，先求出边形的内角和，外角和是，再根据边形的内角和与它的外角和相等得，由此解出即可．解决问题的关键是熟练掌握边形的内角和，外角和是． 【详解】解：边形的内角和，外角和是， ， 解得： 故选：B． 【融会贯通】 1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（   ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和公式得应用，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和和内角和公式，应用方程的思想求解即可； 【详解】设这个多边形的边数为，依题意： ， 解得：， 故选：B 2．小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，多加的一个外角即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个外角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个外角是的余数， 即为 故答案为：． 3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”的度数是______，这个多边形的外角和为______． (2)这个多边形是几边形？ 【答案】(1)， (2)十二边形 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的计算， （1）设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则列得，根据n是正整数，，得到； （2）利用减去每个外角的度数，求出每一个内角的度数． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则 ， ∵n是正整数，， ∴， 则这个多边形的外角和为， 故答案为，； （2）解：由（1）得出， ∴这个多边形是十二边形． 类型七、正多边形的内、外角 【解惑】如图，将正五边形沿 折叠，若，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和以及折叠的性质，根据多边形内角和可得，根据折叠的性质得出，进而根据四边形内角和为，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴ 由折叠的性质得， ∵， ∴ 在四边形中， 故选：D． 【融会贯通】 1．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角内容，根据正多边形的每个外角都相等进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意正八边形外角和为， ∴每一个外角为． 故选：B． 2．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为 ． 【答案】/114度 【分析】本题考查了正多边形的内角计算，角的平分线的计算，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键； 先计算正多边形的内角，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】∵正五边形的内角为，正六边形的内角为， 、分别平分正八边形与正六边形的内角， ∴， 故答案为：． 3．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了64米 (2) 【分析】本题主要考查正多边形的内角和及外角，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键； （1）根据题意可知这个正多边形的外角为，然后可得该正多边形的边数为，进而问题可求解； （2）由（1）结合多边形的内角和公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这个正多边形的外角为， ∴该正多边形的边数为， ∴； 答：小明一共走了64米． （2）解：由（1）可知： 这个正多边形的内角和为． 类型八、平行四边形的判定 【解惑】如图，在四边形中，，连接，过的中点O做线段交于点E，交于点F，且． 求证： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的判定与性质定理成为解题的关键． （1）由中点的定义可得，结合运用对角线相互平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形可得，再结合即可证明结论； （2）由四边形是平行四边形可得，再根据四边形是平行四边形可得，进而得到，最后根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴． 【融会贯通】 1．如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．由四边形是平行四边形，可得，，又由平分，平分，可证得，即可证得，则可判定四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴， 在中， ∴ 3．如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．先用证明得，．再根据得出，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】证明：，， ． 在与中，， ． ，． 又， ． ． 又， 四边形是平行四边形． 类型九、平面直角坐标系网格作图 【解惑】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查作——旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键； （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心； 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为； 故答案为：；． 【融会贯通】 1．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键. （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形； 根据图可知，，，． （2）解：如图，为所求作的三角形； （3）解：连接、，则、的交点即为对称中心， ∵，， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为． 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点， (1)画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． (2)画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 (3)若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，平移作图， （1），将三个顶点绕点O顺时针旋转得到点，再依次连接得到三角形，然后得出坐标即可； （2），按照要求平移，作出图形即可； （3），连接三对对应点，对应点连线的交点即为答案． 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示，点D为对称中心，其坐标为． 故答案为：． 3．如图，在中，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)与关于点对称，则点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键． （1）首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点、、，顺次连接即可； （2）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （3）将A、B、C绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （4）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示； （4）解：连接，和， 由图可得，，，，，，， ∵的中点为，的中点为，的中点为， ∴与呈中心对称， ∴对称中心为． 故答案为：． 类型十、补全图形成中心对称图形 【解惑】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查格点作图，中心对称图形的定义． （1）利用格点的性质结合平行四边形是中心对称图形，分别选出能构成平行四边形的4个标注点连线即可； （2）根据图形利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作，使E在格点上，且与成轴对称； (2)在图②中，作，使E、F均在格点上，且与成中心对称； (3)在图③中，作，使E、F均在格点上，且是绕着点B顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称，中心对称，解决本题的关键是掌握旋转变换，轴对称，中心对称的性质． （1）根据轴对称图形的特点作出图形即可； （2）根据中心对称图形的特点作出图形即可； （3）根据旋转对称图形的特点作出图形即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所作： （2）解：如图②，即为所作： （3）解：如图③，即为所作： 2．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹。 (1)在图1中，点在格点上，以、为邻边作出； (2)在图2中，点在网格线上，以、为邻边作出； (3)在图3中，点在网格线上，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质即可解决问题； （2）分别画出点A和点B关于点O的对称点即可解决问题； （3）先画出关于点O的对称线段，再延长与之相交即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求作的线段． 3．如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是图案设计问题，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即可，这样就可以发挥学生丰富的想象力，提高学习兴趣．轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．再展开丰富的想象力画图即可． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （3）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； 【详解】（1）解：如图，所画图形如下： （2）解：如图，所画图形如下： （3）解：如图，所画图形如下： 【一览众山小】 1．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．小宇看到一个多边形中，从某一顶点出发的对角线共有3条，那么这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，正确求出多边形的边数是解题的关键．根据题意，先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：从某一顶点出发的对角线共有3条， 这个多边形是一个六边形， 这个多边形的内角和是． 故选：A． 3．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 4．在四边形中，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的内角和，根据即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 故答案为： 5．如图，直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则点的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了中心对称及中心对称图形，连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则、的交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点， 观察图形知，， 故答案为：． 6．某学校举办“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请同学们设计航天纪念章．小官设计了如图所示的正八边形纪念章，则此纪念章一个内角的大小为 度． 【答案】135 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角公式是解题的关键：正多边形的内角和，正多边形每个内角的度数或． 根据正多边形的内角公式即可直接得出答案． 【详解】解：正八边形每个内角的度数为： ， 此纪念章一个内角的大小为度， 故答案为：． 7．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据得到，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 8．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论． 【详解】证明∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． (1)边的长为______； (2)若以点A，B，C及点D为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合条件的平行四边形，并直接写出点D的坐标． 【答案】(1)5 (2)图形见解析；或或 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据平行四边形的定义画出图形，可得结论． 【详解】（1）解：∵点A坐标为，点B坐标为， ∴； （2）解：图形如图所示：点D的坐标为：或或． 10．如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，结合角平分线得出，，得，，则可得出，即可证明； （2）利用，得出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、多边形的概念与分类 【解惑】下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 【融会贯通】 1．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 3．将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 类型二、中心对称图形 【解惑】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．抚顺剪纸文化以满族剪纸为主，承载着深厚的历史底蕴和民族特色，其发展脉络可追溯至200多年前．以下图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．正八边形 （填是或不是）中心对称图形． 3．蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 类型三、关于原点对称的坐标 【解惑】点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若点与点关于原点对称，则点的纵坐标为（   ） A．4 B．4 C．3 D． 2．已知和关于原点对称，则 ． 3．在平面直角坐标系中，点A与点关于原点对称，且点A的坐标为，则点的坐标为 ． 类型四、添加一个条件证平行四边形 【解惑】如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 3．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 类型五、反证法中的假设类型覆盖 【解惑】牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于 【融会贯通】 1．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（    ） A．一个三角形中有两个内角为钝角 B．一个三角形中三个内角都是钝角 C．一个三角形中至少有一个内角为钝角 D．一个三角形中至少有两个内角为钝角 2．用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 3．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ． 类型六、多边形的内角和与外角和问题 【解惑】若n边形的内角和与它的外角和相等，则n的值是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（   ） A．5 B．6 C．10 D．12 2．小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为 ． 3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”的度数是______，这个多边形的外角和为______． (2)这个多边形是几边形？ 类型七、正多边形的内、外角 【解惑】如图，将正五边形沿 折叠，若，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为 ． 3．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 类型八、平行四边形的判定 【解惑】如图，在四边形中，，连接，过的中点O做线段交于点E，交于点F，且． 求证： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与全等． 【融会贯通】 1．如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形． 2．如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 3．如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 类型九、平面直角坐标系网格作图 【解惑】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 【融会贯通】 1．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； (1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出． (3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点， (1)画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． (2)画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 (3)若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 3．如图，在中，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)与关于点对称，则点的坐标为_____． 类型十、补全图形成中心对称图形 【解惑】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作，使E在格点上，且与成轴对称； (2)在图②中，作，使E、F均在格点上，且与成中心对称； (3)在图③中，作，使E、F均在格点上，且是绕着点B顺时针方向旋转后的图形． 2．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹。 (1)在图1中，点在格点上，以、为邻边作出； (2)在图2中，点在网格线上，以、为邻边作出； (3)在图3中，点在网格线上，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 3．如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 【一览众山小】 1．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．小宇看到一个多边形中，从某一顶点出发的对角线共有3条，那么这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．在四边形中，，则的大小为 ． 5．如图，直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则点的坐标是 6．某学校举办“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请同学们设计航天纪念章．小官设计了如图所示的正八边形纪念章，则此纪念章一个内角的大小为 度． 7．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？ 8．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． (1)边的长为______； (2)若以点A，B，C及点D为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合条件的平行四边形，并直接写出点D的坐标． 10．如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$