4.3—4.4中心对称 平行四边形的判定定理-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

4.3—4.4中心对称 平行四边形的判定定理 一、中心对称 1 定义：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心。对称中心平分连结两个对称点的线段。 2 性质：中心对称是针对两个图形而言的，是指两个图形的位置关系。对应点在两个图形上，对称中心在两个图形的外部、内部或图形上。若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形。 3 平行四边形与中心对称：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 二、平行四边形的判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（需证明） 巩固课内例1:成中心对称 1．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 2．若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 3．如图，在平面直角坐标系中，，，将向右平移4个单位长度，得到．    (1)画出关于轴对称的． (2)将绕原点旋转，画出旋转后的． (3)在中，（    ）与（    ）成中心对称，对称中心的坐标是（    ） 巩固课内例2:直角坐标系中的点关于原点对称 1．已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ． 3．在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 巩固课内例3:平行四边形的判定———组对边平行且相等 1．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形 B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是 ． 3．如图，在中，点E，F分别在和上，．求证：四边形是平行四边形． 巩固课内例4:平行四边形的判定———两组对边分别相等 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是 ．    3．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 巩固课内例5:平行四边形的判定———对角线互相平分 1．如图，小明以的两边和为邻边，用尺规作一个平行四边形．小明的做法是：先用尺规作的垂直平分线，垂足为；过点，作射线，在射线上截取．连接，．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等 2．在如图1所示的上按图2和图3所示的尺规作图痕迹作图，不借助三角形全等就能直接推出四边形是平行四边形的依据是 ． 3．如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 巩固课内例6:平行四边形的母子型证明 1．如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，．       A．甲，乙，丙都是 B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙是 D．只有乙，丙是 2．如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 3．问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组提出了以下问题：如图，的对角线与相交于点，点分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 请你选择其中一个问题完成，并说明理由． 类型一、中心对称图形 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 个 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 类型二、中心对称的性质求长度 1．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距 ． 3．如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 类型三、中心对称的性质求角度 1．如图,△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转 (      ) A．30° B．90° C．180° D．360° 2．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是 3．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 类型四、添加条件证平行四边形 1．在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是 ． 3．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 类型一、中心对称的性质求面积 1．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    3．探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 类型二、平行四边形的性质与判定求长度 1．如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．4 2．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 3．如图，以的边为边向外作等腰和，其中分别为的中点，连接．已知． (1)求的面积； (2)求的长． 类型三、平行四边形的性质与判定角度 1．如图，在中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O，交于点G；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，则度数为 ． 3．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 类型四、补全图形为中心对称图形 1．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 2．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 3．图①、图②均为的正方形网格，点在格点（小正方形的顶点）上． (1)在图①中确定一个格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形； (2)在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形但不是中心对称图形． 类型一、平行四边形的性质与判定求周长 1．如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 2．如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 3．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 类型二、平行四边形的性质与判定求面积 1．如图，点D是的边的延长线上一点，点F是边上的一个动点（不与点B重合），以为邻边作平行四边形，又（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 3．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 类型三、平行四边形中的动点求t 1．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 2．如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，平分，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果点与点关于原点对称，那么 ． 5．与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 6．如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ． 7．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 8．如图，的顶点坐标分别为，．    (1)画出关于点O成中心对称的． (2)写出坐标：______，______． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 10．探究：已知的面积为，是所在直线上的一点， (1)如图，当图1中的点与重合时，记，当图2中的点与点、点与均不重合时，记，当图3中的点在（或）的延长线上时，记，请比较和的大小______（用“”或“”连接）． (2)推广：面积为，、为两边、延长线上两点，连接、、、，求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由． (3)应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地，、分别平行于、，、交于点，其中，，，现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域，连接、、，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形区域的面积． (4)拓展：如图6，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，直接写出四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3—4.4中心对称 平行四边形的判定定理 一、中心对称 1 定义：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心。对称中心平分连结两个对称点的线段。 2 性质：中心对称是针对两个图形而言的，是指两个图形的位置关系。对应点在两个图形上，对称中心在两个图形的外部、内部或图形上。若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形。 3 平行四边形与中心对称：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 二、平行四边形的判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（需证明） 巩固课内例1:成中心对称 1．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心， 则有：（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点，故（1）正确； （2）是的对角线，所以直线必经过点O，故（2）正确； （3）四边形是中心对称图形，故（3）正确； （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，故（4）正确； （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和成中心对称，故（5）正确； 综上所述，正确的有5个． 故选：C． 2．若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解． 【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，将向右平移4个单位长度，得到．    (1)画出关于轴对称的． (2)将绕原点旋转，画出旋转后的． (3)在中，（    ）与（    ）成中心对称，对称中心的坐标是（    ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键． （1）作点M、N、G关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （2）将M、NG绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （3）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示；    （3）解：连接，和，    由图可得，，，，，，， ∵的中点为，的中点为，的中点为， ∴与呈中心对称， ∴对称中心为． 故答案为：，，． 巩固课内例2:直角坐标系中的点关于原点对称 1．已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，正确掌握关于原点对称点的坐标特征是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为：， ∴点的坐标为：． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：7． 3．在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)见详解，19 【分析】本题主要考查了坐标与图形、关于原点中心对称的点的坐标特征、勾股定理、求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征“将原坐标的横纵坐标都取相反数”，即可获得答案； （2）根据，，利用勾股定理求解即可； （3）首先在图中表示出、、三点，顺次连接，然后利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：点与点关于原点对称，则点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． 故答案为：； （3）解：在图中表示出、、三点，顺次连接，如下图所示， 由图可知，． 巩固课内例3:平行四边形的判定———组对边平行且相等 1．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形 B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项分析即可作答． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故该选项符合题意； 故选：D． 2．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是 ． 【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案． 【详解】∵将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3．如图，在中，点E，F分别在和上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见详解． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理． 先根据平行四边形得出，，再结合由一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． 巩固课内例4:平行四边形的判定———两组对边分别相等 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是 ．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理求解． 【详解】解：根据题意可以得到，， ∴四边形是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 巩固课内例5:平行四边形的判定———对角线互相平分 1．如图，小明以的两边和为邻边，用尺规作一个平行四边形．小明的做法是：先用尺规作的垂直平分线，垂足为；过点，作射线，在射线上截取．连接，．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据题意得到，，进而可证明出四边形为平行四边形． 【详解】∵用尺规作的垂直平分线，垂足为 ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形． ∴直接判定四边形为平行四边形的条件是对角线互相平分． 故选：B． 2．在如图1所示的上按图2和图3所示的尺规作图痕迹作图，不借助三角形全等就能直接推出四边形是平行四边形的依据是 ． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答．根据平行四边形的判定和作图进行判断即可． 【详解】解：由图可知先作的垂直平分线，则点O为的中点，由作图可知， 可得：， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3．如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， (1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； (2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ， ， ． 巩固课内例6:平行四边形的母子型证明 1．如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，．       A．甲，乙，丙都是 B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙是 D．只有乙，丙是 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；． 【详解】解：甲方案：连接交于O，如图， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案： 在中，，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确， 丙方案： 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，故丙方案正确； 故选：A． 2．如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，添加：，根据平行四边形的性质得，，继而得到，即可得证．掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：添加的一个条件为．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组提出了以下问题：如图，的对角线与相交于点，点分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 请你选择其中一个问题完成，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质及判定方法是解题的关键． 选择问题1：当时，可证，结合平行四边形的性质得到，则，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； 选择问题2：当时，有平行四边形的性质得到，再由线段和差得到，根据对角线相互平分的四边形平行四边形即可求解． 【详解】解：选择问题1：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选择问题2：当时，四边形是平行四边形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（方法合理即可） 类型一、中心对称图形 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2．在平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 个 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形， 线段、矩形、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，共3个． 故答案为：3． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】(1)是中心对称，图见详解 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 类型二、中心对称的性质求长度 1．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 2．小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距 ． 【答案】/米 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 3．如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 【答案】(1)相等的线段有，，；点为的中点 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系及中心对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中心对称及全等三角形的性质即可解答； （2）根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称， ， 相等的线段有，，， 点为的中点； （2）解：， ， ，， ， 在中，， ， ． 类型三、中心对称的性质求角度 1．如图,△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转 (      ) A．30° B．90° C．180° D．360° 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的性质得出，△ABC和△DEF关于点O中心对称即需要旋转180°，即可得出答案． 【详解】△ABC和△DEF关于点O中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC旋转180°． 故选C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据题意得出两图形的关系是解题关键． 2．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是 【答案】180°/180度 【分析】如果一个图形绕一点O旋转180°后能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于点O中心对称，点O叫做对称中心．根据两个图形成中心对称的定义即可得到结果． 【详解】根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180° 故答案为：180° 【点睛】本题考查了两个图形成中心对称的含义，掌握此含义是关键． 3．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 【答案】， 【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可． 【详解】∵与成中心对称，点O是它们的对称中心， ∴，． 类型四、添加条件证平行四边形 1．在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，利用平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； C、，不能说明四边形是平行四边形；故该选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； 故选C． 2．在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是 ． 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义以及判定定理是解题的关键．用平行四边形的定义及判定答题即可． 【详解】解：添加①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加②，不能判定为平行四边形； 添加③，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加④，不能判定为平行四边形； 故答案为：①或③． 3．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 类型一、中心对称的性质求面积 1．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 2．将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    【答案】9 【分析】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键．证明，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，   ， ， ，， ， ， 一个阴影部分的面积等于正方形的面积的， 四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， 五个正方形的边长都为， 四块阴影面积的总和为， 故答案为：9． 3．探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 类型二、平行四边形的性质与判定求长度 1．如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】连接，利用直角三角形性质得到，再结合等边三角形性质证明四边形为平行四边形，最后利用平行四边形性质求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点与点到直线的距离相等， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，等边三角形性质，直角三角形性质，平行四边形的性质和判定，解题的关键在于构造辅助线证明四边形为平行四边形． 2．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．如图，以的边为边向外作等腰和，其中分别为的中点，连接．已知． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长至点，使，连接、，延长交于点，则四边形是平行四边形，得，，证，得，，再证，得，进而证，设，则，然后由勾股定理求出，则，求出，的长，最后根据即可解决问题； （2）由（1）可知，，，，求出，再根据求解即可． ． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使，连接、，延长交于点， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 又， ∴， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ，是的中点， ， ， ， ； （2）由（1）可知，，，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 类型三、平行四边形的性质与判定角度 1．如图，在中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O，交于点G；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作图，线段垂直平分线的性质定理， 根据尺规作图可知是的垂直平分线，可得，再结合，判定四边形是平行四边形，可知，然后根据等腰三角形的性质可得，接下来说明，再根据等腰三角形的性质得，最后根据平行线的性质得出答案． 【详解】解：尺规作图的过程，得是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，，则度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可知，再由可知，进而可证四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质推出，，进而有． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 类型四、补全图形为中心对称图形 1．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 2．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 3．图①、图②均为的正方形网格，点在格点（小正方形的顶点）上． (1)在图①中确定一个格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形； (2)在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形、轴对称图形等知识点，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． （1）根据中心对称图形的定义作图即可； （2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可． 【详解】（1）解：如图①：四边形即为所求． （2）解：如图②：四边形即为所求． 类型一、平行四边形的性质与判定求周长 1．如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为； 故选：B． 2．如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 3．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 类型二、平行四边形的性质与判定求面积 1．如图，点D是的边的延长线上一点，点F是边上的一个动点（不与点B重合），以为邻边作平行四边形，又（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，数来你掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．过点P作交于H，连接，可证得四边形，是平行四边形，再根据四边形是平行四边形，设，可得，再根据，即可求解． 【详解】过点P作交于H，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴P，E，F共线， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 3．如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证； （2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等边和等边， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 过G作于H， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键． 类型三、平行四边形中的动点求t 1．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，动点问题．根据题意，分四种情况讨论：（1）点运动路线是，（2）点运动路线是，（3）点运动路线是，（4）点运动路线是，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，则，， 当时，以四点组成的四边形是平行四边形 （1）点运动路线是，则，， 则，解得，不合题意； （2）点运动路线是，则， 则，解得； （3）点运动路线是，则， 则，解得； （4）点运动路线是，则， 则，解得 综上，则的所有可能取值为4.8或8或9.6． 故选：D． 2．如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 分两种情况：①当点在点的上方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点在点的下方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图1所示： ， ， ， ，即， ， ， ， ； 分两种情况： ①当点在点的上方时，如图2所示： 由题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； ②当点在点的下方时，如图3所示： 根据题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； 综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为：或． 3．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解∶A是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意， B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故B不符合题意， C是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意， D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意， 故选∶ C． 2．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 3．如图，在四边形中，，，平分，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故A正确，不符合题意； ∵，平分， ∴， 又， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，过点E作， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．如果点与点关于原点对称，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ， ， 故答案为：． 5．与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质以及三角形三边关系，利用关于原点成中心对称图形的性质得出，进而利用三角形三边关系得出答案．熟练掌握中心对称图形的性质以及三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，， ∴， ∴在中，由三角形三边关系可知的范围是： 故答案为：． 6．如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ． 【答案】 90 15 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形中所对直角边与斜边的关系等知识，根据题意得出的长是解决问题的关键．根据，以及得出，从而得出，进而得出，，即可得出答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， 过点C作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， 梯形的周长为：． 故答案为：90；． 7．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于原点成中心对称， ∴． 8．如图，的顶点坐标分别为，．    (1)画出关于点O成中心对称的． (2)写出坐标：______，______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案； （2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）解：关于点O成中心对称的，，， ，． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 10．探究：已知的面积为，是所在直线上的一点， (1)如图，当图1中的点与重合时，记，当图2中的点与点、点与均不重合时，记，当图3中的点在（或）的延长线上时，记，请比较和的大小______（用“”或“”连接）． (2)推广：面积为，、为两边、延长线上两点，连接、、、，求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由． (3)应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地，、分别平行于、，、交于点，其中，，，现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域，连接、、，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形区域的面积． (4)拓展：如图6，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)图4中阴影部分的面积为，理由见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等底同高的三角形的面积等知识，弄懂题意，结合图形、熟练运用相关知识是解题的关键． （1）平行四边形的面积等于底乘以高，设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h，由题， ；同理可得 （2）设平行四边形边上的高为h，边上的高为H，则，，故阴影部分的面积； （3）连接，由推广的结论得到、和，即可求解； （4）先证明四边形是平行四边形，同理可得四边形是平行四边形，根据，，设边上的高为，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：图1中,设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； 图2中,设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； 图3中,设平行四边形边上的高为h，则边的高也为h， ∵， ∴； ∴ 故答案为：． （2）阴影部分的面积为a，设平行四边形边上的高为h，边上的高为H， 则， ， 故阴影部分的面积； （3）连接，由推广的结论， 有，， ， ∴. （4）连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形，同理可得四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵，， 设边上的高为， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$